Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2015

          Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2015 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2015 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2015 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan dari isi artikel yang ada di blog koma.

Soal-soal dengan Solusi Singkat

Soal Hari Pertama: Soal Uraian

1). Albert, Bernard dan Cheryl sedang bermain kelereng. Di awal permainan masingmasing membawa 5 kelereng merah, 7 kelereng hijau dan 13 kelereng biru, sedangkan di kotak kelereng ada tak berhingga banyaknya kelereng. Pada satu langkah setiap anak diberi kebebasan membuang dua kelereng yang berbeda warna, kemudian menggantinya dengan dua kelereng dengan warna ketiga. Sebagai contoh, satu kelereng hijau dan satu kelereng merah dibuang, kemudian dua kelereng biru diambil dari kotak. Setelah serangkaian langkah (banyaknya langkah yang dilakukan masing-masing anak boleh berbeda) terjadilah percakapan berikut.

Albert: "Saya hanya membawa kelereng berwarna merah."
Bernard: "Saya hanya membawa kelereng berwarna biru."
Cheryl: "Saya hanya membawa kelereng berwarna hijau."

Siapa sajakah yang pasti berkata bohong?

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2015 nomor 1

2). Untuk setiap bilangan asli $a$, $b$ notasikan dengan $[a, \, b]$ kelipatan persekutuan terkecil dari $a$ dan $b$ dan notasikan dengan $(a, \, b)$ faktor persekutuan terbesar dari $a$ dan $b$. Tentukan semua bilangan asli $n$ sehingga
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \displaystyle 4\sum_{k=1}^n [n, k] = 1 + \sum_{k=1}^n (n, k) + 2n^2 \sum_{k=1}^n \frac{1}{(n, k)} $

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2015 nomor 2

3). Diberikan segitiga lancip ABC. Lingkaran $\Gamma _B $ dengan pusat $O_B$, adalah lingkaran yang melalui titik A dan B, serta menyinggung AC di titik A. Dengan cara yang sama difinisikan lingkaran $\Gamma _C$ dengan pusat $O_C$. Misalkan garis tinggi segitiga ABC melalui B dan C, berturut-turut memotong lingkaran luar ABC di titik X dan Y. Buktikan bahwa titik A, titik tengah segmen XY dan titik tengah segmen $O_BO_C$, ketiganya terletak pada satu titik garis lurus.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2015 nomor 3

4). Misalkan pasangan fungsi $f, \, g: R^+ \to R^+ $ memenuhi persamaan fungsi
$\, \, \, \, \, \, \, \, f(g(x)y+f(y))=(y+2015)f(x)$.
untuk setiap $x,y \in R^+$.

a). Buktikan bahwa $g(x) = \frac{f(x)}{2015} $ untuk setiap $x \in R^+$.
b). Berikan contoh pasangan fungsi yang memenuhi persamaan di atas dan $f(x), \, g(x) \geq 1$ untuk setiap $x \in R^+$.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2015 nomor 4

Soal Hari Kedua: Soal Uraian

5). Misalkan $a$, $b$, $c$, $d$ adalah bilangan asli sehingga $a|c^d$ dan $b|d^c$. Buktikan bahwa
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ab|(cd)^{maks \{ a, \, b \} }. $
Catatan: $maks \{a, \, b \}$ menyatakan nilai terbesar dari $a$ atau $b$.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2015 nomor 5

6). Diberikan segitiga lancip ABC dengan titik pusat lingkaran luar O. Garis AO memotong lingkaran luar segitiga ABC lagi di titik D. Misalkan P titik pada sisi BC. Garis melalui P tegak lurus AP memotong garis DB dan DC berturut-turut di E dan F. Garis melalui D tegak lurus BC memotong EF di titik Q. Buktikan bahwa EQ = FQ jika dan hanya jika BP = CP.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2015 nomor 6

7). Misalkan $a$, $b$, $c$ bilangan real positif. Buktikan ketaksamaan
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \sqrt{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} } + \sqrt{ \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} } + \sqrt{ \frac{c}{a+b} + \frac{a}{b+c} } \geq 3 $

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2015 nomor 7

8). Diketahui ada 3 gedung berbentuk sama yang lokasinya membentuk segitiga sama sisi. Masing-masing gedung memiliki 2015 lantai dengan setiap lantainya tepat memiliki 1 jendela. Pada ketiga gedung, setiap lantai 1 tidak berpenghuni, sedangkan masing-masing lantai yang lain mempunyai tepat satu penghuni.

Semua jendela akan diwarnai dengan salah satu dari warna merah, hijau, atau biru. Sang penghuni masing-masing lantai pada suatu gedung dapat melihat warna jendela pada kedua gedung yang lain untuk lantai yang sama dan satu lantai tepat di bawahnya, tetapi dia tidak bisa melihat warna jendela-jendela yang lain pada kedua gedung tersebut. Selain itu, sang penghuni tidak dapat melihat warna jendela dari lantai manapun pada gedungnya sendiri. Sebagai contoh, penghuni lantai 10 dapat melihat warna jendela lantai 9 dan 10 untuk kedua gedung yang lain (total 4 jendela) dan dia tidak dapat melihat warna jendela lainnya.

Kita ingin mewarnai jendela-jendela tersebut agar setiap penghuni dapat melihat paling sedikit 1 jendela dari setiap warna. Ada berapa cara mewarnai jendela-jendela tersebut?

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2015 nomor 8

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

Kembali ke Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA

       Demikian artikel Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2015 ini. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.