Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas tentang Keterbagian Bilangan Olim SMP yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan beberapa soal
lainnya untuk mendukung pemahaman materinya yang lebih mendalam. Keterbagian Bilangan Olim SMP ini adalah salah satu materi paling mendasar
yang harus dipahami oleh sahabat koma.
Contoh 1:
*). 2 habis membagi 6 karena 6 dibagi 2 hasilnya 3, sehingga $6=2 \times 3$. Jadi $2|6$.
*). 2 tidak habis membagi 9 karena 9 dibagi 2 hasilnya tidak bulat yaitu 4,5 (hasil baginya 4 dan bersisa 1), sehingga $9 = 2 \times 4+1$. Jadi $2 \nmid 9$.
Contoh 2:
Jika $n$ adalah bilangan asli dan genap, maka buktikan bahwa $n^2+6n$ habis dibagi 4.
1. Ciri bilangan habis dibagi 2
Bilangan tersebut genap (angka satuannya genap, yaitu 0, 2, 4, 6, dan 8)
2. Ciri bilangan habis dibagi 3
Jumlah angka-angka (digit-digit) nya habis dibagi 3.
3. Ciri bilangan habis dibagi 4
Dua angka terakhir habis dibagi 4.
4. Ciri bilangan habis dibagi 5
Angka satuan atau angka terakhirnya 5
5. Ciri bilangan habis dibagi 6
Bilangan genap dan jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.
6. Ciri bilangan habis dibagi 7
Pisahkan bilangan tersebut menjadi 2 bagian.
i) Bagian pertama adalah coret (hapus) angka satuannya.
ii) Bagian kedua adalah angka satuan yang dicoret tadi. Jika bagian pertama dikurangi 2 kali bagian kedua lalu hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan tersebut habis dibagi 7.
iii). Proses di atas dapat diulangi jika hasilnya masih besar, artinya jika masih sulit untuk mengetahui apakah hasilnya habis dibagi 7 maka cara ini diulangi lagi.
7. Ciri bilangan habis dibagi 8
Tiga angka terakhir habis dibagi 8.
8. Ciri bilangan habis dibagi 9
Jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.
9. Ciri bilangan habis dibagi 10
Angka terakhir atau satuannya 0.
10. Ciri bilangan habis dibagi 11
Jumlah tanda ganti angka-angkanya 0 atau habis dibagi 11, atau dapat juga dikatakan jumlah angka pada posisi ganjil dikurangi jumlah angka pada posisi genap adalah 0 atau habis dibagi 11.
11. Ciri bilangan habis dibagi 12
Bilangan tersebut habis dibagi 3 dan 4 (ingat: $12=3 \times 4$)
12.Ciri bilangan habis dibagi 13
Ciri bilangan habis dibagi 13 hampir sama caranya dengan ciri bilangan habis dibagi 7. Bedanya bagian keduanya dikalikan dengan 9.
13. Ciri bilangan habis dibagi 14
Bilangan tersebut habis dibagi 2 dan 7.
14. Ciri bilangan habis dibagi 15
Bilangan tersebut habis dibagi 3 dan 5
15. Ciri bilangan habis dibagi 16
Empat angka terakhir habis dibagi 16.
16. Ciri bilangan habis dibagi 17
Ciri bilangan habis dibagi 17 hampir sama caranya dengan ciri bilangan habis dibagi 7 dan 13. Bedanya bagian keduanya dikalikan dengan 5.
17. Ciri bilangan habis dibagi 18
Bilangan tersebut habis dibagi 2 dan 9.
18. Ciri bilangan habis dibagi 19
Ciri bilangan habis dibagi 19 hampir sama dengan bilangan habis dibagi 7, 13, dan 17. Bedanya bagian pertama ditambah 2 kali bagian kedua lalu hasilnya dibagi 19.
19. Ciri bilangan habis dibagi 20.
Dua angka terakhir habis dibagi 4 dan 5.
Contoh 3:
Jika bilangan lima angka $12a7b$ habis dibagi 99, maka tentukan nilai $a+b$?
Contoh 4:
Bilangan yang terdiri dari 6 digit $3ab82c$ habis dibagi 8. Tentukan angka $c$ terkecil yang mungkin?
Contoh 5:
Terdapat dua bilangan bulat $P$ dan $Q$. Jika $P$ dibagi 9 bersisa 7 dan $Q$ dibagi 9 bersisa 4, maka $PQ$ dibagi 9 akan bersisa ...?
