Solusi Soal Maraton 15 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 15 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.

Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek

1). Jika $ a, b > 0 \, $ , maka pertidaksamaan berikut yang BENAR adalah ....
(1). $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 $
(2). $ 2(a^2 + b^2 ) \geq (a+b)^2 $
(3). $ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $
(4). $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} $

$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Setiap sebarang bilangan dikuadratkan hasilnya positif
$ x^2 \geq 0 \, $ ....pert(i)
*). Rataan Aritmetika dan Geometri :
$ x + y \geq 2\sqrt{xy} \, $ ....pert(ii)
$\spadesuit \, $ Cek setiap pernyataan
*). Pernyataan (1) :
Misalkan $ x = \frac{a}{b} \, $ dan $ y = \frac{b}{a} $
Dari pert(ii) :
$\begin{align} x + y & \geq 2\sqrt{xy} \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} & \geq 2\sqrt{\frac{a}{b}. \frac{b}{a}} \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} & \geq 2\sqrt{1} \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} & \geq 2 \end{align} $
sehingga pernyataan (1) benar.
*). Pernyataan (2) :
$\begin{align} 2(a^2 + b^2 ) & \geq (a+b)^2 \\ 2a^2 + 2b^2 & \geq a^2 + b^2 + 2ab \\ a^2 + b^2 - 2ab & \geq 0 \\ (a-b)^2 & \geq 0 \end{align} $
Bentuk $ (a-b)^2 \geq 0 \, $ benar berdasarkan pert(i).
sehingga pernyataan (2) benar.
*). Pernyataan (3) :
$\begin{align} \frac{a+b}{2} & \geq \sqrt{ab} \\ a+b & \geq 2\sqrt{ab} \end{align} $
benar berdasarkan pert(ii).
sehingga pernyataan (3) benar.
*). Pernyataan (4) :
$\begin{align} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} & \geq \frac{4}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} & \geq \frac{4}{a+b} \\ (a+b)^2 & \geq 4ab \\ a^2 + b^2 + 2ab & \geq 4ab \\ a^2 + b^2 - 2ab & \geq 0 \\ (a-b)^2 & \geq 0 \end{align} $
benar berdasarkan pert(i).
sehingga pernyataan (4) benar.
Jadi, semua pernyataan benar sehingga jawabannga E. $\heartsuit $

2). Semua bilangan real $ x \, $ yang memenuhi $ |2x+1| < 5 - |2x| \, $ adalah ....
A). $ -\frac{3}{2} < x < 1 \, $
B). $ -\frac{5}{2} < x < 3 \, $
C). $ -\frac{7}{2} < x < 5 \, $
D). $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 2 $
E). $ x < -\frac{5}{2} \vee x > 3 $

Cara I:

$\spadesuit $ Konsep Dasar Bentuk Mutlak
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menjabarkan masing-masing bentuk mutlaknya :
$ |2x+1| = \left\{ \begin{array}{ccc} (2x+1) & , \text{ untuk } 2x + 1 \geq 0 & \rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x+1) & , \text{ untuk } 2x+ 1 < 0 & \rightarrow x < -\frac{1}{2} \end{array} \right. $
$ |2x| = \left\{ \begin{array}{ccc} (2x) & , \text{ untuk } 2x \geq 0 & \rightarrow x \geq 0 \\ -2x & , \text{ untuk } 2x < 0 & \rightarrow x < 0 \end{array} \right. $
Sehingga pembatas nilai $ x \, $ dari kedua bentuk mutlak adalah untuk $ x = -\frac{1}{2} \, $ dan $ x = 0 $. Ini artinya terbentuk tiga daerah yaitu :
Daerah I untuk $ x < -\frac{1}{2} $ ,
Daerah II untuk $ -\frac{1}{2} \leq x < 0 $ ,
Daerah III untuk $ x \geq 0 $ ,
*). Menyelesaikan soal berdasarkan daerah dan definisinya :
Soal mula-mula : $ |2x+1| < 5 - |2x| $
-). Daerah I : untuk $ x < -\frac{1}{2} $,
maka $ |2x+1| = -(2x+1) \, $ dan $ |2x| = -2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ -(2x+1) & < 5 - [-2x] \\ -2x-1 & < 5 + 2x \\ - 4x & < 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{6}{-4} \\ x & > -\frac{3}{2} \end{align} $
Karena daerah I untuk $ x < -\frac{1}{2} $, maka solusinya :
HP1 = $ \{ -\frac{3}{2} < x < -\frac{1}{2} \} $
-). Daerah II : untuk $ -\frac{1}{2} \leq x < 0 $,
maka $ |2x+1| = (2x+1) \, $ dan $ |2x| = -2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ (2x+1) & < 5 - [-2x] \\ 2x+1 & < 5 + 2x \\ 1 & < 5 \, \, \, \, \, \text{(Benar)} \end{align} $
Artinya untuk semua $ x \, $ di daerah II benar, sehingga
HP2 = $ \{ -\frac{1}{2} \leq x < 0 \} $
-). Daerah III : untuk $ x \geq 0 $,
maka $ |2x+1| = (2x+1) \, $ dan $ |2x| = 2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ (2x+1) & < 5 - [2x] \\ 4x & < 4 \\ x & < 1 \end{align} $
Karena daerah III untuk $ x \geq 0 $, maka solusinya :
HP3 = $ \{ 0 \leq x < 1 \} $
*). Solusi keseluruhannya :
HP = HP1 $ \cap $ HP2 $ \cap $ HP3
HP = $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} . \, \heartsuit $

