Solusi Soal Maraton 34 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 34 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Diberikan fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $ untuk $ x \neq 2 $. Jika $ f^{-1}(4) = 1 $ , maka nilai $ f(3) = ...$
A). $ -10 \, $
B). $ -8 \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 8 \, $
E). $ 10 \, $

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
(ubah $ x $ dalam bentuk $ y $ )

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $
$ \begin{align} f(x) & = \frac{ax+1}{2-x} \\ y & = \frac{ax+1}{2-x} \\ y(2-x) & = ax + 1 \\ 2y - xy & = ax + 1 \\ ax + xy & = 2y - 1 \\ x(y + a) & = 2y - 1 \\ x & = \frac{2y - 1}{y + a} \\ f^{-1} (x) & = \frac{2x - 1}{x + a} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f^{-1}(4) = 1 $ :
$ \begin{align} f^{-1}(4) & = 1 \\ \frac{2.4 - 1}{4 + a} & = 1 \\ \frac{7}{4 + a} & = 1 \\ 4 + a & = 7 \\ a & = 3 \end{align} $
sehingga $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} = \frac{3x+1}{2-x} $
*). Menetukan nilai $ f(3) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{3x+1}{2-x} \\ f(3) & = \frac{3.3+1}{2-3} \\ & = \frac{10}{-1} = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(3) = -10 . \, \heartsuit $


cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Invers fungsi pecahan :
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx + b}{cx - a} $
atau
$ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{dx - b}{-cx + a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $
$ \begin{align} f(x) & = \frac{ax+1}{2-x} \\ f(x) & = \frac{ax+1}{-x+2} \\ f^{-1} (x) & = \frac{2x - 1}{x + a} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f^{-1}(4) = 1 $ :
$ \begin{align} f^{-1}(4) & = 1 \\ \frac{2.4 - 1}{4 + a} & = 1 \\ \frac{7}{4 + a} & = 1 \\ 4 + a & = 7 \\ a & = 3 \end{align} $
sehingga $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} = \frac{3x+1}{2-x} $
*). Menetukan nilai $ f(3) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{3x+1}{2-x} \\ f(3) & = \frac{3.3+1}{2-3} \\ & = \frac{10}{-1} = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(3) = -10 . \, \heartsuit $


cara III:
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi Invers :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1} (B) $
atau
$ f^{-1} (P) = Q \rightarrow P = f(Q) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f^{-1}(4) = 1 $ :
$ \begin{align} f^{-1}(4) & = 1 \\ 4 & = f(1) \\ 4 & = \frac{a.1+1}{2-1} \\ 4 & = \frac{a+1}{1} \\ 4 & = a + 1 \\ 3 & = a \end{align} $
sehingga $ f(x) = \frac{ax+1}{2-x} = \frac{3x+1}{2-x} $
*). Menetukan nilai $ f(3) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{3x+1}{2-x} \\ f(3) & = \frac{3.3+1}{2-3} \\ & = \frac{10}{-1} = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(3) = -10 . \, \heartsuit $

2). Diberikan fungsi - fungsi $f$ dan $g$ dengan persamaan $f(x)=x^2 , x\leq 0$ dan $g(x)=-\sqrt{x} , x \geq 0$ . Jika $f^{-1}$ adalah invers dari $f$ , maka $(f^{-1}og)(x)=...$

$\spadesuit \, $ Menentukan invers $f(x)$:
$ f(x)=x^2 \Leftrightarrow y=x^2 \Leftrightarrow x=-\sqrt{y} \, \text{(karena} \, x\leq 0 )$ ,
sehingga $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $(f^{-1}og)(x)$ :
$\begin{align*} (f^{-1}og)(x) &= f^{-1}\left( g(x) \right) \\ &= f^{-1}\left( -\sqrt{x} \right) \\ &=-\sqrt{-\sqrt{x}} \end{align*}$
$(f^{-1}og)(x)=-\sqrt{-\sqrt{x}}$ tidak terdefinisi karena di dalam akar tidak boleh negatif. Akan tetapi berdasarkan syarat $x\leq 0$ untuk $f(x)$ dan $x \geq 0$ untuk $g(x)$ , maka nilai $x$ yang berlaku sama dengan nol, sehingga:
$(f^{-1}og)(x)=-\sqrt{-\sqrt{0}} \Leftrightarrow (f^{-1}og)(x)=0. $
Jadi, $(f^{-1}og)(x)=0 \, \heartsuit $

