Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2007

          Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2007 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2007 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2007 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan dari isi artikel yang ada di blog koma.

Soal-soal dengan Solusi Singkat

Soal Hari Pertama: Soal Uraian

1). Misalkan ABC segitiga dengan $\angle ABC = \angle ACB = 70^o$. Misalkan titik D pada sisi BC sehingga AD garis tinggi, titik E pada AB sehingga $\angle ACE = 10^o$, dan titik F adalah perpotongan AD dan CE. Buktikan bahwa $CF = BC$.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2007 nomor 1

2). Untuk setiap bilangan asli $n$, $b(n)$ menyatakan banyaknya faktor positif $n$ dan $p(n)$ menyatakan hasil penjumlahan semua faktor positif $n$. Sebagai contoh, $b(14)=4$ dan $p(14) = 24$. Misalkan $k$ sebuah bilangan asli yang lebih besar dari 1.

a). Buktikan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan asli $n$ yang memenuhi $b(n) = k^2 - k + 1$.

b). Buktikan bahwa ada berhingga banyaknya bilangan asli $n$ yang memenuhi $p(n)=k^2-k+1$.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2007 nomor 2

3). Misalkan $a$, $b$, $c$ bilangan-bilangan real positif yang memenuhi ketaksamaan
$ \, \, \, \, \, \, 5(a^2+b^2+c^2) < 6(ab+bc+ca) $.
Buktikan bahwa ketiga ketaksamaan berikut berlaku:
$\, \, \, \, a+b>c$, $b+c>a$, dan $c+a>b$.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2007 nomor 3

4). Suatu susunan 10-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dikatakan cantik jika (i) saat dibaca dari kiri ke kanan, 0, 1, 2, 3, 4 membentuk barisan naik, sedangkan 5, 6, 7, 8, 9 membentuk barisan turun, dan (ii) angka 0 tidak berada pada ujung kiri. Sebagai contoh, 9807123654 adalah susunan cantik. Tentukan banyaknya susunan cantik.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2007 nomor 4

Soal Hari Kedua: Soal Uraian

5). Misalkan $r$, $s$ dua bilangan asli dan P sebuah 'papan catur' dengan $r$ baris dan $s$ lajur. Misalkan $M$ menyatakan banyak maksimal benteng yang dapat diletakkan pada P sehingga tidak ada dua benteng yang saling menyerang.
a). Tentukan $M$.
b). Ada berapa cara meletakkan $M$ buah benteng pada P sehingga tidak ada dua benteng yang saling menyerang.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2007 nomor 5

6). Tentukan semua tripel bilangan real $(x, \, y, \, z)$ yang memenuhi ketiga persamaan berikut sekaligus:
$x = y^3+y-8 $
$y = z^3+z-8 $
$z = x^3+x-8 $

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2007 nomor 6

7). Titik-titik A, B, C, D terletak pada lingkaran S demikian rupa, sehingga AB merupakan garis tengah S, tetapi CD bukan garis tengah S. Diketahui pula bahwa C dan D berada pada sisi yang berbeda terhadap AB. Garis singgung terhadap S di C dan D berpotongan di titik P. Titik-titik Q dan R berturut-turut adalah perpotongan garis AC dengan garis BD dan garis AD dengan garis BC.
a). Buktikan bahwa P, Q dan R segaris.
b). Buktikan bahwa garis QR tegak lurus terhadap garis AB.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2007 nomor 7

8). Misalkan $m$ dan $n$ dua bilangan asli. Jika ada tak berhingga banyaknya bilangan bulat $k$ sehingga $k^2+2kn+m^2$ adalah bilangan kuadrat sempurna, buktikan bahwa $m = n$.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2007 nomor 8

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

Kembali ke Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA

       Demikian artikel Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2007 ini. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.