Solusi Soal Maraton 23 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 23 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.

Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek

1). Jika $ {}^2 \log ab = -1 $ dan $ \frac{{}^2 \log a}{{}^b \log 2} = -6 $ , maka persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $ \frac{8}{3}(a+b) - 9 $ dan $ \frac{a+b}{3a^3b^3} $ adalah ...
A). $ x^2 + 13x - 22 = 0 \, $
B). $ x^2 - 13x + 22 = 0 \, $
C). $ x^2 - 13x - 22 = 0 \, $
D). $ x^2 + 11x - 22 = 0 \, $
E). $ x^2 - 11x + 22 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ \frac{1}{{}^a \log b } = {}^b \log a $
*). Persamaan kuadrat dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
dengan $ HJ = x_1 + x_2 $ dan $ HK = x_1. x_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama
$\begin{align} {}^2 \log ab & = -1 \rightarrow {}^2 \log a + {}^2 \log b = -1 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan Kedua
$\begin{align} \frac{{}^2 \log a}{{}^b \log 2} & = -6 \rightarrow {}^2 \log a . {}^2 \log b = -6 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Dari kedua persamaan yaitu $ {}^2 \log a + {}^2 \log b = -1 $ dan $ {}^2 \log a . {}^2 \log b = -6 $ maka kita peroleh $ {}^2 \log a = -3 $ dan $ {}^2 \log b = 2 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$\begin{align} {}^2 \log a & = -3 \rightarrow a = 2^3 = \frac{1}{8} \\ {}^2 \log b & = 2 \rightarrow b = 2^2 = 4 \end{align} $
*). Menentukan akar-akar persamaan kuadratnya :
$\begin{align} \frac{8}{3}(a+b) - 9 & = \frac{8}{3}\left( \frac{1}{8} + 4 \right) - 9 = \frac{8}{3}\left( \frac{33}{8} \right) - 9 = 11 - 9 = 2 \\ \frac{a+b}{3a^3b^3} & = \frac{\frac{1}{8} + 4}{3(\frac{1}{8}. 4)^3} = \frac{\frac{33}{8} }{\frac{3}{8}} = 11 \end{align} $
Sehingga akar-akar persamaan kuadratnya adalah 2 dan 11
$ HJ = 2 + 11 = 13 $ dan $ HK = 2. 11 = 22 $
*). Menyusun persamaan kuadratnya :
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + HK & = 0 \\ x^2 - 13x + 22 & = 0 \end{align} $
Jadi, PK nya adalah $ x^2 - 13x + 22 = 0 . \, \heartsuit $

2). Jika $ b = a^3 $ dengan $ a $ dan $ b $ bilangan bulat positif, maka nilai $ {}^a \log b + {}^b \log a = .... $
A). $ 0 \, $
B). $ 1 \, $
C). $ \frac{8}{3} \, $
D). $ \frac{10}{3} \, $
E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} \, {}^a \log b $
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan substitusi $ b = a^3 $ :
$\begin{align} {}^a \log b + {}^b \log a & = {}^a \log a^3 + {}^{a^3} \log a \\ & = 3. {}^a \log a + \frac{1}{3} . {}^{a} \log a \\ & = 3. 1 + \frac{1}{3} . 1 \\ & = 3 + \frac{1}{3} \\ & = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^a \log b + {}^b \log a = \frac{10}{3} . \, \heartsuit $

3). Jika $ {}^4 \log 6 = m + 1 $ , maka $ {}^9 \log 8 = .... $
A). $ \frac{3}{4m-2} \, $
B). $ \frac{3}{4m+2} \, $
C). $ \frac{3}{2m+4} \, $
D). $ \frac{3}{2m-4} \, $
E). $ \frac{3}{2m+2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
1). $ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
2). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
3). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan bentuk $ {}^4 \log 6 $ :
$\begin{align} {}^4 \log 6 & = m + 1 \\ {}^{2^2} \log 6 & = m + 1 \\ \frac{1}{2} . {}^{2} \log 6 & = m + 1 \\ {}^{2} \log 6 & = 2(m + 1) \\ {}^{2} \log 2 . 3 & = 2m + 2 \\ {}^{2} \log 2 + {}^{2} \log 3 & = 2m + 2 \\ 1 + {}^{2} \log 3 & = 2m + 2 \\ {}^{2} \log 3 & = 2m + 1 \\ {}^3 \log 2 & = \frac{1}{2m + 1} \end{align} $
*). Menentukan hasil $ {}^9 \log 8 $ :
$\begin{align} {}^9 \log 8 & = {}^{3^2} \log 2^3 \\ & = \frac{3}{2} . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{3}{2} . \frac{1}{2m + 1} \\ & = \frac{3}{4m + 2} \end{align} $
Jadi, bentuk $ {}^9 \log 8 = \frac{3}{4m + 2} . \, \heartsuit $

4). Semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) > 3 \, $ berada pada ....
A). $ -3 < x < -2 \vee 2 < x < 5 \, $
B). $-5 < x < -2 \vee 2 < x < 3 \, $
C). $ -3 < x < -\sqrt{3} \vee \sqrt{3} < x < 5 \, $
D). $ x < -2 \vee x > 2 \, $
E). $ 2 < x < 5 $

Solusi I:

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Logaritma
*). Syarat Logaritma :
$ {}^{f(x)} \log g(x) \, $ memiliki syarat $ f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, $ dan $ g(x) > 0 $ .
*). Sifat Logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$ {}^a \log b = {{}^a}^n \log b^n \, $ (dipangkatkan sama)
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Pertidaksamaan Logaritma :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki solusi :
Untuk $ a > 1$, maka $ f(x) > g(x) \, $ atau
untuk $ 0 < x < 1 $, maka $ f(x) < g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan syarat logaritma pada soal
$ \begin{align} \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) > 3 \end{align} $
Syarat-syaratnya :
-). $ x + 6 > 0 \rightarrow \{ x > -6 \} $
-). $ x^2 - 3 > 0 \rightarrow x^2 > 3 \rightarrow x = \pm \sqrt{3} $
 
$ \{ x < - \sqrt{3} \vee x > \sqrt{3} \} $
-). $ x^2 - 3 \neq 1 \rightarrow x^2 \neq 4 \rightarrow x \neq \pm 2 $
Sehingga syarat yang memenuhi ketiganya adalah irisan dari ketiganya yaitu : $ -6 < x < -2 \, $ atau $ -2 < x < -\sqrt{3} \, $ atau $ \sqrt{3} < x < 2 \, $ atau $ x > 2 $.

