Solusi Soal Maraton 12 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 12 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan :
$ (x^2 + 2)^2 - 5(x^2 + 2) > 6 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > 6 $
B). $ x < -5 \, $ atau $ x > 2 $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x > 6 $
D). $ x < -2 \, $ atau $ x > 5 $
E). $ x < -2 \, $ atau $ x > 2 $

Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Tentukan akar-akar (pembuat nol),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerah yang diminta :
Jika $ > 0 $ , maka arsir yang positif,
Jika $ < 0 $ , maka arsir yang negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = x^2 + 2 $ (nilainya positif) :
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} (x^2 + 2)^2 - 5(x^2 + 2) & > 6 \\ p^2 - 5p & > 6 \\ p^2 - 5p - 6 & > 0 \\ (p + 1)(p-6) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 6 \end{align} $
*). Karena $ p $ positif, yang memenuhi $ p = 6 $ :
$\begin{align} p = 6 \rightarrow x^2 + 2 & = 6 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
garis bilangannya :
 
sehingga solusinya adalah $ x < -2 $ atau $ x > 2 $.
Jadi, nilai $ x $ adalah $ x < -2 $ atau $ x > 2 . \, \heartsuit $
Solusi II:
$\spadesuit $ Metode SUKA adalah suatu metode dimana kita akan langsung menggantikan variabelnya dengan angka tertentu.

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow (x^2 + 2)^2 - 5(x^2 + 2) & > 6 \\ (3^2 + 2)^2 - 5(3^2 + 2) & > 6 \\ 121 - 55 & > 6 \\ 66 & > 6 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= 3 $ BENAR, opsi yang salah adalah A, C dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-3 \Rightarrow (x^2 + 2)^2 - 5(x^2 + 2) & > 6 \\ ((-3)^2 + 2)^2 - 5((-3)^2 + 2) & > 6 \\ 121 - 55 & > 6 \\ 66 & > 6 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= -3 $ BENAR, opsi yang salah adalah B.
Jadi, opsi yang benar adalah E (yang tersisa) yaitu
HP $ = x < -2 \, $ atau $ x > 2 . \, \heartsuit $

2). Nilai $ k $ yang memenuhi pertaksamaan :
$ 0 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 2 $ adalah ....
A). $ 0 < k < 4 \, $
B). $ -2 < k < 2 \, $
C). $ k < -2 \, $ atau $ k > 2 $
D). $ 0 < k < 2 \, $
E). $ k < 0 \, $ atau $ k > 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ a < f(x) < b $ diselesaikan dengan $ f(x) > a $ dan $ f(x) < b $ kemudian kedua HP diiriskan.
*). Definit pada bentuk kuadrat :
i). Jika $ ax^2 + bx + c > 0 $ untuk semua $ x $, maka disebut definit positif dengan syarat $ a > 0 $ dan $ D < 0 $.
ii). Jika $ ax^2 + bx + c < 0 $ untuk semua $ x $, maka disebut definit negatif dengan syarat $ a < 0 $ dan $ D < 0 $.
Dimana nilai $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ 0 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 2 $ dipecah menjadi dua yaitu $ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} > 0 $ dan $ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 2 $, kita selesaikan masing-masing.
*). Bentuk $ x^2 + x + 1 $ adalah definti positif karena $ a = 1 > 0 $ dan nilai $ D = b^2-4ac = 1^2 - 4.1.1 = -3 < 0 $, sehingga bisa kita abaikan karena nilainya akan selalu positif untuk semua $ x $ yang kita substitusikan.
*). Bentuk Pertama :
$\begin{align} \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} & > 0 \\ x^2+kx+1 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(Def +)} \\ a = 1, b = k , c & = 1 \\ \text{syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ k^2 - 4.1.1 & < 0 \\ k^2 - 4 & < 0 \\ (k + 2)(k - 2) & = 0 \\ k = -2 \vee k & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
 
Solusinya : HP1 $ = \{ -2 < k < 2 \} $
*). Bentuk Kedua :
$\begin{align} \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} & < 2 \\ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} - 2 & < 0 \\ \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} - \frac{2(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} & < 0 \\ \frac{-x^2+(k-2)x-1}{x^2+x+1} & < 0 \\ -x^2+(k-2)x-1 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(Def -)} \\ a = -1, b = k-2 , c & = -1 \\ \text{syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (k-2)^2 - 4.(-1).(-1) & < 0 \\ k^2 - 4k + 4 - 4 & < 0 \\ k^2 - 4k & < 0 \\ k(k - 4) & = 0 \\ k = 0 \vee k & = 4 \end{align} $
garis bilangannya :
 
