Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini
berisi tentang Solusi Soal Maraton 13 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi
Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis
seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.
Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian
bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling
bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.
Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Pertidaksamaan $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 < -6 -7x $ mempunyai penyelesaian .....
A). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 5 $
B). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 4 $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x \geq 5 $
D). $ -2 < x \leq 2 \, $ atau $ 4 < x \leq 5 $
E). $ 0 \leq x < 4 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Bentuk $ A \leq B < C $ kita selesaikan menjadi :
$ A \leq B \rightarrow $ HP1 dan $ B < C \rightarrow $ HP2,
solusi total : HP = HP1 $ \cap $ HP2 (irisan).
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soalnya : $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 < -6 -7x $
*). Penyelesaian pertama : $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 $
$\begin{align}
2+5x-3x^2 & \leq 2-5x-x^2 \\
-2x^2 + 10x & \leq 0 \\
x(-2x + 10) & \leq 0 \\
x = 0 \vee x & = 5
\end{align} $
garis bilangan pertama :
Hp1 $ \, = \{ x \leq 0 \vee x \geq 5 \} $
*). Penyelesaian kedua : $ 2-5x-x^2 < -6 -7x $
$\begin{align}
2-5x-x^2 & < -6 -7x \\
-x^2 + 2x + 8 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\
x^2 - 2x - 8 & > 0 \\
(x +2)(x - 4) & > 0 \\
x = -2 \vee x & = 4
\end{align} $
garis bilangan kedua :
Hp2 $ \, = \{ x < -2 \vee x > 4 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align}
HP & = HP1 \cap HP2 \\
& = \{ x \leq 0 \vee x \geq 5 \} \cap \{ x < -2 \vee x > 4 \} \\
& = \{ x < -2 \vee x \geq 5 \}
\end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ x < -2 \vee x \geq 5 \} . \, \heartsuit $
2). Diketahui $ a , b, $ dan $ c $ adalah bilangan real positif dengan $ ab > 1 $.
Jika $ x + ay = c $ , $ bx+y=2c $ , dan $ x < y $ , maka ...
A). $ 2a > b- 1 \, $
B). $ 2a > b - 2 \, $
C). $ 2a < b - 3 \, $
D). $ 2a< b - 2 \, $
E). $ 2a < b - 1 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL) :
Untuk menyelesaikan SPL, bisa menggunakan eliminasi dan substitusi.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
-). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{array}{c|c|cc}
x + ay = c & \times 1 & x + ay = c & \\
bx+y=2c & \times a & abx+ay=2ac & - \\
\hline
& & (ab-1)x = 2ac - c & \\
& & x = \frac{2ac - c}{ab-1} & \\
\end{array} $
-). Menentukan nilai $ y $
$ \begin{array}{c|c|cc}
x + ay = c & \times b & bx + aby = bc & \\
bx+y=2c & \times 1 & bx+y=2c & - \\
\hline
& & (ab-1)y = bc-2c & \\
& & y = \frac{bc-2c}{ab-1} & \\
\end{array} $
Kita peroleh : $ x = \frac{2ac - c}{ab-1} $ dan $ y = \frac{bc-2c}{ab-1} $
-). Karena $ ab > 1 $ , maka $ ab - 1 > 0 $ sehingga ketaksamaan dapat dikalikan dengan $ ab-1 $ dan tanda
ketaksamaan tetap.
*). Menyelsaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align}
x & < y \\
\frac{2ac - c}{ab-1} & < \frac{bc-2c}{ab-1} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } ab-1) \\
2ac - c & < bc-2c \\
c + 2ac - bc & < 0 \\
c(1+2a-b) & < 0
\end{align} $
-). Karena $ c $ bilangan positif, maka agar $ c(1+2a-b) $ hasilnya negatif, maka haruslah $ 1 + 2a - b $ bernilai negatif
atau bisa kita tulis $ 1 + 2a - b < 0 $.
*). Menentukan hubungan $ a $ dan $ b $ :
$\begin{align}
1 + 2a - b & < 0 \\
2a & < b - 1
\end{align} $
Jadi, kita peroleh $ 2a < b - 1 . \, \heartsuit $
3). Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{x}{x+2} > \frac{x-2}{x} \, $
adalah ....