Cara II:

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow |2x+1| & < 5 - |2x| \\ |2.0+1| & < 5 - |2.0| \\ 1 & < 5 \\ \text{(Benar)} & \end{align}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah D dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow |2x+1| & < 5 - |2x| \\ |2.1+1| & < 5 - |2.1| \\ 3 & < 3 \\ \text{(Salah)} & \end{align}$
yang ada $x=1$ salah, opsi yang salah adalah B dan C.
Sehingga opsi yang tersisa benar adalah opsi A, artinya jawabannya A.
Jadi, solusinya adalah $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} . \, \heartsuit $

3). Banyaknya bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{3x+6}{|x-1|} > 4 $ adalah .....
A). $ 5 \, $
B). $ 6 \, $
C). $ 7 \, $
D). $ 8 \, $
E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |x-1| = \left\{ \begin{array}{ccc} x-1 & , \text{untuk } x - 1 \geq 0 & \rightarrow x \geq 1 \\ -(x-1) & , \text{untuk } x - 1 < 0 & \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Artinya bentuk mutlak kita bagi menjadi dua berdasarkan batas $ x $ yaitu untuk $ x \geq 1 $ dan untuk $ x < 1 $.
*). Untuk $ x \geq 1 $ , maka $ |x-1| = x-1 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{3x+6}{|x-1|} & > 4 \\ \frac{3x+6}{x-1} - 4 & > 0 \\ \frac{3x+6}{x-1} - \frac{4(x-1)}{x-1} & > 0 \\ \frac{-x + 10}{x-1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ -x + 10 = 0 \rightarrow x = 10 $,
$ x - 1 = 0 \rightarrow x = 1 $.
Garis bilangannya :
 
HP1 $ = \{ x \geq 1 \} \cap \{ 1 < x < 10 \} = \{ 1 < x < 10 \} $
*). Untuk $ x < 1 $ , maka $ |x-1| = -(x-1) = -x + 1 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{3x+6}{|x-1|} & > 4 \\ \frac{3x+6}{-x + 1} - 4 & > 0 \\ \frac{3x+6}{-x + 1} - \frac{4(-x+1)}{-x+1} & > 0 \\ \frac{7x + 2}{-x+1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ 7x + 2 = 0 \rightarrow x = -\frac{2}{7} $,
$ -x + 1 = 0 \rightarrow x = 1 $.
Garis bilangannya :
 
HP2 $ = \{ x < 1 \} \cap \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} = \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ 1 < x < 10 \} \cup \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} \\ & = \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} \cup \{ 1 < x < 10 \} \end{align} $
Bilangan bulatnya $ =\{ 0,2,3,4,5,6,7,8,9\} $.
Jadi, ada 9 bilangan bulat yang memenuhi $ . \, \heartsuit $

4). Jika $ f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} $ dan $ g(x) = \frac{1}{x-2} $ , maka himpunan penyelesaian $ \frac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} < 0 $ adalah ...
A). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } x > 3 \} \, $
B). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } 2 < x < 3 \} \, $
C). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } 1 < x < 2 \} \, $
D). $ \{ x | 1 < x < 2 \text{ atau } x > 3 \} \, $
E). $ \{ x | 2 < x < 3 \text{ atau } x > 3 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi pengerjaannya dari kanan ke kiri :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Diketahui : $ f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} $ dan $ g(x) = \frac{1}{x-2} $
*). Menentukan fungsi $ (f \circ g)(x) $ :
$\begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f \left( \frac{1}{x-2} \right) \\ & = \frac{1}{\left( \frac{1}{x-2} - 1 \right)^2} \\ & = \frac{1}{\left( \frac{1}{x-2} - \frac{x-2}{x-2} \right)^2} \\ & = \frac{1}{\left( \frac{3 - x}{x-2} \right)^2} \\ & = \frac{(x-2)^2}{(3 - x)^2} \end{align} $
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} & < 0 \\ \frac{ \frac{1}{(x-1)^2}.\frac{1}{x-2} }{ \frac{(x-2)^2}{(3 - x)^2} } & < 0 \\ \frac{ (3-x)^2 }{ (x-1)^2.(x-2)^3} & < 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ x = 3 $ , akar penyebutnya : $ x = 1 $ dan $ x = 2 $
Garis bilangannya :
 
Himpunan penyelesaiannya :
$ \{ x < 1 \vee 1 < x < 2 \} $
Jadi, penyelesaiannya : $ \{ x < 1 \vee 1 < x < 2 \} . \, \heartsuit $

       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya

• Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika

Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab

• Kumpulan Soal Matematika Per Bab Seleksi Masuk PTN

Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun

• Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar
• Soal SBMPTN dan Pembahasan Matematika IPA Lengkap
• Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika Dasar
• Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika IPA

Materi dan Soal TPS Kuantitatif

• Cakupan Materi TPS Kuantitatif
• Kumpulan Soal dan Solusi TryOut TPS Kuantitatif
• Kumpulan Soal-Soal TPS Kuantitatif UTBK 2020 Per Bab

       Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.