Solusi Soal Maraton 21 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 21 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Jika $ u = 2^x $ dan $ {}^u \log (2^{2x}-2^{x-2}) = 3 $ , maka $ 3^x = .... $
A). $ 3 \, $
B). $ 1 \, $
C). $ \frac{1}{3} \, $
D). $ \frac{1}{9} \, $
E). $ \frac{1}{27} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi Logaritma
$ {}^x \log y = z \rightarrow y = x^z $
*). sifat dan persamaan Eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} , \, a^{m.n} = (a^m)^n $ dan $ a^f(x) = a^c \rightarrow f(x) = c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena $ u = 2^x $, maka nilai $ u \neq 0 $.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan substitusi $ 2^x = u $ .
$\begin{align} {}^u \log (2^{2x}-2^{x-2}) & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ 2^{2x}-2^{x-2} & = u^3 \, \, \, \, \, \, \text{(sifat ekspo.)} \\ (2^x)^2 - \frac{2^{x}}{2^2} & = u^3 \\ u^2 - \frac{u}{4} & = u^3 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4u^2 - u & = 4u^3 \\ 4u^3 - 4u^2 + u & = 0 \\ u(4u^2 - 4u + 1) & = 0 \\ u(2u-1)^2 & = 0 \\ u = 0 \vee u & = \frac{1}{2} \end{align} $
yang memenuhi $ u = \frac{1}{2} $.
Sehingga : $ u = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x = 2^{-1} \rightarrow x = -1 $.
*). Menentukan nilai $ 3^x $ :
$ \begin{align} 3^x = 3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3} \end{align} $ .
Jadi, nilai $ 3^x = \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

2). Nilai dari $ {}^{1/k} \log m^2 . {}^{1/m} \log n^2 . {}^{1/n} \log k^2 $ adalah ....
A). $ 4 \, $
B). $ -4 \, $
C). $ 8 \, $
D). $ -8 \, $
E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
2). $ {}^{a} \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
3). $ {}^{a} \log a = 1 $
*). Sifat eksponen : $ \frac{1}{a} = a^{-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & {}^{1/k} \log m^2 . {}^{1/m} \log n^2 . {}^{1/n} \log k^2 \\ & = {}^{k^{-1}} \log m^2 . {}^{m^{-1}} \log n^2 . {}^{n^{-1}} \log k^2 \\ & = \frac{2}{-1} . {}^{k } \log m . \frac{2}{-1} . {}^{m} \log n . \frac{2}{-1}. {}^{n} \log k \\ & = (-2.-2.-2) . {}^{k } \log m . {}^{m} \log n . {}^{n} \log k \\ & = (-8) . {}^{k } \log k \\ & = (-8) . 1 = -8 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ - 8 . \, \heartsuit $

3). Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi $ \left( {}^{2-x} \log 27 \right)^2 = 9 $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ...
A). $ \frac{8}{3} \, $
B). $ \frac{5}{3} \, $
C). $ \frac{2}{3} \, $
D). $ -\frac{2}{3} \, $
E). $ -\frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a} \log b^n = n. {}^a \log b $
*). Sifat eksponen : $ (a.b)^n = a^n . b^n $ dan $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaannya :
$\begin{align} \left( {}^{2-x} \log 27 \right)^2 & = 9 \\ \left( {}^{2-x} \log 3^3 \right)^2 & = 9 \\ \left(3 . {}^{2-x} \log 3 \right)^2 & = 9 \\ 3^2 . \left( {}^{2-x} \log 3 \right)^2 & = 9 \\ 9 . \left( {}^{2-x} \log 3 \right)^2 & = 9 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 9)} \\ \left( {}^{2-x} \log 3 \right)^2 & = 1 \\ \left( {}^{2-x} \log 3 \right) & = \pm \sqrt{ 1 } \\ \left( {}^{2-x} \log 3 \right) & = \pm 1 \\ {}^{2-x} \log 3 = 1 \vee {}^{2-x} \log 3 & = - 1 \\ (2-x)^1 = 3 \vee (2-x)^{-1} & = 3 \\ 2-x = 3 \vee \frac{1}{2-x} & = 3 \\ x = 2 - 3 \vee 2-x & = \frac{1}{3} \\ x = -1 \vee x & = 2 - \frac{1}{3} \\ x_1 = -1 \vee x_2 & = \frac{5}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x_1 + x_2 $ :
$\begin{align} x_1+ x_2 & = -1 + \frac{5}{3} = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{2}{3} . \, \heartsuit $

4). Pertidaksamaan $ {}^2 \log (x^2-x) \leq 1 $ mempunyai penyelesaian ...
A). $ x < 0 \, $ atau $ x > 1 $
B). $ -1 < x < 2; x \neq 1 ; x \neq 0 \, $
C). $ -1 \leq x < 0 \, $ atau $ 1 < x \leq 2 $
D). $ -1 \leq x \leq 0 \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 1 \leq x < 2 $

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
5). Cari syarat jika ada, lalu iriskan semua himpunan penyelesaiannya.
*). Pertidaksamaan Logaritma :
Bentuk $ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ memiliki penyelesaian :
Jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) \leq g(x) \, $ (ketaksamaan tetap).
Jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) \geq g(x) \, $ (ketaksamaan diubah).
Dan memenuhi syarat : $ f(x) > 0 $ dan $ g(x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ {}^2 \log (x^2-x) \leq 1 $
*). Solusi syarat :
$\begin{align} (x^2-x) & > 0 \\ x(x - 1) & > 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
garis bilangan pertama :
 
$ HP_1 = \{ x < 0 \vee x > 1 \} $
*). Solusi Umum :
$\begin{align} {}^2 \log (x^2-x) & \leq 1 \\ {}^2 \log (x^2-x) & \leq {}^2 \log 2 \\ (x^2-x) & \leq 2 \\ x^2-x - 2 & \leq 0 \\ (x+1)(x-2) & \leq 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
Garis bilangan kedua :
 
$ HP_2 = \{ -1 \leq x \leq 2 \} $
*). SOlusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x < 0 \vee x > 1 \} \cap \{ -1 \leq x \leq 2 \} \\ & = \{ -1 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -1 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \} . \, \heartsuit $
Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow {}^2 \log (x^2-x) & \leq 1 \\ {}^2 \log (1^2-1) & \leq 1 \\ {}^2 \log 0 & \leq 1 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=1$ SALAH karena numerus harus $ > 0 $ , opsi yang benar A, B, dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^2 \log (x^2-x) & \leq 1 \\ {}^2 \log (2^2-2) & \leq 1 \\ {}^2 \log 2 & \leq 1 \\ 1 & \leq 1 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=2$ BENAR, opsi yang benar A dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow {}^2 \log (x^2-x) & \leq 1 \\ {}^2 \log (3^2-3) & \leq 1 \\ {}^2 \log 6 & \leq 1 \\ 2,.. & \leq 1 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=3$ SALAH, opsi yang benar C.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ -1 \leq x < 0 \, $ atau $ 1 < x \leq 2 . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.