A). $ x < -2 \, $ atau $ x > 0 \, $
B). $ x < -2 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x > 2 \, $
D). $ -2 < x < 0 \, $ atau $ x > 2 \, $
E). $ -2 < x < 0 \, $ atau $ x > 4 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan yaitu :
i). Nolkan ruas kanan,
ii). Samakan penyebut dan operasikan kedua pecahan,
iii). Carilah akar-akar pembilang dan penyebutnya,
iv). Buat garis bilangan, dan tentukan tanda setiap daerah (+ atau -),
v). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat bentuk pecahan adalah akar penyebutnya tidak boleh menjadi solusi (tidak ikut) karena penyebut pecahan
tidak boleh bernilai nol.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar
$ \begin{align}
\frac{x}{x+2} & > \frac{x-2}{x} \\
\frac{x}{x+2} - \frac{x-2}{x} & > 0 \\
\frac{x.x}{x(x+2)} - \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} & > 0 \\
\frac{x^2}{x(x+2)} - \frac{x^2 - 4}{x(x+2)} & > 0 \\
\frac{x^2- (x^2 - 4)}{x(x+2)} & > 0 \\
\frac{4}{x(x+2)} & > 0
\end{align} $
akar-akar penyebutnya saja :
$ x(x+2)) = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = -2 $.
garis bilangannya :
Himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ x < -2 \vee x > 0 \} $.
Jadi, semua nilai $ x $ yang memenui adalah $ \{ x < -2 \vee x > 0 \} . \, \heartsuit $
*). Salah satu cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah dengan metode substitusi angka (Metode SUKA).
$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya.
Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \frac{x}{x+2} & > \frac{x-2}{x} \\
\frac{1}{1+2} & > \frac{1-2}{1} \\
\frac{1}{3} & > -1 \, \, \text{(BENAR)}
\end{align}$
yang ada $x=1$ BENAR, opsi yang salah adalah C, D, dan E.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \frac{x}{x+2} & > \frac{x-2}{x} \\
\frac{3}{3+2} & > \frac{3-2}{3} \\
\frac{3}{5} & > \frac{1}{3} \\
\frac{9}{15} & > \frac{5}{15} \, \, \text{(BENAR)}
\end{align}$
yang ada $x=3$ BENAR, opsi yang salah adalah B.
Sehingga opsi yang benar adalah A (yang tersisa).
Jadi, solusinya $ x < -2 \, $ atau $ x > 0 . \heartsuit$
4). Pertidaksamaan $ |x^2 - 3 | < 2x $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ -1 < x < 3 \, $
B). $ -3 < x < 1 \, $
C). $ 1 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < -1 \, $ atau $ 1 < x < 3 $
E). $ x > 1 $
Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{
\begin{array}{cc}
f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\
-f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0
\end{array}
\right. $
*). Kedua bentuk yaitu $ f(x) $ dan $ - f(x) $ digabungkan hasilnya.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berdasarkan definisi bentuk mutlak :
$ |x^2 - 3| = \left\{
\begin{array}{cc}
x^2 - 3 & , \text{ untuk } x - \leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} \\
3 - x^2 & , \text{ untuk } -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}
\end{array} \right. $
-). Batas pada mutlak di atas kita peroleh dari menyelesaikan $ x^2 - 3 \geq 0 $ dan $ x^2 - 3 < 0 $ sesuai definisi nilai mutlak
di atas.
-). Dari definisi, kita peroleh :
untuk $ x -\leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = x^2 -3 $
untuk $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = 3 - x^2 $
*). Menyelesaikan soalnya berdasarkan definisi :
-). untuk $ x -\leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = x^2 -3 $
$ \begin{align}
|x^2 - 3 | & < 2x \\
x^2 - 3 & < 2x \\
x^2 - 2x - 3 & < 0 \\
(x + 1)(x-3) & < 0 \\
x = -1 \vee x & = 3
\end{align} $
garis bilangannya :
Dari garis bilangan dan syarat $ x \leq -\sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $, maka solusi kasus pertama :
$ HP1 = \sqrt{3} \leq x < 3 $
-). untuk $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = 3 - x^2 $
$ \begin{align}
|x^2 - 3 | & < 2x \\
3 - x^2 & < 2x \\
-x^2 - 2x + 3 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\
x^2 + 2x - 3 & > 0 \\
(x - 1)(x+3) & > 0 \\
x = 1 \vee x & = -3
\end{align} $
garis bilangannya :
Dari garis bilangan dan syarat $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $, maka solusi kasus pertama :
$ HP2 = 1 < x < \sqrt{3} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 :
$ \begin{align}
HP & = HP1 \cup HP2 = 1 < x < 3
\end{align} $
Jadi, penyelesaiannya $ \{ 1 < x < 3 \} . \, \heartsuit $
Solusi II:
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka
dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x= \text{ negatif} \Rightarrow |x^2 - 3 | & < 2x \\
\text{positif} & < \text{ negatif} \, \, \text{(SALAH)}
\end{align}$
yang ada $x= \text{ negatif} $ SALAH, opsi yang salah A, B, dan D.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=4 \Rightarrow |x^2 - 3 | & < 2x \\
|4^2 - 3 | & < 2. 4 \\
15 & < 8 \, \, \text{(SALAH)}
\end{align}$
yang ada $x=4$ SALAH, opsi yang salah E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ \{ 1 < x < 3 \} . \, \heartsuit $
Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:
