Solusi Soal Maraton 20 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 20 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Jika $ a_1, a_2, a_3, ... , a_n $ adalah bilangan-bilangan asli berlainan yang memenuhi $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $ , maka nilai $ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = ... $
A). $ 44 \, $
B). $ 45 \, $
C). $ 46 \, $
D). $ 47 \, $
E). $ 48 $

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep Basis Bilangan :
*). Bilangan yang biasa kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah dalam bentuk basis 10. Contoh sederhana : 123 adalah bentuk basis 10 yang bisa kita tulis $ [123]_{10} $ yang dapat kita jabarkan menjadi :
$ [123]_{10} = 1\times 10^2 + 2\times 10^1 + 3 \times 10^0 = 10^2 + 2 \times 10 + 3 $ .
Selain bentuk basis 10, ternyata masih ada bentuk basis lainnya dimana bisa saling kita konversikan, misalnya basis 10 bisa kita konversikan ke basis 2 atau basis lainnya.
*). Bentuk umum basis bilangan :
$ [a_na_{n-1}...a_2a_1a_0]_b = a_n \times b^n + a_{n-1} \times b^{n-1} + ... + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0 $
dengan $ a_n, a_{n-1}, ..., a_3,a_2,a_1,a_0 $ semuanya kurang dari $ b $.
Contoh 1 :
$ [101101]_2 = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 +1 \times 2^2 +0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 $ $ [101101]_2 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 $
artinya $ [101101]_2 = [45]_{10} $
*). Cara mengubah basis 10 ke basis lain yaitu dengan cara dibagi dan kita daftarkan sisa pembagiannya.
Contoh :
bilangan $ 45 $ akan kita ubah menjadi basis 2 yaitu $ [45]_{10} = [.....]_2 $
Jawab:
-). karena akan diubah ke basis 2, maka kita bagi 2 bilangan 45.
$ 45 : 2 \rightarrow $ hasil = 22 dan sisa = 1
$ 22 : 2 \rightarrow $ hasil = 11 dan sisa = 0
$ 11 : 2 \rightarrow $ hasil = 5 dan sisa = 1
$ 5 : 2 \rightarrow $ hasil = 2 dan sisa = 1
$ 2 : 2 \rightarrow $ hasil = 1 dan sisa = 0
Urutan penulisannya adalah hasil terakhir dilanjutkan dengan sisa dari paling bawah, sehingga hasilnya :
$ [45]_{10} = [101101]_2 $
Catatan : Seingat saya materi ini dipelajari bagi siswa yang mau ikut olimpiade matematika.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatika bentuk $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $, yang artinya kita harus mengubah angka 2018 ke dalam bentuk basis 2.
*). Proses mengubah 2018 ke dalam bentuk basis 2 :
$ 2018 : 2 \rightarrow $ hasil = 1009 dan sisa = 0
$ 1009 : 2 \rightarrow $ hasil = 504 dan sisa = 1
$ 504 : 2 \rightarrow $ hasil = 252 dan sisa = 0
$ 252 : 2 \rightarrow $ hasil = 126 dan sisa = 0
$ 126 : 2 \rightarrow $ hasil = 63 dan sisa = 0
$ 63 : 2 \rightarrow $ hasil = 31 dan sisa = 1
$ 31 : 2 \rightarrow $ hasil = 15 dan sisa = 1
$ 15 : 2 \rightarrow $ hasil = 7 dan sisa = 1
$ 7 : 2 \rightarrow $ hasil = 3 dan sisa = 1
$ 3 : 2 \rightarrow $ hasil = 1 dan sisa = 1
Sehingga hasilnya : $ 2018 = [11111100010]_2 $
*). Kita ubah menjadi bentuk pangkat :
$ \begin{align} 2018 & = [11111100010]_2 \\ 2018 & = 1 \times 2^{10} + 1 \times 2^9 + 1 \times 2^8+ 1 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 \\ & = + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 \\ 2018 & = 2^{10} + 2^9 + 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 0 + 0 + 0 + 2^1 + 0 \\ 2018 & = 2^{10} + 2^9 + 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^1 \end{align} $
*). Sesuai bentuk $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $ dan bentuk pangkat di atas, maka kita peroleh :
$ a_1 = 10, a_2 = 9 , a_3 = 8 , a_4 = 7, a_5 = 6 , a_6 = 5, a_7 = 1 $
*). Menentukan jumlah pangkatnya :
$ \begin{align} \text{jumlah pangkatnya } & = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 1 = 46 \end{align} $
Jadi, jumlah pangkatnya adalah $ 46 . \, \heartsuit $
Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Kita tentukan nilai $ 2^{a_1} $ terbesar yang mendekati 2018, kemudian dikurangkan untuk mencari sisanya.
