Solusi Soal Maraton 29 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 29 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.

Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek

1). Jika tiga bilangan berbeda $x, y$ , dan $z$ membentuk barisan geometri, maka $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} = ....$
A). $\frac{1}{x} \,$
B). $- \frac{1}{y} \,$
C). $\frac{1}{z} \,$
D). $\frac{1}{x+z} \,$
E). $\frac{1}{x - z}$

$\spadesuit$ Konsep Dasar Barisan Geometri :
*). Rumus suku ke-$n$ : $U_n = ar^{n-1}$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). $x, y$ , dan $z$ membentuk barisan geometri,
misalkan $U_1 = x$, maka $y = U_2 = xr$ dan $z = U_3 = xr^2$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} & = \frac{1}{x-xr} - \frac{1}{xr-xr^2} \\ & = \frac{1}{x(1-r)} - \frac{1}{xr( 1 - r)} \\ & = \frac{1}{x(1-r)} \times \frac{r}{r} - \frac{1}{xr( 1 - r)} \\ & = \frac{r}{xr(1-r)} - \frac{1}{xr( 1 - r)} \\ & = \frac{r - 1}{xr(1-r)} = \frac{-(1-r)}{xr(1-r)} \\ & = \frac{-1}{xr} = \frac{-1}{y} = - \frac{1}{y} \end{align}$
Jadi, bentuk $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} = - \frac{1}{y} . \, \heartsuit$

2). Tujuh bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah tiga bilangan pertama sama dengan 33 dan jumlah tiga bilangan terakhir sama dengan 69, maka jumlah suku ke-4 dan ke-5 adalah ....
A). $31 \,$
B). $33 \,$
C). $37 \,$
D). $41 \,$
E). $46$

$\spadesuit$ Konsep Dasar Barisan aritmetika :
*). Rumus suku-$n$ : $U_n = a + (n-1)b$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Ada tujuh suku : $U_1,U_2,U_3,U_4,U_5,U_6,U_7$
*). jumlah tiga suku pertama = 33 :
$\begin{align} U_1 + U_2 + U_3 & = 33 \\ a + (a+b) + (a+2b) & = 33 \\ 3a + 3b & = 33 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ a + b & = 11 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
*). jumlah tiga suku terakhir = 69 :
$\begin{align} U_5 + U_6 + U_7 & = 69 \\ (a + 4b) + (a+5b) + (a+6b) & = 69 \\ 3a + 15b & = 69 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ a + 5b & = 23 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} a + 5b = 23 & \\ a + b = 11 & - \\ \hline 4b = 12 & \\ b = 3 & \end{array}$
Pers(i): $a + b = 11 \rightarrow a + 3 = 11 \rightarrow a = 8$
*). Jumlah $U_4$ dan $U_5$ :
$\begin{align} U_4 + U_5 & = (a + 3b) + (a + 4b) \\ & = 2a + 7b = 2.8 + 7.3 \\ & = 16 + 21 = 37 \end{align}$
Jadi, nilai $U_4 + U_5 = 37 . \, \heartsuit$

3). Jumlah penduduk suatu kota tiap 10 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut hasil sensus, pada tahun 2005 jumlah penduduk kota tersebut adalah 3,2 juta orang. Ini berarti bahwa pada tahun 1955 jumlah penduduk kota itu baru mencapai:
A). 80 ribu orang
B). 100 ribu orang
C). 120 ribu orang
D). 160 ribu orang
E). 200 ribu orang

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). Rumus Pertumbuhan penduduk :
$\, \, \, \, \, \, P = P_0 \times (r)^\frac{T}{t}$
Keterangan :
$P = \,$ jumlah penduduk akhir setelah T waktu,
$P_0 = \,$ jumlah penduduk awal,
$r = \,$ rasio (kelipatan pertumbuhan),
$t = \,$ periode pertumbuhan,
$T = \,$ lama waktu yang diminta.
(Rumus pertumbuhan ini diperoleh dari barisan geometri)

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Diketahui pada soal :
-). Pertumbuhan menjadi 2 kali lipat : $r = 2$,
-). Pertumbuhan penduduk setiap 10 tahun : $t = 10$
-). Dari 1955 sampai 2005 ada 50 tahun : $T = 50$
-). Jumlah penduduk awal di tahun 1955 adalah $P_0$.
-). Jumlah penduduk di tahun 2005 : $P = 3,2 \,$ juta = 3.200.000
*). Menentukan jumlah penduduk di tahun 1955 ($P_0$) :
$\begin{align} P & = P_0 \times (r)^\frac{T}{t} \\ 3.200.000 & = P_0 \times (2)^\frac{50}{10} \\ 3.200.000 & = P_0 \times (2)^5 \\ 3.200.000 & = P_0 \times 32 \\ P_0 & = \frac{3.200.000}{32} \\ & = 100.000 \end{align}$
Jadi, jumlah penduduk tahun 1955 adalah $100.000 . \, \heartsuit$

4).

