Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2011

          Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2011 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2011 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2011 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan dari isi artikel yang ada di blog koma.

Soal-soal dengan Solusi Singkat

Soal Hari Pertama: Soal Uraian

1). Untuk suatu bilangan $n$ yang dinyatakan dalam basis sepuluh, $f(n)$ didefinisikan sebagai jumlah dari semua bilangan yang diperoleh melalui mencoreti digit-digit yang mungkin dari $n$. Sebagai contoh untuk $n=1234$, $f(n)=1234+123+124+134+234+12+13$ + $14+23+24+34+1+2+3+4=1979$. Sebab jjika kita mencoret 0 digit kita memperoleh 1234, jika kita mencoret 1 digit kita memperoleh 123, 124, 134, 234, jika kita mencoret 2 digit kita memperoleh 12, 13, 14, 23, 24, 34, jika kita mencoret 3 digit kita memperoleh 1, 2, 3, 4 dan jika kita mencoret 4 digit kita memperoleh 0 yang tidak mempengaruhi jumlah $f(n)$. Jika $n$ adalah bilangan yang terdiri dari 2011 digit, buktikan bahwa $f(n) - n$ habis dibagi 9.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2011 nomor 1

2). Untuk setiap bilangan asli $n$, didefnisikan $S_n$ sebagai banyaknya permutasi $(a_1, \, a_2, \, a_3, \, ..., \, a_n )$ dari $(1, \,2, \, 3, \, ..., \, n)$ sedemikian sehingga
$ \, \, \, \, \, \, \large { \frac{a_1}{1} + \frac{a_2}{2}+ \frac{a_3}{3}+ ... +\frac{a_n}{n} } $
merupakan bilangan asli. Buktikan bahwa $S_{2n} = n$ untuk setiap bilangan asli $n$.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2011 nomor 2

3). Diberikan sebarang segitiga lancip ABC. Misalkan $\ell _a$ garis yang melalui A dan tegak lurus AB, $\ell _b$ garis yang melalui B dan tegak lurus BC, $\ell _c$ garis yang melalui C dan tegak lurus CA. misalkan garis $\ell _b$ dan $\ell _c$ berpotongan di titik D, garis $\ell _c$ dan $\ell _a$ berpotongan di titik E dan terakhir garis $\ell _a$ dan $ \ell _b$ berpotongan di titik F. buktikan bahwa luas segitiga DEF paling sedikit tiga kali luas segitiga ABC.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2011 nomor 3

4). Di sebuah pulau terdapat sepuluh kota, dimana kota-kota tersebut dihubungkan dengan ruas-ruas jalan. Ada 2 kota yang terhubung, ada juga yang tidak. Suatu rute yang dimulai dari suatu kota mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing-masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan banyak ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat sehingga apabila diberikan sebarang kota di pulau tersebut, ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2011 nomor 4

Soal Hari Kedua: Soal Uraian

5). Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di atas adalah gambar jaring-jaring dadu berbentuk kubus dengan panjang rusuk satu satuan. Misalkan $n$ bilangan asli dan $2n$ dadu tersebut disusun membentuk balok berukuran $1 \times 2 \times n$ satuan dan diletakkan di lantai (ada enam cara peletakan). Misalkan $S$ adalah jumlah bilangan yang terlihat pada balok tersebut (bagian bawah balok tidak terlihat). Tentukan $n$ terkecil sedemikian sehingga terdapat penyusunan dadu-dadu membentuk balok dan peletakan dilantai yang memenuhi $S > 2011$.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2011 nomor 5

6). Diberikan barisan bilangan $a_0, \, a_1, \, a_2, \, ..., \, a_{2010}$ yang memenuhi $a_0 = 1$ dan 2011 membagi $a_{k-1} a_k - k$ untuk $k = 1, \, 2, \, 3, \, ..., \, 2010$. Buktikan bahwa 2011 juga membagi $a_{2010}+1$.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2011 nomor 6

7). Misalkan $a$, $b$ dan $c$ adalah bilangan-bilangan real positif dengan sifat $abc = 1$. Jika diketahui bahwa
$\, \, \, \, \, \, \, \large { a^{2011}+b^{2011}+c^{2011} < \frac{1}{a^{2011}} + \frac{1}{b^{2011}} + \frac{1}{c^{2011}} }$.
Buktikan bahwa
$\, \, \, \, \, \, \large { a+b+c < \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} }$.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2011 nomor 7

8). Diberikan segitiga sebarang ABC dan misalkan lingkaran dalam segitiga ABC menyinggung sisi BC, CA dan AB berturut-turut di titik D, E dan F. Misalkan K dan L berturut-turut titik pada sisi CA dan AB sehingga $\angle EDK= \angle ADE$ dan $\angle FDL = \angle ADF$. Buktikan bahwa lingkaran luar segitiga AKL menyinggung lingkaran dalam segitiga ABC.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2011 nomor 8

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

Kembali ke Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA

       Demikian artikel Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2011 ini. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.