Solusi Soal Maraton 19 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 19 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Jika $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} \, $ dapat dinyatakan sebagai $ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} , \, $ maka $ a + b + c = .... $
A). $ 0 \, $
B). $ 1 $
C). $ 2 \, $
D). $ 3 $
E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Untuk merasionalkan bentuk akar, kita kalikan dengan sekawannya.
*). Perkalian bentuk sekawan menggunakan konsep :
$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.
*). Bentuk $ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \, $ memiliki bentuk sekawan $ \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} $. Sehingga hasil perkaliannya :
$ \begin{align} (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} )(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} ) & = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 \\ & = (2 +3 + 2\sqrt{6}) - (5) \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} } & = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} } \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} } \\ & = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{2\sqrt{6} } \\ & = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{2\sqrt{6} } \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ & = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30} }{2 \times 6} \\ & = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30} }{12} \\ & = \frac{ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30} }{12} \end{align} $
Bentuk akhir harus sama dengan $ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} $.
Sehingga :
$ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} = \frac{ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30} }{12} $
Kita peroleh nilai $ a = 3, \, b = 2 \, $ dan $ c = -1 $.
*). Menentukan nilai $ a + b + c $
$ a + b + c = 3 + 2 + (-1) = 4 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = 4 . \, \heartsuit $

2). Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ 2^{x+1} + \frac{1}{2^{x-3}} = 17 $ , maka $ x_1^2 + x_2^2 = .... $
A). $ 2 \, $
B). $ 5 \, $
C). $ 8 \, $
D). $ 10 \, $
E). $ 13 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ a^{m+n} = a^m . a^n $
2). $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
3). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^f(x) = a^c \rightarrow f(x) = c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita misalkan : $ 2^x = p $
$ \begin{align} 2^{x+1} + \frac{1}{2^{x-3}} & = 17 \\ 2^{x}. 2^1 + \frac{1}{\frac{2^x}{2^3}} & = 17 \\ 2.2^{x} + \frac{2^3}{2^x} & = 17 \\ 2.p + \frac{8}{p} & = 17 \, \, \, \, \, \, \text{(kali p)} \\ 2p^2 + 8 & = 17p \\ 2p^2 -17p + 8 & = 0 \\ (2p-1)(p-8) & = 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 8 \\ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = 2^{-1} \rightarrow x_1 = -1 \\ p = 8 \rightarrow 2^x & = 2^3 \rightarrow x_2 = 3 \\ \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x_1^2 + x_2^2 $ :
$ \begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 10 . \, \heartsuit $

3). Nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{2^x}{4^{x+2}}=16.4^x $ adalah ....
A). $ -3 \, $
B). $ -\frac{8}{3} \, $
C). $ -2 \, $
D). $ -\frac{4}{3} \, $
E). $ -\frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Persamaan Eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaian persamaan eksponen :
$\begin{align} \frac{2^x}{4^{x+2}} & =16.4^x \\ \frac{2^x}{(2^2)^{x+2}} & =2^4.(2^2)^x \\ \frac{2^x}{2^{2x+4}} & =2^4.2^{2x} \\ 2^{x - (2x + 4)} & =2^{4 + 2x} \\ 2^{-x - 4} & =2^{4 + 2x} \\ -x - 4 & = 4 + 2x \\ -3x & = 8 \\ x & = -\frac{8}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = -\frac{8}{3} . \, \heartsuit $

4). Diketahui $ f(x)=2^{x^2+x-12} $ dan $ g(x)= 4^{2x-7} $ . Jika $ (a, b) $ adalah interval dengan grafik $ y = f(x) $ berada di bawah grafik $ y= g(x) $ , maka nilai $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ 1 \, $
B). $ 5 \, $
C). $ 10 \, $
D). $ 13 \, $
E). $ 17 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ f(x) $ berada di bawah $ g(x) $ artinya $ f(x) < g(x) $
*). Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Pertidaksamaan eksponen :
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya :
Jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) < g(x) $ (ketaksamaan tetap)
Jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) > g(x) $ (ketaksamaan dibalik)
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) $ di bawah $ g(x) $ , artinya :
$\begin{align} f(x) & < g(x) \\ 2^{x^2+x-12} & < 4^{2x-7} \\ 2^{x^2+x-12} & < (2^2)^{2x-7} \\ 2^{x^2+x-12} & < 2^{4x-14} \, \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ x^2+x-12 & < 4x-14 \\ x^2-3x+2 & < 0 \\ (x-1)(x-2) & < 0 \\ x = 1 \vee x & = 2 \end{align} $
-). garis bilangannya :
 
-). kita peroleh HP $ = \{ 1 < x < 2 \} $ yang dapat kita tulis menjadi $ (1, 2) $ dimana bentuknya sama dengan $ (a,b) $ , sehingga $ a = 1 $ dan $ b = 2 $.
*). Menentukan $ a^2 + b^2 $ :
$\begin{align} a^2 + b^2 & = 1^2 + 2^2 = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 = 5 . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.