*). Memodifikasi pertidaksamaan dengan sifat-sifat logaritma
$ \begin{align} \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + 1 ] & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 2^3 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + {}^2 \log 2 ] & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2 \right) .\left({}^2 \log 2(x+6)\right) & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2(x+6)\right) & > 3 \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ {}^{x^2-3} \log 2(x+6) & > 1 \\ {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \end{align} $

*). Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma berdasarkan batas-batas syaratnya :
-). Batas pertama : Untuk $ -6 < x < -2 \, $ , maka $ x^2 - 3 > 1 $ . Artinya basis lebih dari 1, sehingga tanda ketaksamaan tetap .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & > x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & < 0 \\ (x + 3)(x - 5) & < 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $
 

HP1 $ = \{ -6 < x < -2 \} \cap \{ -3 < x < 5 \} = \{ -3 < x < -2 \} $

-). Batas pertama : Untuk $ -2 < x < -\sqrt{3} \, $ , maka $ x^2 - 3 < 1 $ . Artinya basis kurang dari 1, sehingga tanda ketaksamaan dibalik .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & < x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ (x + 3)(x - 5) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $ 

HP2 $ = \{ -2 < x < -\sqrt{3} \} \cap \{ x < -3 \vee x > 5 \} = \{ \, \} $ (kosong)

-). Batas pertama : Untuk $ \sqrt{3} < x < 2 \, $ , maka $ x^2 - 3 < 1 $ . Artinya basis kurang dari 1, sehingga tanda ketaksamaan dibalik .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & < x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ (x + 3)(x - 5) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $
HP3 $ = \{ \sqrt{3} < x < 2 \} \cap \{ x < -3 \vee x > 5 \} = \{ \, \} $ (kosong)

-). Batas pertama : Untuk $ x > 2 \, $ , maka $ x^2 - 3 > 1 $ . Artinya basis lebih dari 1, sehingga tanda ketaksamaan tetap .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & > x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & < 0 \\ (x + 3)(x - 5) & < 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $
HP4 $ = \{ x > 2 \} \cap \{ -3 < x < 5 \} = \{ 2 < x < 5 \} $

Sehingga solusinya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 \cap HP4 = \{ -3 < x < -2 \} \vee \{ 2 < x < 5 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -3 < x < -2 \} \vee \{ 2 < x < 5 \} . \, \heartsuit $

Solusi II:

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Logaritma
*). Syarat Logaritma :
$ {}^{f(x)} \log g(x) \, $ memiliki syarat $ f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, $ dan $ g(x) > 0 $ .
*). Sifat Logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$ {}^a \log b = {{}^a}^n \log b^n \, $ (dipangkatkan sama)
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Pertidaksamaan Logaritma :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki solusi :
Untuk $ a > 1$, maka $ f(x) > g(x) \, $ atau
untuk $ 0 < x < 1 $, maka $ f(x) < g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memodifikasi pertidaksamaan dengan sifat-sifat logaritma
$ \begin{align} \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + 1 ] & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 2^3 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + {}^2 \log 2 ] & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2 \right) .\left({}^2 \log 2(x+6)\right) & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2(x+6)\right) & > 3 \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ {}^{x^2-3} \log 2(x+6) & > 1 \\ {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \end{align} $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{3^2-3} \log (2.3 + 12) & > {}^{3^2-3} \log 3^2-3 \\ {}^6 \log 18 & > {}^6 \log 6 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=3$ BENAR, opsi yang salah adalah B dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{2^2-3} \log (2.2 + 12) & > {}^{2^2-3} \log 2^2-3 \\ {}^1 \log 14 & > {}^1 \log 1 \\ \text{(SALAH karena basis } \neq 1) & \end{align}$
yang ada $x=2$ SALAH, opsi yang salah adalah C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-\frac{5}{2} \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{(-\frac{5}{2})^2-3} \log (2.(-\frac{5}{2}) + 12) & > {}^{(-\frac{5}{2})^2-3} \log (-\frac{5}{2})^2-3 \\ {}^\frac{13}{4} \log 7 & > {}^\frac{13}{4} \log \frac{13}{4} \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= -\frac{5}{2}$ BENAR, opsi yang salah adalah E. 

Jadi, opsi yang benar adalah A (yang tersisa) yaitu
$HP= \{ -3 < x < -2 \} \vee \{ 2 < x < 5 \} . \heartsuit$

       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya

• Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika

Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab

• Kumpulan Soal Matematika Per Bab Seleksi Masuk PTN

Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun

• Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar
• Soal SBMPTN dan Pembahasan Matematika IPA Lengkap
• Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika Dasar
• Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika IPA

Materi dan Soal TPS Kuantitatif

• Cakupan Materi TPS Kuantitatif
• Kumpulan Soal dan Solusi TryOut TPS Kuantitatif
• Kumpulan Soal-Soal TPS Kuantitatif UTBK 2020 Per Bab

       Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.