Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2005

          Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2005 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2005 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2005 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan dari isi artikel yang ada di blog koma.

Soal-soal dengan Solusi Singkat

Soal Hari Pertama: Soal Uraian

1). Misalkan $n$ bilangan bulat positif. Tentukan banyaknya segitiga (tidak saling kongruen) yang panjang setiap sisinya adalah bilangan bulat dan panjang sisi terpanjangannya adalah $n$.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2005 nomor 1

2). Untuk sebarang bilangan asli $n$, didefinisikan $p(n)$ sebagai hasil kali digit-digit $n$ (dalam representasi basis 10). Tentukan semua bilangan asli $n$ sehingga $11.p(n) = n^2 - 2005$.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2005 nomor 2

3). Misalkan $k$ dan $m$ bilangan-bilangan asli sehingga $\frac{1}{2} \left( \sqrt{k +4 \sqrt{m}} - \sqrt{k} \, \right)$ adalah bilangan bulat.
a). Buktikan bahwa $\sqrt{k}$ bilangan rasional.
b). Buktikan bahwa $\sqrt{k}$ bilangan asli.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2005 nomor 3

4). Misalkan M suatu titik di dalam segitiga ABC sedemikian rupa hingga $\angle AMC = 90^o$, $\angle AMB = 150^o$, dan $\angle BMC = 120^o$. Titik pusat lingkaran luar segitiga-segitiga AMC, AMB, dan BMC berturut-turut dalah P, Q, dan R. Buktikan bahwa luas segitiga PQR lebih besar dari luas segitiga ABC.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2005 nomor 4

Soal Hari Kedua: Soal Uraian

5). Untuk sebarang bilangan real $x$, notasikan $\lfloor x \rfloor $ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$. Buktikan bahwa ada tepat satu bilangan bulat $m$ yang memenuhi persamaan
$ m - \lfloor \frac{m}{2005} \rfloor = 2005$

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2005 nomor 5

6). Tentukan semua tripel bilangan bulat $(x, \, y, \, z)$ yang memenuhi sistem persamaan:
$x(y+z)=y^2+z^2-2 $
$ y(z+x)=z^2+x^2-2 $
$z(x+y)=x^2+y^2-2 $

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2005 nomor 6

7). Misalkan ABCD sebuah segiempat konveks. Persegi $AB_1A_2B$ dibuat sehingga kedua titik $A_2$, $B_1$ terletak di luar segiempat ABCD. Dengan cara serupa diperoleh persegi-persegi $BC_1B_2C$, $CD_1C_2D$ dan $DA_1D_2A$. Misalkan K adalah ititk potong $AA_2$ dengan $BB_1$, L adalah titik potong $BB_2$ dengan $CC_1$, M adalah titik potong $CC_2$ dengan $DD_1$, dan N adalah titik potong $DD_2$ dengan $AA_1$.
Buktikan bahwa KM tegak lurus LN.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2005 nomor 7

8). Sebuah kompetisi matematika diikuti oleh 90 peserta. Setiap peserta berkenalan dengan paling sedikit 60 peserta lainnya. Salah seorang peserta, Amin, menyatakan bahwa setidaknya terdapat empat orang peserta yang banyak teman barunya sama. Periksa kebenaran pernyataan Amin.

Sumber: Eddy Hermanto, ST
Solusi Soal OSN Matematika SMA tahun 2005 nomor 8

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

Kembali ke Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA

       Demikian artikel Solusi OSN Matematika SMA Tahun 2005 ini. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.