Soal-soal dengan Solusi Singkat
1). Misalkan $a$ dan $b$ bilangan asli dengan $a > b$. Jika
$\sqrt{94+2 \sqrt{2013}} = \sqrt{a}+ \sqrt{b}$, maka
nilai $a-b = ...$?
2). Diberikan segitiga ABC dengan luas 10. Titik D, E, dan F
berturut-turut terletak pada sisi-sisi AB, BC, dan CA dengan AD = 2
dan DB = 3. Jika segitiga ABE dan segiempat DBEF mempunyai luas yang
sama, maka luasnya sama dengan ...?
3). Misalkan $p$ dan $q$ bilangan prima. Jika diketahui persamaan
$x^{2014} - px^{2013} + q = 0$ mempunyai akar-akar bulat, maka nilai
$p + q$ adalah ...?
4). Jika fungsi $f$ didefinisikan oleh $f(x)= \frac{kx}{2x+3}$,
$x \neq -\frac{3}{2}$, $k$ konstanta, memenuhi $f(f(x)) = x$ untuk
setiap bilangan real $x$, kecuali $x \neq - \frac{3}{2}$, maka
nilai $k$ adalah ...?
5). Koefisien dari $x^{2013}$ pada ekspansi
$\, \, \, \, \, \, \, \, \,
(1+x)^{4016}+x(1+x)^{4015}+x^2 (1+x)^{4014}+ ... +x^{2013} (1+x)^{2003}$
adalah ...?
6). Jika $\frac{2}{x} - \frac{2}{y} = 1$ dan $y-x = 2$, maka
$(x+y)^2 = ...$?
7). Suatu dadu ditos 6 kali. Banyak cara memperoleh jumlah mata dadu
yang muncul 28 dengan tepat satu dadu muncul mata 6 adalah ...?
8). Misalkan $P$ adalah titik interior dalam daerah segitiga ABC
sehingga besar $\angle PAB = 10^o$, $\angle PBA = 20^o$,
$\angle PCA = 30^o$, dan $\angle PAC = 40^o$. Besar
$\angle ABC$ adalah ...?
9). Sepuluh kartu ditulis angka satu sampai sepuluh (setiap kartu
hanya terdapat satu angka dan tidak ada dua kartu yang memiliki
angka yang sama). Kartu-kartu tersebut dimasukkan ke dalam kotak
dan diambil satu secara acak. Kemudian sebuah dadu dilempar.
Probabilitas dari hasil kali angka pada kartu dan angka pada dadu
menghasilkan bilangan kuadrat adalah ...
10). Enam orang siswa akan duduk pada tiga meja bundar, dimana
setiap meja akan diduduki oleh minimal satu siswa. Banyaknya cara
untuk melakukan hal tersebut adalah ...
11). Suatu partikel bergerak pada bidang Cartesius dari titik $(0, \, 0)$.
Setiap langkah bergerak satu satuan searah sumbu X positif dengan
probabilitas 0,6 atau searah sumbu Y positif dengan probabilitas
0,4. Setelah sepuluh langkah, probabilitas partikel tersebut sampai
pada titik $(6, \, 4)$ dengan melalui $(3, \, 4)$ adalah ...
12). Diberikan segitiga ABC, dengan panjang sisi AB = 30. Melalui
AB sebagai diameter, dibuat sebuah lingkaran, yang memotong sisi AC
dan sisi BC berturut-turut di D dan E. Jika $AD = \frac{1}{3} AC $
dan $BE = \frac{1}{4} BC$, maka luas segitiga ABC sama dengan ...?
13). Banyaknya nilai $\alpha $ dengan $0 < \alpha < 90^o$ yang
memenuhi persamaan
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \,
(1+ \cos \alpha )(1+ \cos 2\alpha )(1+ \cos 4\alpha ) =
\frac{1}{8}$
adalah ...?
14). Diberikan segitiga lancip ABC dengan O sebagai pusat lingkaran
luarnya. Misalkan M dan N berturut-turut pertengahan OA dan BC. Jika
$ \angle ABC = 4 \angle OMN$ dan $\angle ACB = 6 \angle OMN$, maka
besar $\angle OMN = ...$?
15). Tentukan semua bilangan tiga digit yang memenuhi syarat bahwa
bilangan tersebut sama dengan penjumlahan dari faktorial setiap
digitnya.
16). Diberikan himpunan $S = \{ x \in Z | \frac{x^2-2x+7}{2x-1} \in Z \}$.
Banyaknya himpunan bagian dari $S$ adalah ...?
17). Untuk $x > 0$, $y > 0$, didefinisikan $f(x, \, y)$ adalah nilai
terkecil diantara $x$, $\frac{y}{2} + \frac{2}{x}$, dan
$\frac{1}{y}$. Nilai terbesar yang mungkin dicapai oleh
$f(x, \, y)$ adalah ...?
18). Nilai $k$ terkecil, sehingga jika sembarang $k$ bilangan
dipilih dari $\{ 1, \, 2, \, 3, \, ..., \, 30 \}$, selalu dapat
ditemukan 2 bilangan yang hasil kalinya merupakan bilangan kuadrat
sempurna adalah ...?
19). Diketahui $x_1 , \, x_2$ adalah dua bilangan bulat berbeda yang
merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+px+q+1=0$. Jika $p$
dan $p^2+q^2$ adalah bilangan-bilangan prima, maka nilai terbesar
yang mungkin dari $x_1^{2013} + x_2^{2013}$ adalah ...?
20). Misalkan $\lfloor x \rfloor $ menyatakan bilangan bulat
terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$ dan
$\lceil x \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang
lebih besar atau sama dengan $x$. Tentukan semua $x$ yang memenuhi
$\lfloor x \rfloor + \lceil x \rceil = 5$.
Kembali ke
Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Kembali ke
Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA
Demikian artikel
Solusi OSK Matematika SMA Tahun 2013 ini.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