Contoh Soal-soal dan Solusinya:
contoh 1:
sudah sesuai definisinya.
contoh 2:
Jika $n$ adalah bilangan asli dan genap, maka buktikan bahwa $n^2+6n$ habis dibagi 4.
contoh 3:
Jika bilangan lima angka $12a7b$ habis dibagi 99, maka tentukan nilai $a+b$?
contoh 4:
Bilangan yang terdiri dari 6 digit $3ab82c$ habis dibagi 8. Tentukan angka $c$ terkecil yang mungkin?
contoh 5:
Terdapat dua bilangan bulat $P$ dan $Q$. Jika $P$ dibagi 9 bersisa 7 dan $Q$ dibagi 9 bersisa 4, maka $PQ$ dibagi 9 akan bersisa ...?
1). Bilangan tiga digit $2A3$ jika ditambah dengan 326 akan menghasilkan bilangan tiga digit $5B9$. Jika $5B9$ habis dibagi 9, maka $A+B= ...$?
2). Berapa jumlah semua bilangan dua digit, sehingga jika bilangan itu dibagi dengan jumlah digit-digitnya hasilnya adalah 4 dan sisanya 3.
3). Bilangan-bilangan 2058 dan 5002 dibagi dengan bilangan prima yang sama yang terdiri dari dua angka memberikan sisa yang sama. Berapakah sisa pembagian itu?
4). Jika $n$ bilangan asli, buktikan bahwa $n^3+5n$ habis dibagi 6.
5). Diketahui $a, b, c$, dan $d$ adalah bilangan bulat positif dibagi 13 berturut-turut bersisa 12, 9, 11, dan 7. Tentukan sisa dari $3a+4b-3c+2d$ dibagi 13?
6). Tentukan bilangan terbesar yang terdiri dari tiga digit yang jika dibagi 7 bersisa 2 dan jika dibagi 5 bersisa 1?
7). Tentukan nilai $p$ yang merupakan digit dalam persamaan $81 \times 586794 = 475p0p14$.
8). 100 jika dibagi $y$ bersisa 4, sementara 90 jika dibagi $y$ sisanya 18. Tentukan nilai $y$.
9). Tentukan nilai digit $k$ dalam persamaan berikut ini.
$2k99561=(3(523+k))^2 $
10). Bilangan yang dinyatakan dalam $a679b$ ini habis dibagi 72. Berapakah nilai $a -b$?
11). Bilangan asli terbesar yang jika membagi bilangan 1723, 2010, dan 5741 selalu memberikan sisa 1 adalah ...
12). Tunjukkan bahwa kuadrat dari sebarang bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai bentuk $4k$ atau $4k+1$!
(Dengan kata lain, setiap bilangan kuadrat jika dibagi 4 akan selalu bersisa 0 atau 1).
13). Tunjukkan bahwa ada sebanyak tak hingga bilangan bulat $n$ yang mengakibatkan $n^2+23$ habis dibagi oleh 24.
14). Diberikan $1ababababab$ yang merupakan bilangan bulat 11 digits yang habis dibagi 99. Tentukan nilai $a$ dan $b$?
15). Suatu bilangan jika dibagi 899 bersisa 63. Jika bilangan tersebut dibagi 29 akan bersisa ...
16). Jika $2^{2020}+5$ dibagi oleh 33 akan bersisa ...
17). Tentukan sisa bagi jika
$( \, \underbrace{999999...999}_{2020 \, angka \, 9} \, )^{2020}-( \, \underbrace{555555...555}_{2020 \, angka \, 5} \, )^{2020} $
dibagi oleh 11.
18). Buktikan sifat nomor 2 dan sifat nomor 3.
19). Jika $n$ bilangan asli, buktikan bahwa $n^3+2n$ habis dibagi 3.
Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Keterbagian Bilangan Olim SMP.
(masih dalam proses pengetikan)
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP
Demikian pembahasan materi Keterbagian Bilangan Olim SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
A). Habis dibagi dan pembagian bersisa
Misalkan terdapat bilangan bulat $a$ dengan $a \neq 0$ dan bilangan bulat $b$.
