Solusi Soal Maraton 16 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 16 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Jika $ A(x) = \frac{1}{2}\left( p^x - p^{-x} \right) \, $ dan $ B(x) = \frac{1}{2}\left( p^x + p^{-x} \right) \, $ denga $ p > 1 \, $ , maka $ B(nx) = .... $
(A) $ \left( B(x) - A(x) \right)^\frac{1}{n} + A\left( \frac{x}{n} \right) $
(B) $ \left( B(x) - A(x) \right)^\frac{1}{n} + A\left( nx \right) $
(C) $ \left( B(x) - A(x) \right)^n + A\left( nx \right) $
(D) $ \left( A(x) - B(x) \right)^n + A\left( nx \right) $
(E) $ \left( A(x) - B(x) \right)^n + A\left( \frac{x}{n} \right) $

$\clubsuit \, $ Menentukan $ B(nx) \, $
$\begin{align} B(x) & = \frac{1}{2}\left( p^x + p^{-x} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} + p^{-nx} \right) \, \, \, \text{ ...pers(i)} \end{align}$
Karena pada pilihannya dalam bentuk $ A(nx) \, $ atau $ A(\frac{x}{n}) \, $ , maka pers(i) harus diubah atau dimodifikasi menjadi bentuk $ A(nx) \, $ atau $ A(\frac{x}{n}) \, $ .
$\clubsuit \, $ Memodifikasi pers(i)
$\begin{align} B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} + p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} \right) + \frac{1}{2}\left( p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} \right) + p^{-nx} - \frac{1}{2}\left( p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = p^{-nx} + \frac{1}{2}\left( p^{nx} - p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = p^{-nx} + A(nx) \, \, \, \text{ ...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Memodifikasi bentuk $ p^{-nx} $
$\begin{align} p^{-nx} & = (p^{-x})^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{-x} )^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{x} - \frac{1}{2} . p^{x} )^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{x} + \frac{1}{2} . p^{-x} - \frac{1}{2} . p^{x} + \frac{1}{2} . p^{-x} )^n \\ & = \left( \frac{1}{2} (p^{x} + p^{-x}) - \frac{1}{2} (p^{x} - p^{-x} ) \right)^n \\ p^{-nx} & = \left( B(x) - A(x) \right)^n \, \, \, \text{ ...pers(iii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iii) ke pers(ii)
$\begin{align} B(nx) & = p^{-nx} + A(nx) \\ B(nx) & = \left( B(x) - A(x) \right)^n + A(nx) \end{align}$
Jadi, diperoleh bentuk $ B(nx) = \left( B(x) - A(x) \right)^n + A(nx) . \heartsuit $

2). Bentuk $ \, \sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \, $
B). $ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}} \, $
C). $ \sqrt{3} + \sqrt{5} \, $
D). $ \sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{\frac{3}{5}} \, $
E). $ \sqrt{5} + \sqrt{3} $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk soal bentuk akar UM UGM matematika dasar tahun 2016 kode 571 ini bisa kita kerjakan dengan mudah menggunakan konsep yang namanya "bentuk akar dalam akar". Proses pengerjaannya adalah kita akan melakukan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga sesuai dengan rumus bentuk akar dalam akar. Setelah itu baru kita proses sesuai dengan sifat bentuk akar.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Bentuk Akar dalam Akar :
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{a \times b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan syarat $ a \geq b $.
Sifat Bentuk Akar :
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $
Sehingga bentuk $ \sqrt{\frac{1}{a}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
Mengubah soal sesuai bentuk akar dalam akar :
$ \begin{align} \sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} & = \sqrt{\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) - 2\sqrt{ \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{3} } - \sqrt{ \frac{1}{5} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{3} } - \frac{1}{\sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} = \frac{1}{\sqrt{3} } - \frac{1}{\sqrt{5} } . \, \heartsuit $

$\spadesuit $ Catatan
         Soal bentuk akar ini kesulitannya ada pada bentuk pecahannya, dimana kita harus mengubahnya menjadi bentuk penjumlahan dan perkalian agar sesuai dengan konsep dasar yang digunakan, seperti bentuk :
$ \frac{8}{15} = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \, $ dan $ \, \frac{1}{15} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} $

3). Jika $ a^x = b^y = c^z \, $ dan $ b^2 = ac $ , maka $ x = .... $
A). $\frac{2yz}{y+z} \, $
B). $ \frac{2yz}{2z-y}\, $
C). $ \frac{2yz}{2y-z} \, $
D). $ \frac{yz}{2y-z} \, $
E). $ \frac{yz}{2z-y} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ a^m = b^n \rightarrow a = b^\frac{n}{m} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Diketahui : $ a^x = b^y = c^z $
$ a^x = b^y \rightarrow a = b^\frac{y}{x} $
$ c^z = b^y \rightarrow c = b^\frac{y}{z} $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} b^2 & = a . c \\ b^2 & = b^\frac{y}{x} . b^\frac{y}{z} \, \, \, \, \, \, \text{(sifat eksponen)} \\ b^2 & = b^{\frac{y}{x} + \frac{y}{z}} \\ \not{b}^2 & = \not{b}^{\frac{yz + yx}{xz}} \, \, \, \, \, \, \text{(persamaan eksponen)} \\ 2 & = \frac{yz + yx}{xz} \\ 2xz & = yz + yx \\ 2xz - yx & = yz \\ x(2z - y) & = yz \\ x & = \frac{yz}{2z - y} \end{align} $
Jadi, bentuk $ x = \frac{yz}{2z - y} . \, \heartsuit $

4). Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $
B). $ x > 1 \, $
C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $
E). $ 1 < x < 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Pertidaksamaan
Jika grafik $ f(x) $ di bawah grafik fungsi $ g(x) $, maka berlaku $ f(x) < g(x) $
*). Suatu fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ disebut memenuhi definis positif jika $ a > 0 $ dan $ D < 0 $, dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Definit positif artinya nilai fungsi kuadrat selalu positif untuk semua nilai variabelnya ($x$).
*). Jika terdapat suatu fungsi bernilai definit positif, maka fungsi tersebut bisa diabaikan karena tidak akan berpengaruh pada pertidaksamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 3^x $
Grafik $ y_1 = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y_2 = 3^x + 1 \, $ maka berlaku :
$\begin{align} y_1 & < y_2 \\ 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x & < 3^x + 1 \\ 3^{x }. 3^1 - \left(\frac{1}{3^2} \right)^x & < 3^x + 1 \\ 3. 3^{x } - \frac{1}{3^{2x}} - 3^x - 1 & < 0 \\ 2. 3^{x } - \frac{1}{(3^x)^2} - 1 & < 0 \\ 2p - \frac{1}{p^2} - 1 & < 0 \\ \frac{2p . p^2}{p^2} - \frac{1}{p^2} - \frac{p^2}{p^2} & < 0 \\ \frac{2p^3 - p^2 - 1}{p^2} & < 0 \, \, \, \, \, \, \text{(faktorkan)} \\ \frac{(2p^2+p+1)(p-1)}{p^2} & < 0 \end{align} $
*). Bentuk $ 2p^2+p+1 \, $ dan $ p^2 $ adalah definit positif, sehingga bisa diabaikan, pertidaksamaannya menjadi :
$\begin{align} \frac{(2p^2+p+1)(p-1)}{p^2} & < 0 \\ (p-1) & < 0 \\ p & < 1 \\ 3^x & < 1 \\ 3^x & < 3^0 \\ x & < 0 \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ x < 0 . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.