*). Sisanya kita tentukan lagi nilai $ 2^{a_2} $ yang mendekati, kemudian dikurangkan.
*). Seperti itu seterusnya sehingga sisanya 0.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ 2^{a_1} $ yang mendekati 2018 adalah $ 2^{10} = 1024 $.
sisanya = $ 2018 - 1024 = 994 $, artinya $ a_1 = 10 $
*). $ 2^{a_2} $ yang mendekati 994 adalah $ 2^{9} = 512 $.
sisanya = $ 994-512=482 $, artinya $ a_2 = 9 $
*). $ 2^{a_3} $ yang mendekati 482 adalah $ 2^{8} = 256 $.
sisanya = $ 482 - 256 = 226 $, artinya $ a_3 = 8 $
*). $ 2^{a_4} $ yang mendekati 226 adalah $ 2^{7} = 128 $.
sisanya = $ 226 - 128 = 98 $, artinya $ a_4 = 7 $
*). $ 2^{a_5} $ yang mendekati 98 adalah $ 2^{6} = 64 $.
sisanya = $ 98 - 64 = 34 $, artinya $ a_5 = 6 $
*). $ 2^{a_6} $ yang mendekati 34 adalah $ 2^{5} = 32 $.
sisanya = $ 34 - 32 = 2 $, artinya $ a_6 = 5 $
*). $ 2^{a_7} $ yang mendekati 2 adalah $ 2^{1} = 2 $.
sisanya = $ 2 - 2 = 0 $, artinya $ a_7 = 1 $
Karena sisanya sudah 0, maka proses berhenti.
Kita peroleh:
$ a_1 = 10, a_2 = 9 , a_3 = 8 , a_4 = 7, a_5 = 6 , a_6 = 5, a_7 = 1 $
*). Menentukan jumlah pangkatnya :
$ \begin{align} \text{jumlah pangkatnya } & = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 1 = 46 \end{align} $
Jadi, jumlah pangkatnya adalah $ 46 . \, \heartsuit $

2). Penyelesaian persamaan $ 3^{2x+2} + 8.3^x - 1 = 0 $ terletak pada interval ....
A). $ \left[ -\frac{1}{2}, 0 \right] $
B). $ \left[2, 0 \right] $
C). $ \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right] $
D). $ \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] $
E). $ \left[ 1, 2 \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ a ^{m+n} = a^m.a^n $
2). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Interval $ [a,b] $ sama saja dengan $ a \leq x \leq b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 3^x $ :
$\begin{align} 3^{2x+2} + 8.3^x - 1 & = 0 \\ 3^{2x}. 3^2 + 8.3^x - 1 & = 0 \\ (3^x)^2. 9 + 8.3^x - 1 & = 0 \\ 9p^2 + 8p - 1 & = 0 \\ (9p-1)(p+1) & = 0 \\ p = \frac{1}{9} \vee p & = -1 \\ p = \frac{1}{9} \rightarrow 3^x & = 3^{-2} \rightarrow x = -2 \\ p = -1 \rightarrow 3^x & = -1 \, \text{(tidak memenhi)} \end{align} $
sehingga solusi persamaannya adalah $ x = - 2 $ yang ada pada interval $ [-2,0] $.
