Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2022

          Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2022 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2022 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2022 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan dari isi artikel yang ada di blog koma.

Soal-soal dengan Solusi Singkat

Soal Hari Pertama: Soal Uraian

1). Tentukan semua fungsi $f:R \to R$ sehingga untuk setiap $x, \, y \in R$ berlaku
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, f(f(f(x)) + f(y)) = f(y)-f(x) $.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2022 nomor 1

2). Diketahui $P(x)$ suku banyak dengan koefisien bilangan bulat yang memenuhi $P(1) = 10$ dan $P(-1) = 22$.
a). Berikan contoh $P(x)$ sehingga $P(x) = 0$ memiliki suatu akar bilangan bulat.
b). Jika $P(0) = 4$, tunjukkan bahwa $P(x) = 0$ tidak memiliki akar bilangan bulat.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2022 nomor 2

3). Diberikan persegi panjang ABCD. Titik E, F terletak pada diagonal AC sehingga F terletak diantara A, E dan E terletak di antara C, F. Lingkaran luar segitiga BEF memotong AB dan BC pada G, H dan lingkaran luar segitiga DEF memotong AD dan CD pada I, J. Buktikan bahwa garis GJ, IH, dan AC berpotongan di satu titik.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2022 nomor 3

4). Diberikan segi-26 beraturan. Tunjukkan bahwa untuk sembarang 9 titik sudut dari segi-26 tersebut, pasti ada tiga titik yang membentuk segitiga sama kaki.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2022 nomor 4

Soal Hari Kedua: Soal Uraian

5). Diberikan bilangan asli $ N \geq 2$ dan bilangan bulat $a_1$, $a_2$, ..., $a_{N+1}$ sehingga untuk setiap indeks $1 \leq i \leq j \leq N+1$ berlaku
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \large{ a_i a_{i+1} ... a_j \not \equiv 1 (mod \, N) }$.
Buktikan bahwa terdapat indeks $i$ sehingga $gcd(a_i, \, N) \neq 1$.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2022 nomor 5

6). Pada segitiga ABC, titik D dan E berada pada sisi AB dan AC berturut-turut sehingga DE sejajar BC. Diketahui terdapat titik P pada interior segiempat BDEC sehingga
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \angle BPD = \angle CPE = 90^o$.
Buktikan bahwa garis AP melalui titik pusat lingkaran luar dari segitiga-segitiga EPD dan BPC.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2022 nomor 6

7). Misalkan $A$ adalah suatu barisan bilangan nol dan satu. Barisan tersebut dapat diubah dengan melakukan operasi berikut: kita boleh memilih suatu blok atau sub-barisan bersambung (contiguous subsequence) di mana terdapat nol dan satu yang tidak sama banyaknya, dan membalik urutan bilangan di dalam blok tersebut (blok $a_1, \, a_2, \, ..., \, a_r$ menjadi $a_r, \, a_{r-1}, \, ..., \, a_1$).
$\, \, \, \, \, \, \, $ Sebagai contoh, misalkan $A$ adalah barisan 1, 1, 0, 0, 1. Kita boleh memilih blok 1, 0, 0 dan membaliknya, sehingga barisan $1, \, \fbox{1, 0, 0} , \, 1$ berubah menjadi $1, \, \fbox{0, 0, 1}, \, 1$. Namun, kita tidak boleh memilih blok 1, 1, 0, 0 dan membalik urutannya karena mengandung 1 dan 0 yang sama banyaknya.
$\, \, \, \, \, \, \, $ Dua barisan $A$ dan $B$ dikatakan berkerabat jika $A$ dapat diubah menjadi $B$ melalui sejumlah hingga operasi-operasi di atas.
$\, \, \, \, \, \, \, $ Tentukan bilangan asli $n$ terbesar sehingga terdapat $n$ barisan berbeda $A_1, \, A_2, \, ..., \, A_n$ di mana setiap barisan terdiri dari 2022 bilangan dan untuk setiap indeks $i \neq j$, barisan $A_1$ tidak berkerabat $A_j$.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2022 nomor 7

8). Tentukan bilangan real positif $K$ terkecil sehingga ketaksamaan
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \large{ K + \frac{a+b+c}{3} \geq (K+1) \sqrt{ \frac{a^2+b^2+c^2}{3} } } $
Berlaku untuk setiap bilangan real $0 \leq a, \, b, \, c \leq 1$.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2022 nomor 8

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

Kembali ke Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA

       Demikian artikel Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2022 ini. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.