$\Delta ABC$ siku-siku di A, $B_1$ pada BC sehingga $AB_1 \bot BC$ , $B_2$ pada BC sehingga $A_1B_2 \bot BC$, $A_2$ pada AC sehingga $B_2A_2 \bot AC$, dan seterusnya. Jika $AB = 6$ dan $BC = 10$, maka jumlah luas $\Delta ABC$, $\Delta B_1AC$, $\Delta A_1B_1C_1$ , $\Delta B_2A_1C_1$ , $\Delta A_2B_2C$ , dan seterusnya adalah ....
A). $\frac{600}{8} \,$
B). $\frac{600}{9} \,$
C). $60 \,$
D). $50 \,$
E). $\frac{600}{16}$

Cara 1:
$\spadesuit$ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Jumlah deret geometri tak hingga
$\, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1-r}$
keterangan :
$a = \,$ suku pertama dan
$r = \,$ rasio $= \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = ....$
*). Dua bangun sebangun maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama.
*). Ciri-ciri dua segitiga sebangun adalah ketiga sudut yang bersesuaian sama.

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Luas segitiga ABC siku-siku di A:
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$
$L \, \Delta ABC = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24$
*). Segitiga $B_1AC$ sebangun dengan segitiga ABC :
Sehingga perbandingannya : $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC}{BC} = \frac{B_1C}{AC}$
-). Panjang $AB_1$
$\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC}{BC} \rightarrow \frac{AB_1}{6} = \frac{8}{10} \rightarrow AB_1 = \frac{24}{5}$
-). Panjang $B_1C$
$\frac{AC}{BC} = \frac{B_1C}{AC} \rightarrow \frac{8}{10} = \frac{B_1C}{8} \rightarrow B_1C = \frac{32}{5}$
-). Luas segitiga $B_1AC$ :
$L \, \Delta B_1AC = \frac{1}{2}.AB_1.B_1C = \frac{1}{2} . \frac{24}{5}.\frac{32}{5} = \frac{16}{25} \times 24$
*). Karena segitiga berikutnya juga sebangun dengan segitiga ABC, maka luasnya segitiganya membentuk barisan geometri.
*). Jumlah luasnya :
$L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + ....$
$= 24 + \frac{16}{25} \times 24 + ....$
Membentuk deret geometri tak hingga dengan $a = 24$ dan
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{16}{25} \times 24}{24} = \frac{16}{25}$
*). Jumlah total segitiganya :
$\begin{align} & L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... \\ & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{24}{1-\frac{16}{25}} \\ & = \frac{24}{ \frac{9}{25}} = 24 \times \frac{25}{9} = \frac{600}{9} \end{align}$
Jadi, panjang tali semua adalah 381 cm $. \, \heartsuit$


cara 2:
$\spadesuit$ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Jumlah deret geometri tak hingga
$\, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1-r}$
keterangan :
$a = \,$ suku pertama dan
$r = \,$ rasio $= \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = ....$
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri segitiga siku-siku :
$\sin x = \frac{depan}{miring}$ dan $\cos x = \frac{samping}{miring}$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Luas segitiga ABC siku-siku di A:
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$
$L \, \Delta ABC = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24$
*). Misalkan sudut ACB $= x$
$\sin x = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10}$ dan $\cos x = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10}$
*). Perhatikan segitiga $B_1AC$ siku-siku di $B_1$ dan $ACB_1 = x$ :
-). Panjang $AB_1$
$\sin x = \frac{AB_1}{AC} \rightarrow \frac{6}{10} = \frac{AB_1}{8} \rightarrow AB_1 = \frac{24}{5}$
-). Panjang $B_1C$
$\cos x = \frac{B_1C}{AC} \rightarrow \frac{8}{10} = \frac{B_1C}{8} \rightarrow B_1C = \frac{32}{5}$
-). Luas segitiga $B_1AC$ :
$L \, \Delta B_1AC = \frac{1}{2}.AB_1.B_1C = \frac{1}{2} . \frac{24}{5}.\frac{32}{5} = \frac{16}{25} \times 24$
*). Karena panjang sisi segitiga berikutnya dapat diperoleh dari nilai $\sin x$ dan $\cos x$, maka luasnya segitiganya membentuk barisan geometri.
*). Jumlah luasnya :
$L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + ....$
$= 24 + \frac{16}{25} \times 24 + ....$
Membentuk deret geometri tak hingga dengan $a = 24$ dan
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{16}{25} \times 24}{24} = \frac{16}{25}$
*). Jumlah total segitiganya :
$\begin{align} & L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... \\ & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{24}{1-\frac{16}{25}} \\ & = \frac{24}{ \frac{9}{25}} = 24 \times \frac{25}{9} = \frac{600}{9} \end{align}$
Jadi, total luas segitiga adalah $\frac{600}{9} . \, \heartsuit$

       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya

• Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika

Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab

• Kumpulan Soal Matematika Per Bab Seleksi Masuk PTN

Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun

• Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar
• Soal SBMPTN dan Pembahasan Matematika IPA Lengkap
• Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika Dasar
• Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika IPA

Materi dan Soal TPS Kuantitatif

• Cakupan Materi TPS Kuantitatif
• Kumpulan Soal dan Solusi TryOut TPS Kuantitatif
• Kumpulan Soal-Soal TPS Kuantitatif UTBK 2020 Per Bab

       Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.