Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2012

          Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2012 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2012 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2012 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan dari isi artikel yang ada di blog koma.

Soal-soal dengan Solusi Singkat

Soal Hari Pertama: Soal Uraian

1). Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli $a$ dan $b$, bilangan
$\, \, \, \, \, \, \, n = FPB(a,b) + KPK(a,b) - a - b $
adalah bilangan bulat genap tak negatif.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2012 nomor 1

2). Diberikan bilangan asli $n$ dan bilangan-bilangan real positif $a_1, \, a_2, \, ..., \, a_n$. Buktikan bahwa
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, (1+a_1 )^2 (1+a_2 )^3...(1+a_n )^{n+1} \geq (n+1)^{n+1} a_1 a_2 ... a_n$
dan tentukan kapan kesamaan berlaku.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2012 nomor 2

3). Diberikan segitiga lancip ABC dengan $AB > AC$ dan memiliki titik pusat lingkaran luar O. garis BO dan CO memotong garis bagi $\angle BAC$ berturut-turut di titik P dan Q. Selanjutnya garis BQ dan CP berpotongan di titik R. Buktikan bahwa garis AR tegak lurus terhadap garis BC.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2012 nomor 3

4). Diberikan 2012 titik berbeda $A_1, \, A_2, \, ... , \, A_{2012}$ di bidang Cartesius. Untuk sebarang permutasi $B_1, \, B_2, \, ..., \, B_{2012}$ dari $A_1, \, A_2, \, ..., \, A_{2012}$ didefinisikan bayangan dari titik P terhadap permutasi tersebut sebagai berikut:
Titik $P$ dirotasikan $180^o$ dengan pusat $B_1$ menghasilkan $P_1$,
Titik $P_1$ dirotasikan $180^o$ dengan pusat $B_2$ menghasilkan $P_2$,
.........
.........
.........
Titik $P_{2011}$ dirotasikan $180^o$ dengan pusat $B_{2012}$ menghasilkan $P_{2012}$.

Selanjutnya titik $P_{2012}$ dikatakan sebagai bayangan dari titik P terhadap permutasi $B_1, \, B_2, \, ..., \, B_{2012}$. Misalkan $N$ adalah banyaknya bayangan titik $P$ yang berbeda terhadap semua permutasi dari $A_1, \, A_2, \, ..., \, A_{2012}$. Tentukan nilai terbesar yang mungkin bagi $N$.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2012 nomor 4

Soal Hari Kedua: Soal Uraian

5). Diberikan bilangan asli $m$ dan $n$. Misalkan $P$ dan $Q$ adalah dua kumpulan $m \times n$ bilangan 0 dan 1 yang disusun dalam $m$ baris dana $n$ kolom. Contoh salah satu kumpulan itu untuk $m = 3$ dan $n = 4$ adalah ...
$ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] $
Misalkan kedua kumpulan tersebut memenuhi empat sifat berikut.
i). Pada setiap baris di $P$, bilangan dari kiri ke kanan tidak pernah naik (boleh sama atau turun),
ii). pada setiap kolom di $P$, bilangan dari atas ke bawah tidak pernah naik (boleh sama atau turun),
iii). jumlah bilangan pada sebarang baris di $P$ sama dengan jumlah bilangan pada baris yang sama di $Q$, dan
iv). jumlah bilangan pada sebarang kolom di P sama dengan jumlah bilangan pada kolom yang sama di $Q$

Tunjukkanlah bahwa bilangan pada bari ke-$i$ kolom ke-$j$ di $P$ sama dengan bilangan pada baris ke-$i$ kolom ke-$j$ di $Q$ untuk setiap $i = 1, \, 2, \, ..., \,m$ dan $j= 1, \,2 , \, ..., \, n$.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2012 nomor 5

6). Misalkan $R^+$ menyatakan himpunan semua bilangan real positif. Tunjukkan bahwa tidak ada fungsi $f:R^+ \to R^+$ yang memenuhi
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, f(x+y)=f(x)+f(y)+ \frac{1}{2012}$
untuk setiap bilangan real positif $x$ dan $y$.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2012 nomor 6

7). Misalkan $n$ bilangan asli. Buktikana bahwa persamaan
$\, \, \, \, \, \, \, \, \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{n} $
memiliki solusi pasangan bilangan asli $(x, \, y)$ jika dan hanya jika $n$ habis dibagi oleh suatu bilangan kuadrat yang lebih besar daripada 1.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2012 nomor 7

8). Diberikan sebarang segitiga ABC dan garis bagi $\angle BAC$ memotong sisi BC dan lingkaran luar segitiga ABC berturut-turut di D dan E. Misalkan M dan N berturut-turut titik tengah BD dan CE. Lingkaran luar segitiga ABD memotong AN di titik Q. Lingkaran yang melalui A dan menyinggung BC di D memotong garis AM dan sisi AC berturut-turut d i titik P dan R. Tunjukkan bahwa empat titik B, P, Q, R terletak pada satu garis.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2012 nomor 8

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

Kembali ke Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA

       Demikian artikel Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2012 ini. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.