Solusinya : HP2 $ = \{ 0 < k < 4 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ -2 < k < 2 \} \cap \{ 0 < k < 4 \} \\ & = \{ 0 < k < 2 \} \end{align} $
Jadi, nilai $ k $ adalah $ 0 < k < 2 . \, \heartsuit $

3). Himpunan semua nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+8| - |3x - 4| \geq 0 $ adalah ....
A). $ \{ x| x \geq - 8 \} \, $
B). $ \{ x| x \leq \frac{4}{3} \} \, $
C). $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x| -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \} \, $
E). $ \{ x| x \leq -1 \, \text{ atau } \, x \geq 6 \} \, $

Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat pertidaksamaan mutlak :
$ |A| \geq |B| \rightarrow A^2 \geq B^2 $
*). Pemfaktoran : $ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar dengan sifat pertidaksamaan mutlak :
$ \begin{align} |x+8| - |3x - 4| & \geq 0 \\ |x+8| & \geq |3x - 4| \, \, \, \, \, \, \text{(sifat mutlak)} \\ (x+8)^2 & \geq (3x - 4)^2 \\ (x+8)^2 - (3x - 4)^2 & \geq 0 \\ [(x+8)+(3x - 4) ] & [(x+8) - (3x - 4)] \geq 0 \\ [4x + 4 ][-2x + 12] & \geq 0 \\ x = -1 \vee x = 6 \end{align} $
Garis bilangan :
 
Karena yang diminta $ \geq 0 $ , maka solusinya yang positif.
Sehingga solusinya : $ -1 \leq x \leq 6 $
Jadi, nilai $ x $ adalah $ -1 \leq x \leq 6 . \, \heartsuit $
Solusi II:
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= - 8 \Rightarrow |x+8| - |3x - 4| & \geq 0 \\ |-8+8| - |3.(-8) - 4| & \geq 0 \\ |0| - |-36| & \geq 0 \\ 0 - (36) & \geq 0 \\ -36 & \geq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= -8 $ SALAH, opsi yang salah A, B, D, dan E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} . \, \heartsuit $

4). Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} < 1 $ adalah ......
A). $ x \geq -3 \, $
B). $ x \geq 2 \, $
C). $ x > 4 \, $
D). $ x > 6 \, $
E). $ x \geq 18 $

Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk akar $ y = \sqrt{f(x)} $ yaitu $ f(x) \geq 0 $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan syarat dalam akar :
$ \sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} < 1 $
$ x + 3 \geq 0 \rightarrow x \geq - 3 $
$ x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 $
Sehingga syarat yang memenuhi keduanya yaitu :
$ HP_1 = \{ x \geq -3 \} \cap \{ x \geq 2 \} = \{ x \geq 2 \} $
*). Kuadratkan bentuk pertidaksamaannya :
$ \begin{align} \sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} & < 1 \\ \sqrt{x+3} & < \sqrt{x-2} + 1 \\ (\sqrt{x+3})^2 & < (\sqrt{x-2} + 1)^2 \\ x + 3 & < x - 2 + 1 + 2\sqrt{x-2} \\ 4 & < 2\sqrt{x-2} \\ 2 & < \sqrt{x-2} \\ 2^2 & < ( \sqrt{x-2} )^2 \\ 4 & < x - 2 \\ 6 & < x \end{align} $
$ HP_2 = \{ x > 6 \} $
*). Sehingga solusi totalnya yaitu :
$ \begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x \geq 2 \} \cap \{ x > 6 \} \\ & = \{ x > 6 \} \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya HP $ = \{ x > 6 \} . \, \heartsuit $
Solusi II:
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= 6 \Rightarrow \sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} & < 1 \\ \sqrt{6+3} - \sqrt{6-2} & < 1 \\ \sqrt{9} - \sqrt{4} & < 1 \\ 3-2 & < 1 \\ 1 & < 1 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $ x = 6 $ SALAH, opsi yang salah A, B, dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= 11 \Rightarrow \sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} & < 1 \\ \sqrt{11+3} - \sqrt{11-2} & < 1 \\ \sqrt{14} - \sqrt{9} & < 1 \\ \sqrt{14} - 3 & < 1 \\ \sqrt{14} & < 4 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
(Benar karena $ \sqrt{14} = 3,....$ yang artinya lebih kecil dari 4.
yang ada $ x = 11 $ BENAR, opsi yang salah E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi D (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ \{ x > 6 \} . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.