Sistem Persamaan Linier Olim SMP

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas tentang Sistem Persamaan Linier Olim SMP yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan beberapa soal lainnya untuk mendukung pemahaman materinya yang lebih mendalam. Sistem Persamaan Linier Olim SMP ini adalah salah satu materi paling mendasar yang harus dipahami oleh sahabat koma.

A. Bentuk Sistem Persamaan Linear (SPL)

1). Sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV)
       Bentuk SPL: $ \left\{ \begin{array}{c} ax+by=c \\ px+qy=r \end{array} \right. $
(i). Banyak solusi tunggal jika $ \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} $
(ii). Banyak solusi tak hingga jika $ \frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r} $
(iii). Tidak punya solusi jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r} $

2). Sistem persamaan linier lainnya
       Ada sistem persamaan linier tiga variabel, ada empat variabel, dan seterusnya.

B. Penyelesaian SPL

       Untuk menyelesaikan system persamaan, ada beberapa cara yaitu eliminasi, substitusi, gabungan (eliminasi dan substitusi).

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Sistem Persamaan Linier Olim SMP untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x-y}{5} - \frac{x+y}{4} = \frac{1}{2} \\ 2(x-y)-3(x+y)+1=0 \end{array} \right. $

Contoh 2:
Selesaikan sistem berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 5,4x + 4,6y = 104 \\ 4,6x + 5,4y = 96 \end{array} \right. $

Contoh 3:
Carilah solusi dari SPL berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x+2(5x+y) = 16 \\ 5x+y=7 \end{array} \right. $

Contoh 4:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier:
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} \\ x+3y+6z=15 \end{array} \right. $

Contoh 5:
Selesaikan sistem persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x+ y = 5 \\ y + z = 6 \\ z + x = 7 \end{array} \right. $

Contoh 6:
Selesaikan SPL berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x+2y=5 \\ y+2z=8 \\ z+2u = 11 \\ u+2x = 6 \end{array} \right. $

Contoh 7:
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dalam bentuk $ a $ , $ b $, dan $ c $.
$ \left\{ \begin{array}{c} 5x-y+3z=a \\ 5y-z+3x = b \\ 5z - x + 3y = c \end{array} \right. $

Contoh 8:
Terdapat $x, y $ , dan $ z $ memenuhi sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2000(x-y) + 2001(y-z) + 2002(z-x) = 0 \\ 2000^2 (x-y) + 2001^2 (y-z) + 2002^2 (z-x) = 2001 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ z - y $?

Contoh 9:
Tentukan pasangan bilangan $ (x, y) $ dan nilai $ k $ dari sistem persamaan berikut!
$ \left\{ \begin{array}{c} x+(1+k)y=0 \\ (1-k)x + ky = 1 + k \\ (1+k)x + (12-k)y = -(1+k) \end{array} \right. $


Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x-y}{5} - \frac{x+y}{4} = \frac{1}{2} \\ 2(x-y)-3(x+y)+1=0 \end{array} \right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Eliminasi dan Substitusi

$\clubsuit $ Pembahasan
Sistem persamaan pada soal diubah (dengan menyamakan penyebut, dll), kita peroleh:
$ \left\{ \begin{array}{c} -x - 9y = 10 \\ -x - 5y = -1 \end{array} \right. $

*). Eliminasi variabel $ x $:
$ \begin{array}{cc} -x - 9y = 10 & \\ -x - 5y = -1 & - \\ \hline -4y = 11 & \\ y = -\frac{11}{4} & \end{array} $

*). Substitusi $ y = -\frac{11}{4} $ ke salah satu persamaan:
$ \begin{align} -x - 5y & = -1 \\ -x - 5 \left( -\frac{11}{4} \right) & = -1 \\ -x +\frac{55}{4} & = -1 \\ -x & = -1 - \frac{55}{4} \\ -x & = -\frac{59}{4} \\ x & = \frac{59}{4} \end{align} $

Jadi, solusinya $ x = \frac{59}{4} $ dan $ y = -\frac{11}{4} . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Selesaikan sistem berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 5,4x + 4,6y = 104 \\ 4,6x + 5,4y = 96 \end{array} \right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Eliminasi dan Substitusi

