Solusi Soal Maraton 24 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 24 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Diberikan $ y > x > 0 $. Jika $ {}^9 \log (y^2 - x^2) = a $ dan $ {}^{x+y} \log 3 = b $ , maka $ {}^{27} \log (y-x) = ... $
A). $ \frac{3ab + 1}{2a} \, $
B). $ \frac{3ab - 1}{2b} \, $
C). $ \frac{2ab - 1}{3b} \, $
D). $ \frac{2ab + 1}{3a} \, $
E). $ \frac{2ab - 1}{3a} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat-sifat Logaritma :
$ {}^a log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log b = y \rightarrow {}^b \log a = \frac{1}{y} $
$ {}^{a^m} \log b = \frac{1}{m} . {}^a \log b $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk $ {}^{x+y} \log 3 = b $ :
$\begin{align} {}^{x+y} \log 3 & = b \rightarrow {}^3 \log (x + y) = \frac{1}{b} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ {}^3 \log (y - x) $ :
$\begin{align} {}^9 \log (y^2 - x^2) & = a \\ {}^{3^2} \log (y^2 - x^2) & = a \\ \frac{1}{2} . {}^3 \log (y^2 - x^2) & = a \\ {}^3 \log (y^2 - x^2) & = 2a \\ {}^3 \log (y-x)(y+x) & = 2a \\ {}^3 \log (y-x) + {}^3 \log (y+x) & = 2a \\ {}^3 \log (y-x) + \frac{1}{b} & = 2a \\ {}^3 \log (y-x) & = 2a - \frac{1}{b} \\ {}^3 \log (y-x) & = \frac{2ab}{b} - \frac{1}{b} \\ {}^3 \log (y-x) & = \frac{2ab - 1}{b} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ {}^{27} \log (y-x) $ :
$\begin{align} {}^{27} \log (y-x) & = {}^{3^3 } \log (y-x) \\ & = \frac{1}{3} . {}^{3} \log (y-x) \\ & = \frac{1}{3} . \frac{2ab - 1}{b} \\ & = \frac{2ab - 1}{3b} \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^{27} \log (y-x) = \frac{2ab - 1}{3b} . \, \heartsuit $

2). Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi persamaan $ (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} = \log 10 $ , maka $ x_1x_2 = .... $
A). $ 5\sqrt{10} \, $
B). $ 4\sqrt{10} \, $
C). $ 3\sqrt{10} \, $
D). $ 2\sqrt{10} \, $
E). $ \sqrt{10} $

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan eksponen
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
*). sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} \, $ dan $ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = {}^{10} \log x = \log x $
$ \begin{align} (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} & = \log 10 \\ (2\, {}^{10} \log x - 1) . {}^{10} \log x & = 1 \\ (2p - 1) .p & = 1 \\ 2p^2 - p - 1 & = 0 \\ (2p +1)(p-1) & = 0 \\ p = -\frac{1}{2} \vee p & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ p = -\frac{1}{2} \rightarrow {}^{10} \log x = -\frac{1}{2} \rightarrow x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} $
$ p = 1 \rightarrow {}^{10} \log x = 1 \rightarrow x_2 = 10^{1} = 10 $
Sehingga nilai :
$ x_1 . x_ 2 = 10^{-\frac{1}{2}} . 10 = 10^{-\frac{1}{2} + 1 } = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \, \heartsuit $
Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan eksponen
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
*). sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} \, $ dan $ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bagaimana kalau bentuk $ 2p^2 - p - 1 = 0 \, $ tidak bisa difaktorkan? Kita gunakan alternatif cara kedua ini.
Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $.
*). Misalkan akar-akar dari $ 2p^2 - p - 1 = 0 \, $ adalah $ p_1 \, $ dan $ p_2 \, $ dengan $ p_1 = {}^{10} \log x_1 \, $ dan $ p_2 = {}^{10} \log x_2 $.
*). Kita gunakan operasi penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat :
$ 2p^2 - p - 1 = 0 $
$\begin{align} p_1 + p_2 & = \frac{-b}{a} \\ {}^{10} \log x_1 + {}^{10} \log x_2 & = \frac{-(-1)}{2} \\ {}^{10} \log (x_1.x_2) & = \frac{1}{2} \\ (x_1.x_2) & = 10^\frac{1}{2} \\ (x_1.x_2) & = \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \, \heartsuit $