(i). Habis Membagi
$a$ habis membagi $b$ (disimbolkan $a|b$) jika terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $b = a.k$ (artinya $b$ adalah kelipatan dari $a$). Atau dapat diartikan, $a$ habis membagi $b$ jika hasil baginya bilangan bulat. $k$ adalah hasil pembagiannya.
(i). Habis Membagi
$a$ habis membagi $b$ (disimbolkan $a|b$) jika terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $b = a.k$ (artinya $b$ adalah kelipatan dari $a$). Atau dapat diartikan, $a$ habis membagi $b$ jika hasil baginya bilangan bulat. $k$ adalah hasil pembagiannya.
(ii). Pembagian bersisa (tidak habis membagi)
$a$ tidak habis membagi $b$ (disimbolkan $a \nmid b$) jika tidak terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $b=a.k$ (artinya $b$ bukan kelipatan dari $a$). Atau dapat diartikan, $a$ tidak habis membagi $b$ jika hasil baginya bukan bilangan bulat. Jika $a$ tidak habis membagi $b$, maka terdapat sisa pembagian misalkan $s$ dengan $0 < s < a$, dan hasil pembagiannya misalkan $k$, dapat ditulis: $b = a.k + s$
$a$ tidak habis membagi $b$ (disimbolkan $a \nmid b$) jika tidak terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $b=a.k$ (artinya $b$ bukan kelipatan dari $a$). Atau dapat diartikan, $a$ tidak habis membagi $b$ jika hasil baginya bukan bilangan bulat. Jika $a$ tidak habis membagi $b$, maka terdapat sisa pembagian misalkan $s$ dengan $0 < s < a$, dan hasil pembagiannya misalkan $k$, dapat ditulis: $b = a.k + s$
(iii). Secara umum
Misalkan bilangan bulat $b$ dibagi dengan $a$, maka terdapat hasil bagi $k$ dan sisa $s$, dapat ditulis:
$b=a.k+s$ dengan $0 \leq s < a$.
Jika $s=0$, maka $a$ habis membagi $b$ ($a|b$)
Jika $s \neq 0$, maka $a$ tidak habis membagi $b$ ($a \nmid b$)
Misalkan bilangan bulat $b$ dibagi dengan $a$, maka terdapat hasil bagi $k$ dan sisa $s$, dapat ditulis:
$b=a.k+s$ dengan $0 \leq s < a$.
Jika $s=0$, maka $a$ habis membagi $b$ ($a|b$)
Jika $s \neq 0$, maka $a$ tidak habis membagi $b$ ($a \nmid b$)
Contoh 1:
*). 2 habis membagi 6 karena 6 dibagi 2 hasilnya 3, sehingga $6=2 \times 3$. Jadi $2|6$.
*). 2 tidak habis membagi 9 karena 9 dibagi 2 hasilnya tidak bulat yaitu 4,5 (hasil baginya 4 dan bersisa 1), sehingga $9 = 2 \times 4+1$. Jadi $2 \nmid 9$.
B). Sifat-sifat keterbagian
Pada himpunan bilangan bulat berlaku:
1). Sifat refleksif
Untuk setiap bilangan bulat $a$ berlaku $a|a$
2). Sifat transitif
Untuk setiap bilangan bulat $a, b$, dan $c$ berlaku: jika $a|b$ dan $b|c$ maka $a|c$
3). Sifat linear
Untuk setiap bilangan bulat $a, b, c, x$, dan $y$ berlaku: Jika $a|b$ dan $a|c$ maka $a|(bx+cy)$
4). Sifat perkalian
Untuk setiap bilangan bulat $a, b$, dan $c$ berlaku: Jika $a|b$ maka $ca|cb$
5). Sifat bilangan 1
Untuk setiap bilangan bulat $a$ berlaku $1|a$
6). Sifat bilangan 0
Untuk setiap bilangan bulat $a$ berlaku $a|0$
7). Jika $a|b$ dan $b|a$ maka $a = \pm b$
8). Jika $a|c$ dan $b|c$ maka $(a.b)|c$
9). Jika $a|b$ maka $a|(b.c)$
1). Sifat refleksif
Untuk setiap bilangan bulat $a$ berlaku $a|a$
2). Sifat transitif
Untuk setiap bilangan bulat $a, b$, dan $c$ berlaku: jika $a|b$ dan $b|c$ maka $a|c$
3). Sifat linear
Untuk setiap bilangan bulat $a, b, c, x$, dan $y$ berlaku: Jika $a|b$ dan $a|c$ maka $a|(bx+cy)$
4). Sifat perkalian
Untuk setiap bilangan bulat $a, b$, dan $c$ berlaku: Jika $a|b$ maka $ca|cb$
5). Sifat bilangan 1
Untuk setiap bilangan bulat $a$ berlaku $1|a$
6). Sifat bilangan 0
Untuk setiap bilangan bulat $a$ berlaku $a|0$
7). Jika $a|b$ dan $b|a$ maka $a = \pm b$
8). Jika $a|c$ dan $b|c$ maka $(a.b)|c$
9). Jika $a|b$ maka $a|(b.c)$
Contoh 2:
Jika $n$ adalah bilangan asli dan genap, maka buktikan bahwa $n^2+6n$ habis dibagi 4.