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlahkan kedua persamaan:
$ 10x + 10y = 200 $ (bagi 10)
$ x + y = 20 $ ... (iii)

*). (ii) kali 10 dan (iii) kali 46
$ \begin{array}{cc} 46x + 54y = 960 & \\ 46x + 46y = 920 & - \\ \hline 8y = 40 & \\ y = 5 & \end{array} $

*). Substitusi $ y = 5 $ ke pers (iii):
$ \begin{align} x + y & = 20 \\ x + 5 & = 20 \\ x & = 15 \end{align} $

Jadi, penyelesaiannya $ x = 15 $ dan $ y = 5 . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Carilah solusi dari SPL berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x+2(5x+y) = 16 \\ 5x+y=7 \end{array} \right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Substitusi

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi pers(ii) ke (i):
$ \begin{align} x+2(5x+y) & = 16 \\ x+2(7) & = 16 \\ x+14 & = 16 \\ x & = 2 \end{align} $

*). Substitusi $ x = 2 $ ke pers (ii):
$ \begin{align} 5x + y & = 7 \\ 5(2) + y & = 7 \\ 10 + y & = 7 \\ y & = -3 \\ \end{align} $

Jadi, solusi $ x = 2 $ dan $ y = -3 . \, \heartsuit $

Contoh 4:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier:
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} \\ x+3y+6z=15 \end{array} \right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Substitusi:

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan per(i) hasilnya $ k $
$ \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k $
Sehingga $ x = 2k $ , $ y = 3k $ , dan $ z = 5k $

*). Substitusi ke pers(ii) :
$ \begin{align} x+3y+6z & =15 \\ 2k+3(3k)+6(5k) & =15 \\ 2k+9k+30k & =15 \\ 41k & =15 \\ k & = \frac{15}{41} \end{align} $

*). Substitusi nilai $ k $
$ x = 2k = 2 \times \frac{15}{41} = \frac{30}{41} $
$ y = 3k = 3 \times \frac{15}{41} = \frac{45}{41} $
$ z = 5k = 5 \times \frac{15}{41} = \frac{75}{41} $

Jadi, nilai $ x= \frac{30}{41}, y = \frac{45}{41} $ dan $ z = \frac{75}{41} . \, \heartsuit $

Contoh 5:
Selesaikan sistem persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x+ y = 5 \\ y + z = 6 \\ z + x = 7 \end{array} \right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Substitusi:

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlahkan ketiga persamaan:
$ \begin{align} 2x + 2y + 2z & = 18 \\ x + y + z & = 9 \, \, \text{...(iv)} \end{align} $

*). Substitusi setiap persamaan ke pers (iv):
$ \begin{align} x + y = 5 \rightarrow x + y + z & = 9 \\ 5 + z & = 9 \\ z & = 4 \\ y + z = 6 \rightarrow x + y + z & = 9 \\ x + 6 & = 9 \\ x & = 3 \\ z + x = 7 \rightarrow x + y + z & = 9 \\ y + 7 & = 9 \\ y = 2 \end{align} $

Jadi, solusinya $ x = 3, y = 2, z = 4 . \, \heartsuit $

Contoh 6:
Selesaikan SPL berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x+2y=5 \\ y+2z=8 \\ z+2u = 11 \\ u+2x = 6 \end{array} \right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Substitusi:

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita ubah setiap persamaan menjadi variabel lainnya:
$ \begin{align} u + 2x = 6 \rightarrow u & = 6 - 2x \\ z + 2u = 11 \rightarrow z & = 11 - 2u \\ z & = 11 - 2(6 - 2x) \\ z & = 4x - 1 \\ y + 2z = 8 \rightarrow y & = 8 - 2z \\ y & = 8 - 2(4x - 1) \\ y & = 10 - 8x \\ x + 2y = 5 \rightarrow x + 2y & = 5 \\ x + 2(10 - 8x) & = 5 \\ x + 20 - 16x & = 5 \\ -15x & = -15 \\ x & = 1 \end{align} $