3). Jika $ {}^\sqrt{5} \log (x-3y) = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y , $ maka $ \frac{x}{y} = .... $
A). $\frac{1}{9} \, $
B). $ 1 \, $
C). $ 5 \, $
D). $ 9 \, $
E). $ 18 $

cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
Sifat-sifat logaritma :
i). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
ii). $ {}^a \log b = {{}^a}^n \log b^n $
Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Rightarrow f(x) = g(x) $
dengan syarat $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan $ p = \frac{x}{y} \, $
$ \begin{align} {}^\sqrt{5} \log (x-3y) & = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y \\ {{}^\sqrt{5}}^2 \log (x-3y)^2 & = {}^5 \log (4xy ) \\ {}^5 \log (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = {}^5 \log (4xy ) \\ (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = 4xy \\ x^2 + 9y^2 - 10xy & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } y^2) \\ \frac{x^2 + 9y^2 - 10xy}{y^2} & = \frac{0}{y^2} \\ \frac{x^2}{y^2} + \frac{ 9y^2 }{y^2} - \frac{10xy}{y^2} & = 0 \\ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 9 - 10.\frac{ x }{y } & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } \frac{x}{y} = p ) \\ \left( p\right)^2 + 9 - 10.p & = 0 \\ p^2 - 10p + 9 & = 0 \\ (p - 1)(p+9) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 9 \end{align} $
Syarat logaritma :
Dari bentuk $ {}^\sqrt{5} \log (x-3y) \, $ memiliki syarat $ x - 3y > 0 \, $ sehingga untuk $ p = 1 \rightarrow \frac{x}{y} = 1 \rightarrow x = y \, $ tidak memenuhi. Ini artinya yang memnuhi adalah $ p = 9 \, $ atau $ \frac{x}{y} = 9 $.
Jadi, nilai $ \frac{x}{y} = 9 . \, \heartsuit $
cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
Sifat-sifat logaritma :
i). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
ii). $ {}^a \log b = {{}^a}^n \log b^n $
Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Rightarrow f(x) = g(x) $
dengan syarat $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
$ \begin{align} {}^\sqrt{5} \log (x-3y) & = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y \\ {{}^\sqrt{5}}^2 \log (x-3y)^2 & = {}^5 \log (4xy ) \\ {}^5 \log (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = {}^5 \log (4xy ) \\ (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = 4xy \\ x^2 + 9y^2 - 10xy & = 0 \\ (x - y)(x - 9y) & = 0 \\ x = y \vee x & = 9y \end{align} $
Syarat logaritma :
Dari bentuk $ {}^\sqrt{5} \log (x-3y) \, $ memiliki syarat $ x - 3y > 0 \, $ sehingga untuk $ x = y \, $ tidak memenuhi. Ini artinya yang memnuhi adalah $ x = 9y $. Sehingga nilai $ \frac{x}{y} = \frac{9y}{y} = 9 $ .
Jadi, nilai $ \frac{x}{y} = 9 . \, \heartsuit $

4). Himpunan penyelesaian dari $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^3 \log (x^2+4x) \geq {}^\frac{1}{3} \log \frac{1}{5} $ adalah .......
A). $ x > -5 \, $ atau $ x < 1 $
B). $ -5 \leq x \leq 1 \, $
C). $ -5 < x < 1 \, $
D). $ x \leq -5 \, $ atau $ x \geq 1 $
E). $ -1 \leq x \, $ atau $ x \geq 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
Bentuk $ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log b $ memiliki solusi :
-). Solusi umumnya : kita peroleh HP1.
Jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) \geq b \, $ (tanda ketaksamaan tetap)
Jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) \leq b \, $ (tanda ketaksamaan dibalik)
-). Solusi syarat $ f(x) > 0 $ (HP2).
Solusi totalnya :
$ HP = HP1 \cap HP2 \, $ (diiriskan)
*). Sifat logaritma : $ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Soalnya : $ {}^3 \log (x^2+4x) \geq {}^\frac{1}{3} \log \frac{1}{5} $ :
*). Solusi syaratnya :
$ (x^2+4x) > 0 \rightarrow x(x+4) > 0 \rightarrow x = 0 \vee x = -4 $
Garis bilangan pertama : 

HP1 $ = \{ x < -4 \vee x > 0 \} $
*).Solusi umum:
$\begin{align} {}^3 \log (x^2+4x) & \geq {}^\frac{1}{3} \log \frac{1}{5} \\ {}^3 \log (x^2+4x) & \geq {}^{3^{-1}} \log 5^{-1} \\ {}^3 \log (x^2+4x) & \geq \frac{-1}{-1} . {}^3 \log 5 \\ {}^3 \log (x^2+4x) & \geq {}^3 \log 5 \\ (x^2+4x) & \geq 5 \\ x^2+4x - 5 & \geq 0 \\ (x + 5)(x-1) & \geq 0 \\ x = -5 \vee x & = 1 \end{align} $
garis bilangan kedua : 

HP2 $ = \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} $
*). Solusi totalnya :
$ \begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x < -4 \vee x > 0 \} \cap \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} \\ & = \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.