Solusi Soal Maraton 33 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 33 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(2x) = g(x-3) $, maka $ f^{-1}(x) = .... $
A). $ g^{-1}\left( \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \right) \, $
B). $ g^{-1}\left( \frac{x}{2} \right) - \frac{2}{3} \, $
C). $ g^{-1}(2x + 6) \, $
D). $ 2g^{-1}(x) - 6 \, $
E). $ 2g^{-1}(x) + 6 $

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi Invers
*). Definisi Fungsi Invers
$ f(A) = B \leftrightarrow A = f^{-1}(B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Pada soal diketahui : $ f(2x) = g(x-3) $
Kita Misalkan $ A = 2x \, $ dan $ B = g(x-3) $
Sehingga :
$ \begin{align} f(2x) & = g(x-3) \\ f(A) & = B \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi invers)} \\ A & = f^{-1}(B) \, \, \, \, \, \, \, \text{(ganti bentuk A dan B)} \\ 2x & = f^{-1}(g(x-3)) \, \, \, \, \, \, \, \text{atau} \\ f^{-1}(g(x-3)) & = 2x \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Misalkan : $ p = g(x-3) $
Dengan definisi invers :
$ g(x-3) = p \rightarrow x - 3 = g^{-1}(p) \rightarrow x = g^{-1}(p) + 3 $
*). Sehingga pers(i) menjadi :
$ \begin{align} f^{-1}(g(x-3)) & = 2x \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ f^{-1}(p) & = 2(g^{-1}(p) + 3) \\ f^{-1}(p) & = 2g^{-1}(p) + 6 \end{align} $
Bentuk $ f^{-1}(p) = 2g^{-1}(p) + 6 \, $ sama saja dengan $ f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x) + 6 $.
Jadi, kita peroleh $ f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x) + 6 . \, \heartsuit $


Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi Invers
*). Definisi Fungsi Invers
$ f(A) = B \leftrightarrow A = f^{-1}(B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
*). Pada soal diketahui : $ f(2x) = g(x-3) $
Misalkan $ f(2x) = g(x-3) = p $
Sehingga :
$ f(2x) = p \rightarrow 2x = f^{-1} (p) \, $ atau $ f^{-1} (p) = 2x \, $ ....(i)
$ g(x-3) = p \rightarrow x - 3 = g^{-1}(p) \rightarrow x = g^{-1}(p) + 3 \, $ ....(ii)
*). Substitusi (ii) ke (i) :
$ \begin{align} f^{-1} (p) & = 2x \\ f^{-1} (p) & = 2 ( g^{-1}(p) + 3 ) \\ & = 2 g^{-1}(p) + 6 \end{align} $
Bentuk $ f^{-1}(p) = 2g^{-1}(p) + 6 \, $ sama saja dengan $ f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x) + 6 $.
Jadi, kita peroleh $ f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x) + 6 . \, \heartsuit $

2). Jika $ f(x) = 1 - x^2 $ dan $ g(x) = \sqrt{5 - x } $ , maka daerah hasil fungsi komposisi $ f \circ g \, $ adalah ....
A). $\{ y | -\infty < y < \infty \} $
B). $\{ y | y \leq -1 \, \text{ atau } \, y \geq 1 \} $
C). $\{ y | y \leq 5 \, \} $
D). $\{ y | y \leq 1 \} $
B). $\{ y | -1 \leq y \leq 1 \} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Daerah asal fungsi komposisi
*). Daerah hasil (range) suatu fungsi dapat kita tentukan dengan mensubstitusi daerah asalnya.
*). Daerah asal (domain) :
Daerah asal fungsi $ g $ adalah $ D_g $.
Misalkan $ y = (f \circ g)(x) $, daerah asalnya $ D_y$.
Daerah asal fungsi $ f \circ g = \{ D_g \cap D_y \} $
*). Daerah asal adalah nilai variabel awal (biasanya $ x $) yang bisa disubstitusikan ke fungsinya.
*). Komposisi fungsi : $ ( f\circ g)(x) = f(g(x)) $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Daerah asal $ g(x) = \sqrt{5 - x } $.
$ 5 - x \geq 0 \rightarrow -x \geq -5 \rightarrow x \leq 5 $
$ D_f = \{ x \leq 5 \} $.
*). Menentukan nilai $ f \circ g $ :
$\begin{align} y & = (f \circ g)(x) \\ & = f(g(x)) \\ & = f( \sqrt{5 - x } ) \\ & = 1 - (\sqrt{5 - x })^2 \\ & = 1 - (5 - x ) \\ & = x - 4 \end{align} $
Daerah asal dari $ y = x - 4 $ adalah semua bilangan real.
$ D_y = \{ x \in R \} $.
*). Menentukan Daerah asal dari $ f \circ g ) $ :
$\begin{align} D_{f \circ g} & = D_g \cap D_y \\ & = \{ x \leq 5 \} \cap \{ x \in R \} \\ & = \{ x \leq 5 \} \end{align} $
*). Menentukan daerah hasil fungsi $ y = ( f \circ g)(x) = x - 4 $ dengan domain $ \{ x \leq 5 \} $ :
$ \begin{align} y & = x - 4 \rightarrow y \leq 5 - 4 \rightarrow y \leq 1 \end{align} $
Sehingga daerah hasilnya $ R_{f \circ g} = \{ y | y \leq 1 \} $
Jadi, daerah hasil dari $ f \circ g $ adalah $ \{ y | y \leq 1 \} . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Bisa juga menentukan daerah hasilnya seperti berikut ini,
diketahui : $ y = x - 4 \, $ dan $ x \leq 5 $ .
$ x \leq 5 \rightarrow x - 4 \leq 5 - 4 \rightarrow x - 4 \leq 1 \rightarrow y \leq 1 $.