Nilai variabel lainnya yaitu:
$ y = 10 - 8x = 10 - 8 . 1 = 2 $
$ z = 4x - 1 = 4.1 - 1 = 3 $
$ u = 6 - 2x = 6 - 2.1 = 4 $

Jadi, nilai $ x = 1, y = 2, z = 3, u = 4 . \, \heartsuit $

Contoh 7:
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut dalam bentuk $ a $ , $ b $, dan $ c $.
$ \left\{ \begin{array}{c} 5x-y+3z=a \\ 5y-z+3x = b \\ 5z - x + 3y = c \end{array} \right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Metode Eliminasi

$\clubsuit $ Pembahasan
Diketahui :
$ 5x-y+3z=a $ .... (i)
$ 5y-z+3x = b $ .... (ii)
$ 5z - x + 3y = c $ .... (iii)

*). Eliminasi dua variabel sekaligus:
-). 2 $ \times $ (i) + (ii) - (iii):
$ \begin{align} 14x & = 2a + b - c \\ x & = \frac{2a + b - c}{14} \end{align} $
-). 2 $ \times $ (ii) + (iii) - (i):
$ \begin{align} 14y & = 2b + c - a \\ y & = \frac{2b + c - a}{14} \end{align} $
-). 2 $ \times $ (iii) + (i) - (ii):
$ \begin{align} 14z & = 2c + a - b \\ z & = \frac{2c + a - b}{14} \end{align} $

Jadi, diperoleh hasil seperti di atas$ . \, \heartsuit $

Contoh 8:
Terdapat $x, y $ , dan $ z $ memenuhi sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2000(x-y) + 2001(y-z) + 2002(z-x) = 0 \\ 2000^2 (x-y) + 2001^2 (y-z) + 2002^2 (z-x) = 2001 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ z - y $?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Eliminasi dan Substitusi

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan:
$ u = x - y $, $ v = y - z $, dan $ w = z- x $
*). Sistem persamaannya menjadi:
$ u + v + w = 0 $ .... (i)
$2000u + 2001v + 2002w = 0 $ .... (ii)
$ 2000^2 u + 2001^2v + 2002^2 w = 2001 $ .... (iii)

*). Eliminasi variabelnya:
-). 2001 $ \times $ (i) - (ii) :
$ u - w = 0 \rightarrow u = w $
-). 2000 $ \times $ (i) - (ii) :
$ v - 2w = 0 \rightarrow v = -2w $
-). Persamaan (iii):
$ \begin{align} 2000^2 u + 2001^2v + 2002^2 w & = 2001 \\ 2000^2 w + 2001^2 (-2w) + 2002^2 w & = 2001 \\ w(2000^2 - 2 \times 2001^2 + 2002^2 ) & = 2001 \\ w([2000^2 - 2001^2] + 2002^2- 2001^2] ) & = 2001 \\ w([-4001] + 4003] ) & = 2001 \\ w(2 ) & = 2001 \\ 2w & = 2001 \end{align} $

*). Menentukan $ z - y $:
$ \begin{align} z - y & = -(y-z) \\ & = -v \\ & = - (-2w) \\ & = 2w \\ & = 2001 \end{align} $

Jadi, nilai $ z - y = 2001 . \, \heartsuit $

Contoh 9:
Tentukan pasangan bilangan $ (x, y) $ dan nilai $ k $ dari sistem persamaan berikut!
$ \left\{ \begin{array}{c} x+(1+k)y=0 \\ (1-k)x + ky = 1 + k \\ (1+k)x + (12-k)y = -(1+k) \end{array} \right. $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Eliminasi dan Substitusi

$\clubsuit $ Pembahasan
Diketahui:
$ x+(1+k)y=0 $ .... (i)
$ (1-k)x + ky = 1 + k $ .... (ii)
$ (1+k)x + (12-k)y = -(1+k) $ .... (iii)

*). (ii) + (iii), diperoleh:
$ 2x + 12y = 0 \rightarrow x = -6y $
*). Substitusi $ x = -6y $ ke (i):
$ \begin{align} x+(1+k)y & = 0 \\ -6y+(1+k)y & = 0 \\ (-6+1+k)y & = 0 \\ (-5 + k)y & = 0 \\ k = 5 \vee y & = 0 \end{align} $