C). Sifat-sifat Bilangan Habis dibagi
1. Ciri bilangan habis dibagi 2
Bilangan tersebut genap (angka satuannya genap, yaitu 0, 2, 4, 6, dan 8)
2. Ciri bilangan habis dibagi 3
Jumlah angka-angka (digit-digit) nya habis dibagi 3.
3. Ciri bilangan habis dibagi 4
Dua angka terakhir habis dibagi 4.
4. Ciri bilangan habis dibagi 5
Angka satuan atau angka terakhirnya 5
5. Ciri bilangan habis dibagi 6
Bilangan genap dan jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.
6. Ciri bilangan habis dibagi 7
Pisahkan bilangan tersebut menjadi 2 bagian.
i) Bagian pertama adalah coret (hapus) angka satuannya.
ii) Bagian kedua adalah angka satuan yang dicoret tadi. Jika bagian pertama dikurangi 2 kali bagian kedua lalu hasilnya habis dibagi 7 maka bilangan tersebut habis dibagi 7.
iii). Proses di atas dapat diulangi jika hasilnya masih besar, artinya jika masih sulit untuk mengetahui apakah hasilnya habis dibagi 7 maka cara ini diulangi lagi.
7. Ciri bilangan habis dibagi 8
Tiga angka terakhir habis dibagi 8.
8. Ciri bilangan habis dibagi 9
Jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.
9. Ciri bilangan habis dibagi 10
Angka terakhir atau satuannya 0.
10. Ciri bilangan habis dibagi 11
Jumlah tanda ganti angka-angkanya 0 atau habis dibagi 11, atau dapat juga dikatakan jumlah angka pada posisi ganjil dikurangi jumlah angka pada posisi genap adalah 0 atau habis dibagi 11.
11. Ciri bilangan habis dibagi 12
Bilangan tersebut habis dibagi 3 dan 4 (ingat: $12=3 \times 4$)
12.Ciri bilangan habis dibagi 13
Ciri bilangan habis dibagi 13 hampir sama caranya dengan ciri bilangan habis dibagi 7. Bedanya bagian keduanya dikalikan dengan 9.
13. Ciri bilangan habis dibagi 14
Bilangan tersebut habis dibagi 2 dan 7.
14. Ciri bilangan habis dibagi 15
Bilangan tersebut habis dibagi 3 dan 5
15. Ciri bilangan habis dibagi 16
Empat angka terakhir habis dibagi 16.
16. Ciri bilangan habis dibagi 17
Ciri bilangan habis dibagi 17 hampir sama caranya dengan ciri bilangan habis dibagi 7 dan 13. Bedanya bagian keduanya dikalikan dengan 5.
17. Ciri bilangan habis dibagi 18
Bilangan tersebut habis dibagi 2 dan 9.
18. Ciri bilangan habis dibagi 19
Ciri bilangan habis dibagi 19 hampir sama dengan bilangan habis dibagi 7, 13, dan 17. Bedanya bagian pertama ditambah 2 kali bagian kedua lalu hasilnya dibagi 19.
19. Ciri bilangan habis dibagi 20.
Dua angka terakhir habis dibagi 4 dan 5.
Contoh 3:
Jika bilangan lima angka $12a7b$ habis dibagi 99, maka tentukan nilai $a+b$?
Contoh 4:
Bilangan yang terdiri dari 6 digit $3ab82c$ habis dibagi 8. Tentukan angka $c$ terkecil yang mungkin?