3). Fungsi $ f $ dan $ g $ yang memenuhi $ f \circ g = g \circ f = x \, $ adalah ....
(A) $ \, f(x) = 1 \, $ dan $ \, g(x) = x $
(B) $ \, f(x) = x^2 \, $ dan $ \, g(x) = \sqrt{x} $
(C) $ \, f(x) = \frac{1}{x} \, $ dan $ \, g(x) = x^2 $
(D) $ \, f(x) = 3-x \, $ dan $ \, g(x) = x-3 $
(A) $ \, f(x) = 5-x \, $ dan $ \, g(x) = 5-x $

$\clubsuit \, $ Suatu fungsi memenuhi $ f \circ g = g \circ f = x \, $ adalah fungsi yang saling invers karena $ f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = x \, $
Sehingga dari pilihan, fungsi yang saling invers adalah opsi B yaitu $ x^2 \, $ dan $ \, \sqrt{x} $
Cek komposisinya :
$ f \circ g = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x $
$ g \circ f = g(f(x)) = g(x^2) = \sqrt{x^2} = x $
sehingga terbukti : $ f \circ g = g \circ f = x \, $
Jadi, fungsi yang memenuhi adalah $ \, f(x) = x^2 \, $ dan $ \, g(x) = \sqrt{x} .\heartsuit $

4). Gunakan Petunjuk C untuk soal ini.
Misalkan $ f(x) = 2x , \, 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \, $ dan $ f(x) = 2 - 2x , \, \frac{1}{2} < x \leq 1 . \, $ $ f^{(2)} (x) = f(f(x)) \, $ dan $ f^{(n+1)} (x) = f^{(n)} (f(x)) \, $ maka pernyataan berikut yang BENAR ....
(1). $ f^{(n)} (0) = 0 $
(2). $ f^{(n)} (1) = 0 , \, n > 1 $
(3). $ f^{(n)} (\frac{1}{2}) = 0 , \, n > 2 $
(4). $ f^{(n)} (\frac{1}{4}) = 0 , \, n > 3 $

$\clubsuit \,$ Fungsi $ f(x) \, $ dibagi dua berdasarkan nilai $ x $.
i). Untuk $ 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \, $, maka fungsi $ f(x) = 2x $
ii). Untuk $ \frac{1}{2} < x \leq 1 \, $, maka fungsi $ f(x) = 2 - 2x $
Sehingga nilai untuk beberapa $ x \, $ yaitu :
untuk $ x = 1 \rightarrow f(x) = 2-2x \rightarrow f(1) = 2 - 2.1 = 2- 2 = 0 $
untuk $ x = 0 \rightarrow f(x) = 2x \rightarrow f(0) = 2 .0 = 0 $
untuk $ x = \frac{1}{2} \rightarrow f(x) = 2x \rightarrow f(\frac{1}{2}) = 2 .\frac{1}{2} = 1 $
untuk $ x = \frac{1}{4} \rightarrow f(x) = 2x \rightarrow f(\frac{1}{4}) = 2 .\frac{1}{4} = \frac{1}{2} $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (0) = ... $
$\begin{align} f(0) & = 2.0 = 0 \\ f^{(2)} (0) & = f(f(0)) = f(0) = 0 \\ f^{(3)} (0) & = f(f^{(2)}(0)) = f(0) = 0 \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (0) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (1) benar.
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (1) = ... $
$\begin{align} f(1) & = 2 - 2.1 = 0 \\ f^{(2)} (1) & = f(f(1)) = f(0) = 0 \\ f^{(3)} (1) & = f(f^{(2)}(1)) = f(0) = 0 \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (1) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (2) benar untuk $ n > 1 $.
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (\frac{1}{2}) = ... $
$\begin{align} f(\frac{1}{2}) & = 2.\frac{1}{2} = 1 \\ f^{(2)} (\frac{1}{2}) & = f(f(1)) = f(0) = 0 \\ f^{(3)} (\frac{1}{2}) & = f(f^{(2)}(\frac{1}{2})) = f(0) = 0 \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (\frac{1}{2}) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (3) benar untuk $ n > 2 $.
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil dari $ f^{(n)} (\frac{1}{4}) = ... $
$\begin{align} f(\frac{1}{4}) & = 2.\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \\ f^{(2)} (\frac{1}{4}) & = f(f(\frac{1}{4})) = f(\frac{1}{2}) = 1 \\ f^{(3)} (\frac{1}{4}) & = f(f^{(2)}(\frac{1}{4})) = f(1) = 0 \\ f^{(4)} (\frac{1}{4}) & = f(f^{(3)}(\frac{1}{4})) = f(0) = 0 \\ \end{align}$
Artinya $ f^{(n)} (\frac{1}{4}) = 0 , \, $ sehingga pernyataan (4) benar untuk $ n > 3 $.
Jadi, semua pernyataan benar sehingga jawabannga E. $\heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.