Jadi, solusinya pada interval $ [-2,0] . \, \heartsuit $

3). Nilai dari
$ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}} = ..... $
A). $ 10 \, $
B). $ 9 \, $
C). $ 8 \, $
D). $ 7 \, $
E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk merasionalkan bentuk akar, caranya cukup kali bentuk sekawannya.
bentuk $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $ sekawannya adalah $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $
Perkaliannya : $ (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita Rasionakan masing-masing :
$ \begin{align} \frac{1}{1+\sqrt{2}} & = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1- \sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1- \sqrt{2}}{1-2} = -1+ \sqrt{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} & = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3} = -\sqrt{2}+\sqrt{3} \\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} & = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4} = -\sqrt{3}+\sqrt{4} \\ ........... & \\ \frac{1}{\sqrt{62}+\sqrt{63}} & = \frac{1}{\sqrt{62}+\sqrt{63}} \times \frac{\sqrt{62}-\sqrt{63}}{\sqrt{62}-\sqrt{63}} = \frac{\sqrt{62}-\sqrt{63}}{62-63} = -\sqrt{62}+\sqrt{63} \\ \frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}} & = \frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}} \times \frac{\sqrt{63}-\sqrt{64}}{\sqrt{63}-\sqrt{64}} = \frac{\sqrt{63}-\sqrt{64}}{63-64} = -\sqrt{63}+\sqrt{64} \end{align} $
*). Menjumlahkan semuanya :
$ \begin{align} & \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}} \\ & = (-1+ \sqrt{2}) + (-\sqrt{2}+\sqrt{3}) + .... + (-\sqrt{62}+\sqrt{63}) + (-\sqrt{63}+\sqrt{64}) \\ & = -1+ \sqrt{2} -\sqrt{2}+\sqrt{3} -\sqrt{3}+\sqrt{4} + .... -\sqrt{62}+\sqrt{63} -\sqrt{63}+\sqrt{64} \\ & = -1+ \sqrt{64} = -1+ 8 = 7 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 7 . \, \heartsuit $

4). Himpunan penyelesaian dari
$ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} = \frac{1}{(x^2 - 4x + 4)^{-2x + 1}} $ , $ x \neq 2 $
adalah ......
A). $ \{1,2\} \, $
B). $ \{-2,2\} \, $
C). $ \{-2,3\} \, $
D). $ \{-2,1,3\} \, $
E). $ \{-2,1,2,3\} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian persamaan eksponen :
Bentuk $[ h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian :
(1). $ f(x) = g(x) $
(2). $ h(x) = 1 $
(3). $ h(x) = 0 \, $ dengan syarat pangkatnya sama-sama positif.
(4). $ h(x) = -1 \, $ dengan syarat pangkatnya sama-sama genap atau ganjil.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah bentuk persamaannya :
$\begin{align} (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{(x^2 - 4x + 4)^{-2x + 1}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{[(x-2)^2]^{-2x + 1}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{(x-2)^{-4x + 2}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = (x-2)^{-(-4x + 2)} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = (x-2)^{4x - 2 } \\ [h(x)]^{f(x)} & = [h(x)]^{g(x)} \end{align} $
artinya $ h(x) = x-2 , f(x) = x^2 + 4x - 6 , g(x) = 4x - 2 $
dengan syarat $ x \neq 2 $.
*).Menentukan penyelesaiannya :
-). Pertama : $ f(x) = g(x) $
$\begin{align} x^2 + 4x - 6 & = 4x - 2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
Karena syaratnya $ x \neq 2 $ , maka $ x_1 = -2 $ yang memenuhi.
-). Kedua : $ h(x) = 1 $
$\begin{align} x - 2 & = 1 \\ x_2 & = 3 \end{align} $
-). Ketiga : $ h(x) = 0 $
$\begin{align} x - 2 & = 0 \\ x & = 2 \end{align} $
karena $ x \neq 2 $ , maka solusi ketiga ini tidak memenuhi.
-). Kedua : $ h(x) = -1 \, $ dengan pangkatnya sama-sama genap atau ganjil
$\begin{align} x - 2 & = -1 \\ x & = 1 \end{align} $
Kita cek nilai pangkat untuk $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow f(1) = 1^2 + 4.1 - 6 = -1 \, $ (ganjil)
$ x = 1 \rightarrow g(1) = 4.1-2 = 2 \, $ (genap)
karena nilai pangkat untuk $ x = 1 $ tidak sama-sama genap atau ganjil, maka solusi keempat ini tidak memenuhi.
Sehingga solusinya adalah $ \{ -2, 3 \} $
Jadi, HP $ = \{ -2, 3 \} . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.