Contoh 5:
Terdapat dua bilangan bulat $P$ dan $Q$. Jika $P$ dibagi 9 bersisa 7 dan $Q$ dibagi 9 bersisa 4, maka $PQ$ dibagi 9 akan bersisa ...?
Pembahasan Contoh Soal-soal:
Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Keterbagian Bilangan Olim SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi
di bagian bawah setiap soalnya.
Contoh Soal-soal dan Solusinya:
contoh 1:
sudah sesuai definisinya.
contoh 2:
Jika $n$ adalah bilangan asli dan genap, maka buktikan bahwa $n^2+6n$ habis dibagi 4.
Jika bilangan lima angka $12a7b$ habis dibagi 99, maka tentukan nilai $a+b$?
Bilangan yang terdiri dari 6 digit $3ab82c$ habis dibagi 8. Tentukan angka $c$ terkecil yang mungkin?
Terdapat dua bilangan bulat $P$ dan $Q$. Jika $P$ dibagi 9 bersisa 7 dan $Q$ dibagi 9 bersisa 4, maka $PQ$ dibagi 9 akan bersisa ...?
Soal-soal Latihan
Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Keterbagian Bilangan Olim SMP untuk menambah wawasan dalam
pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.
1). Bilangan tiga digit $2A3$ jika ditambah dengan 326 akan menghasilkan bilangan tiga digit $5B9$. Jika $5B9$ habis dibagi 9, maka $A+B= ...$?
2). Berapa jumlah semua bilangan dua digit, sehingga jika bilangan itu dibagi dengan jumlah digit-digitnya hasilnya adalah 4 dan sisanya 3.
3). Bilangan-bilangan 2058 dan 5002 dibagi dengan bilangan prima yang sama yang terdiri dari dua angka memberikan sisa yang sama. Berapakah sisa pembagian itu?
4). Jika $n$ bilangan asli, buktikan bahwa $n^3+5n$ habis dibagi 6.
5). Diketahui $a, b, c$, dan $d$ adalah bilangan bulat positif dibagi 13 berturut-turut bersisa 12, 9, 11, dan 7. Tentukan sisa dari $3a+4b-3c+2d$ dibagi 13?
6). Tentukan bilangan terbesar yang terdiri dari tiga digit yang jika dibagi 7 bersisa 2 dan jika dibagi 5 bersisa 1?
7). Tentukan nilai $p$ yang merupakan digit dalam persamaan $81 \times 586794 = 475p0p14$.
8). 100 jika dibagi $y$ bersisa 4, sementara 90 jika dibagi $y$ sisanya 18. Tentukan nilai $y$.
9). Tentukan nilai digit $k$ dalam persamaan berikut ini.
$2k99561=(3(523+k))^2 $
10). Bilangan yang dinyatakan dalam $a679b$ ini habis dibagi 72. Berapakah nilai $a -b$?
11). Bilangan asli terbesar yang jika membagi bilangan 1723, 2010, dan 5741 selalu memberikan sisa 1 adalah ...
12). Tunjukkan bahwa kuadrat dari sebarang bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai bentuk $4k$ atau $4k+1$!
(Dengan kata lain, setiap bilangan kuadrat jika dibagi 4 akan selalu bersisa 0 atau 1).
13). Tunjukkan bahwa ada sebanyak tak hingga bilangan bulat $n$ yang mengakibatkan $n^2+23$ habis dibagi oleh 24.
14). Diberikan $1ababababab$ yang merupakan bilangan bulat 11 digits yang habis dibagi 99. Tentukan nilai $a$ dan $b$?
15). Suatu bilangan jika dibagi 899 bersisa 63. Jika bilangan tersebut dibagi 29 akan bersisa ...
16). Jika $2^{2020}+5$ dibagi oleh 33 akan bersisa ...
17). Tentukan sisa bagi jika
$( \, \underbrace{999999...999}_{2020 \, angka \, 9} \, )^{2020}-( \, \underbrace{555555...555}_{2020 \, angka \, 5} \, )^{2020} $
dibagi oleh 11.
18). Buktikan sifat nomor 2 dan sifat nomor 3.
19). Jika $n$ bilangan asli, buktikan bahwa $n^3+2n$ habis dibagi 3.
Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Keterbagian Bilangan Olim SMP.
(masih dalam proses pengetikan)
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP
Demikian pembahasan materi Keterbagian Bilangan Olim SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
