Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2013 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman
berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari
Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2013 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi
matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai
Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2013 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan
dari isi artikel yang ada di blog koma.
Soal-soal dengan Solusi Singkat
Soal Hari Pertama: Soal Uraian
1). Diketahui bangun persegi panjang berukuran $4 \times 6$ dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar.
Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang tanpa sudut siku-siku pada gambar tersebut.
2). Diberikan segitiga lancip ABC dengan lingkaran luar $\omega $. Garis bagi $\angle BAC$
memotong $\omega$ di titik M. Misalkan P suatu titik pada garis AM dengan P di dalam
segitiga ABC. Garis melalui P yang sejajar AB dan garis melalui P yang sejajar AC
memotong sisi BC berturut-turut di titik E dan F. Garis ME dan MF memotong $\omega$
lagi berturut-turut di titik K dan L. Buktikan bahwa garis-garis AM, BL dan CK konkuren.
3). Tentukan semua bilangan real positif $M$ sedemikian sehingga untuk seberang
bilangan real positif $a$, $b$ dan $c$, paling sedikit satu di antara tiga bilangan
berikut
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, a+ \frac{M}{ab}, \, b+ \frac{M}{bc}, \, c+ \frac{M}{ca} $
bernilai lebih dari atau sama dengan $1+M$.
4). Misalkan $p > 3$ adalah bilangan prima dan
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \large { S = \displaystyle \sum_{2\leq i < j < k \leq p - 1 } ijk } $
Buktikan bahwa bilangan $S+1$ habis dibagi $p$.
Soal Hari Kedua: Soal Uraian
5). Diberikan seberang polinom kuadrat $P(x)$ dengan koefisien utama positif dan diskriminan negatif. Buktikan bahwa $P(x)$ dapat dinyatakan sebagai jumlah tiga polinom kuadrat
$\, \, \, \, \, P(x) = P_1(x) + P_2(x) + P_3(x) $
dengan $P_1(x)$, $P_2(x)$, $P_3(x)$ memiliki koefisien utama positif dan diskriminan nol serta akar (real kembar) dari ketiga polinom tersebut berbeda.
6). Suatu bilangan asli $n$ dikatakan kuat apabila terdapat bilangan asli $x$ sehingga
$x^{nx} + 1$ habis dibagi $2^n$.
a). Buktikan bahwa 2013 merupakan bilangan kuat.
b). Jika $m$ bilangan kuat, tentukan bilangan asli terkecil $y$ sehingga $y^{my}+1$ habis dibagi $2^m$.
7). Diberikan jajar genjang ABCD. Pada sisi luar jajar genjang, dikonstruksi
persegi-persegi $ABC_1D_1$, $BCD_2A_2$, $CDA_3B_3$ dan $DAB_4C_4$. Pada sisi-sisi luar
$B_4D_1$, $C_1A_2$, $D_2B_3$, dan $A_3C_4$ dari segitiga-segitiga $AB_4D_1$, $BC_1A_2$,
$CD_2B_3$, dan $DA_3C_4$, konstruksi persegi-persegi lagi dengan pusat berturut-turut
$O_A$, $O_B$, $O_C$, dan $O_D$. Buktikan bahwa
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, AO_A = BO_B = CO_C = DO_D$.
8). Misalkan $A$ suatu himpunan berhingga beranggotakan bilangan asli. Tinjau
himpunanhimpunan bagian dari $A$ dengan tiga anggota. Himpunan $A$ dikatakan seimbang
apabila banyak himpunan bagian dari $A$ dengan tiga anggota yang jumlah ketiga anggota
tersebut habis dibagi 3 sama dengan banyak himpunan bagian dari $A$ dengan tiga anggota
yang jumlah ketiga anggota tersebut tidak habis dibagi 3.
a. Berikan satu contoh himpunan seimbang dengan 9 anggota.
b. Buktikan bahwa tidak ada himpunan seimbang dengan 2013 anggota.
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Kembali ke Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA
Demikian artikel Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2013 ini. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, a+ \frac{M}{ab}, \, b+ \frac{M}{bc}, \, c+ \frac{M}{ca} $
bernilai lebih dari atau sama dengan $1+M$.
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \large { S = \displaystyle \sum_{2\leq i < j < k \leq p - 1 } ijk } $
Buktikan bahwa bilangan $S+1$ habis dibagi $p$.
Soal Hari Kedua: Soal Uraian
5). Diberikan seberang polinom kuadrat $P(x)$ dengan koefisien utama positif dan diskriminan negatif. Buktikan bahwa $P(x)$ dapat dinyatakan sebagai jumlah tiga polinom kuadrat
$\, \, \, \, \, P(x) = P_1(x) + P_2(x) + P_3(x) $
dengan $P_1(x)$, $P_2(x)$, $P_3(x)$ memiliki koefisien utama positif dan diskriminan nol serta akar (real kembar) dari ketiga polinom tersebut berbeda.
a). Buktikan bahwa 2013 merupakan bilangan kuat.
b). Jika $m$ bilangan kuat, tentukan bilangan asli terkecil $y$ sehingga $y^{my}+1$ habis dibagi $2^m$.
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, AO_A = BO_B = CO_C = DO_D$.
a. Berikan satu contoh himpunan seimbang dengan 9 anggota.
b. Buktikan bahwa tidak ada himpunan seimbang dengan 2013 anggota.
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Kembali ke Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA
Demikian artikel Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2013 ini. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.