3). $ f^{-1} $ dan $ g^{-1} $ berturut-turut menyatakan invers dari fungsi $ f $ dan $ g $. Jika $ (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) = 2x - 4 $ dan $ g(x) = \frac{x-3}{2x+1} $ , $ x \neq -\frac{1}{2} $ , maka nilai $ f(2) $ sama dengan ......
A). $ -\frac{5}{4} \, $
B). $ -\frac{6}{5} \, $
C). $ -\frac{4}{5} \, $
D). $ -\frac{6}{7} \, $
E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi fungsi :
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)
*). Sifat invers komposisi fungsi :
(i). $ (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) $
(ii). $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) $
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). invers dari $ y = 2x - 4 $ :
$ y = 2x - 4 \rightarrow x = \frac{y + 4}{2} $
Sehingga invernya $ y^{-1} = \frac{x + 4}{2} $
*). Mengubah fungsi komposisinya :
$ \begin{align} (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) & = 2x - 4 \\ (g \circ f)^{-1}(x) & = 2x - 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(inverskan kedua ruas)} \\ (g \circ f)(x) & = \frac{x + 4}{2} \\ g(f(x)) & = \frac{x + 4}{2} \\ \frac{f(x)-3}{2f(x)+1} & = \frac{x + 4}{2} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } x = 2 ) \\ \frac{f(2)-3}{2f(2)+1} & = \frac{2 + 4}{2} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(misalkan } p = f(2) ) \\ \frac{p-3}{2p+1} & = 3 \\ p-3 & = 3(2p+1) \\ p-3 & = 6p+ 3 \\ -5p & = 6 \\ p & = -\frac{6}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ f(2) = p = -\frac{6}{5} $
Jadi, nilai $ f(2) = -\frac{6}{5} . \, \heartsuit $

4). Jika $ f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} $ dan $ g(x) = \frac{1}{x-2} $ , maka himpunan penyelesaian $ \frac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} < 0 $ adalah ...
A). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } x > 3 \} \, $
B). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } 2 < x < 3 \} \, $
C). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } 1 < x < 2 \} \, $
D). $ \{ x | 1 < x < 2 \text{ atau } x > 3 \} \, $
E). $ \{ x | 2 < x < 3 \text{ atau } x > 3 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi pengerjaannya dari kanan ke kiri :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Diketahui : $ f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} $ dan $ g(x) = \frac{1}{x-2} $
*). Menentukan fungsi $ (f \circ g)(x) $ :
$\begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f \left( \frac{1}{x-2} \right) \\ & = \frac{1}{\left( \frac{1}{x-2} - 1 \right)^2} \\ & = \frac{1}{\left( \frac{1}{x-2} - \frac{x-2}{x-2} \right)^2} \\ & = \frac{1}{\left( \frac{3 - x}{x-2} \right)^2} \\ & = \frac{(x-2)^2}{(3 - x)^2} \end{align} $
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} & < 0 \\ \frac{ \frac{1}{(x-1)^2}.\frac{1}{x-2} }{ \frac{(x-2)^2}{(3 - x)^2} } & < 0 \\ \frac{ (3-x)^2 }{ (x-1)^2.(x-2)^3} & < 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ x = 3 $ , akar penyebutnya : $ x = 1 $ dan $ x = 2 $
Garis bilangannya :
 
Himpunan penyelesaiannya :
$ \{ x < 1 \vee 1 < x < 2 \} $
Jadi, penyelesaiannya : $ \{ x < 1 \vee 1 < x < 2 \} . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.