Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2010

          Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2010 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2010 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2010 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan dari isi artikel yang ada di blog koma.

Soal-soal dengan Solusi Singkat

Soal Hari Pertama: Soal Uraian

1). Misalkan $a$, $b$, $c$ adalah bilangan asli yang berbeda. Buktikan bahwa barisan

$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a+b+c, \, ab+ac, \, 3abc $

tidak mungkin membentuk barisan geometri maupun aritmatika.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 1

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 1

2). Diberikan segitiga lancip ABC dengan AC > BC dan titik pusat lingkaran luar O. Garis tinggi segitiga ABC dari C memotong AB dan lingkaran luar segitiga ABC lagi berturutturut di titik D dan E. Garis melalui O sejajar AB memotong garis AC di titik F. Buktikan bahwa garis CO, garis melalui F tegak lurus AC, dan garis melalui E sejajar DO bertemu di satu titik.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 2

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 2

3). Suatu kompetisi matematika diikuti oleh 120 peserta dari beberapa kontingen. Pada acara penutupan, setiap peserta memberikan 1 souvenir pada setiap peserta dari kontingen yang sama dan 1 souvenir pada salah seorang peserta dari tiap kontingen lainnya. Di akhir acara, diketahui terdapat 3840 souvenir yang dipertukarkan. Berapa banyak kontingen maksimal sehingga kondisi di atas dapat terpenuhi?

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 3

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 3

4). Diketahui bahwa $m$ dan $n$ adalah bilangan-bilangan asli dengan sifat

$\, \, \, \, \, \, \, (mn)|(m^{2010} +n^{2010}+n). $

Buktikan bahwa terdapat bilangan asli $k$ sehingga $n = k^{2010}$.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 4

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 4

Soal Hari Kedua: Soal Uraian

5). Sebanyak $m$ orang anak laki - laki dan n orang anak perempuan $(m > n)$ duduk mengelilingi meja bundar dan diawasi oleh seorang guru dan melakukan sebuah permainan sebagai berikut:
Mula - mula sang guru menunjuk seorang anak laki - laki untuk memulai permainan. Anak laki-laki tersebut meletakkan sekeping uang logam di atas meja. Kemudian bergiliran searah jarum jam, setiap anak melakukan gilirannya masing- masing. Jika anak tersebut laki-laki, ia menambahkan sekeping uang logam ke tumpukan di atas meja. Jika anak tersebut perempuan, ia mengambil sekeping uang logam dari tumpukan tersebut. Jika tumpukan uang di atas meja habis maka permainan berakhir saat itu juga. Perhatikan bahwa tergantung siapa yang ditunjuk oleh sang guru untuk memulai langkah pertama, maka permainan tersebut bisa cepat berakhir atau bisa saja berlangsung paling sedikit satu putaran penuh. Jika sang guru menginginkan agar permainan tersebut berlangsung paling sedikit satu putaran penuh, ada berapa pilihan anak laki- laki yang dapat beliau tunjuk untuk memulai permainan?

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 5

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 5

6). Cari semua bilangan asli $n > 1$ sedemikian sehingga

$\, \, \, \, \, \, \, \, \tau (n) + \varphi (n)=n+1 $

dengan $\tau (n)$ menyatakan banyaknya bilangan asli yang habis membagi $n$ dan $\varphi (n)$ meneyatakan banyaknya bilangan asli kurang dari $n$ yang relatif prima terhadap $n$.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 6

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 6

7). Misalkan $a$ dan $b$ dua bilangan real positif. Diberikan polinom $F(x)=x^2+ax+b$ dan $G(x)=x^2+bx+a$ sehingga semua akar dari polinom $F(G(x))$ dan $G(F(x))$ adalah bilangan real. Buktikan bahwa $a$ dan $b$ lebih besar dari 6.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 7

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 7

8). Diberikan segitiga lancip ABC dengan titik pusat lingkaran luar O dan titik tinggi H. Misalkan K sebarang titik didalam segitiga ABC yang tidak sama dengan O maupun H. Titik L dan M terletak diluar segitiga ABC sedemikian sehingga AKCL dan AKBM jajargenjang. Terakhir, misalkan BL dan CM berpotongan di titik N dan misalkan juga J adalah titik tengah HK. Buktikan bahwa KONJ jajargenjang.

Sumber: Official Solution
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 8

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2010 nomor 8

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

Kembali ke Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA

       Demikian artikel Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2010 ini. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.