*). Ada dua kemungkinan:
-). Untuk $ y = 0 $
maka $ x = 0 $ dan dari (ii) diperoleh $ k = -1 $
-). Untuk $ k = 5 $
(ii). $ (1-5)(-6y) + 5y = 1 + 5 $
$ 29y = 6 \rightarrow y = \frac{6}{29} $ dan $ x = -6y = -\frac{36}{29} $

Jadi, ada dua kemungkinan hasilnya$ . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Sistem Persamaan Linier Olim SMP untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). $ x = 2 $ dan $ y = 1 $ adalah penyelesaian dari sistem persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} ax+by=7 \\ bx+cy=5 \end{array} \right. $
Hubungan $ a $ dan $ c $ adalah ...?
A). $ 4a + c = 9 $
B). $ 2a + c = 9 $
C). $ 4a - c = 9 $
D). $ 2a - c = 9 $

2). Berikut adalah sistem persamaan dengan variable $ x $ dan $ y $.
Sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 3x-y=5 \\ 2x+y - z = 0 \\ 4ax + 5by - z = -22 \end{array} \right. $
Dan sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c} ax-by+z=8 \\ x+y+5=c \\ 2x + 3y = -4 \end{array} \right. $
Memiliki solusi yang sama. Nilai $ (a, b, c) $ adalah ...?
A). $ (2, 3, 4) $
B). $ (3. 4. 5) $
C). $ (-2, -3, -4) $
D). $ (-3, -4, -5) $

3). Tentukan nilai $ k $ agar sistem persamaan berikut
$ \left\{ \begin{array}{c} kx-y = -\frac{1}{3} \\ 3y=1-6x \end{array} \right. $
Memiliki solusi:
(a). satu solusi (solusi tunggal)
(b). tidak ada solusi
(c). banyak solusi

4). Diketahui sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{ab}{a+b} = 2 \\ \frac{ac}{a+c} = 5 \\ \frac{bc}{b+c} = 4 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ a + b + c $

5). Selesaikan sistem persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x-y+z=1 \\ y-z+u = 2 \\ z-u + v = 3 \\ u - v + x = 4 \\ v - x + y = 5 \end{array} \right. $

6). Diketahui sistem persamaan:
$ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} = 0 $
$ \frac{1}{x} - \frac{6}{y} - \frac{5}{z} = 0 $
Tentukan nilai dari $ \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} $

7). Sistem persamaan berikut memiliki penyelesaian bilangan bulat.
$ \left\{ \begin{array}{c} mx + 2y = 10 \\ 3x - 2y = 0 \end{array} \right. $
Tentukan nilai dari $ m^2 $?

8). Tentukan solusi dari sistem persamaan:
$ x + y + z + u = 10 $
$ 2x + y + 4z + 3u = 29 $
$ 3x + 2y + z + 4u = 27 $
$ 4x + 3y + z + 2u = 22 $

9). Tentukan solusi dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z+x} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4} \end{array} \right. $

10). Selesaikan sistem persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x(y+z-x) = 60 - 2x^2 \\ y(z+x-y) = 75 - 2y^2 \\ z(x+y-z) = 90 - 2z^2 \end{array} \right. $

11). Tentukan solusi dari sistem persamaan:
$ 2x + y + z + u + v = 16 $
$ x + 2y + z + u + v = 17 $
$ x + y + 2z + u + v = 19 $
$ x + y + z + 2u + v = 21 $
$ x + y + z + u + 2v = 23 $

12). Diketahui sistem persamaan:
$ \left\{ \begin{array}{c} 3x + 7y + z = 315 \\ 4x + 10y + z = 420 \end{array} \right. $
Tentukan nilai dari $ x + y + z $?

13). Diketahui sistem persamaan:
$a+4b+9c+16d+25e=1$
$4a+9b+16c+25d+36e=12$
$9a+16b+25c+36d+49e=123$
Tentukan nilai $16a+25b+36c+49d+64e$?


Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Sistem Persamaan Linier Olim SMP.
(masih dalam proses pengetikan)


Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B


Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Sistem Persamaan Linier Olim SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.