Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini
berisi tentang Solusi Soal Maraton 11 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi
Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis
seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.
Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian
bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling
bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.
Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{3}{x} - \frac{3}{x+3} \geq 0 \, $
adalah ....
A). $ x < 0 \, $
B). $ -3 \leq x \leq 0 \, $
C). $ -3 < x < 0 \, $
D). $ x < -3 \, $ atau $ x > 0 \, $
E). $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq 0 \, $
Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Pecahan
*). Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan yaitu :
i). Nolkan ruas kanan,
ii). Samakan penyebut dan operasikan kedua pecahan,
iii). Carilah akar-akar pembilang dan penyebutnya,
iv). Buat garis bilangan, dan tentukan tanda setiap daerah (+ atau -),
v). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat bentuk pecahan adalah akar penyebutnya tidak boleh menjadi solusi (tidak ikut) karena penyebut pecahan
tidak boleh bernilai nol.
$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 :
*). Menentukan akar-akar
$ \begin{align}
\frac{3}{x} - \frac{3}{x+3} & \geq 0 \\
\frac{3(x+3) - 3x}{x(x+3)} & \geq 0 \\
\frac{9}{x(x+3)} & \geq 0
\end{align} $
akar-akar penyebutnya saja :
$ x(x+3) = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = -3 $.
garis bilangannya :
*). syarat bentuk pecahan yaitu akar penyebutnya tidak ikut, sehingga himpunan
penyelesaiannya adalah $ \{ x < -3 \vee x > 0 \} $.
Jadi, semua nilai $ x $ yang memenui adalah $ \{ x < -3 \vee x > 0 \} . \, \heartsuit $
Solusi II:
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya.
Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{3}{x} - \frac{3}{x+3} & \geq 0 \\
\frac{3}{0} - \frac{3}{0+3} & \geq 0 \\
\text{(SALAH karena penyebut } & \neq 0
\end{align}$
yang ada $x=0$ SALAH, opsi yang salah adalah B dan E.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \frac{3}{x} - \frac{3}{x+3} & \geq 0 \\
\frac{3}{1} - \frac{3}{1+3} & \geq 0 \\
3 - \frac{3}{4} & \geq 0 \\
2\frac{1}{4} & \geq 0 \, \, \text{(BENAR)}
\end{align}$
yang ada $x=1$ BENAR, opsi yang salah adalah A dan C.
Jadi, opsi yang benar adalah D (yang tersisa) yaitu $HP= \{ x < -3 \vee x > 0 \} . \heartsuit$
2). Pertaksamaan $ \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} \leq \frac{1}{\sqrt{x}} $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ 1 \leq x \leq 3 \, $
B). $ 1 \leq x \leq \sqrt{3} \, $ atau $ x \geq 3 $
C). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $
D). $ 0 < x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $
E). $ 0 \leq x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 $
Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan
*). Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan ruas kanan pertidaksamaan,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Letakkan akar-akarnya dalam garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Mencari solusi syarat jika ada,
5). Iriskan semua HP yang diperoleh.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align}
\frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \\
\frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} - \frac{1}{\sqrt{x}} & \leq 0 \\
\frac{4\sqrt{x}.\sqrt{x} - (x^2+3)}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \leq 0 \\
\frac{4x - x^2 - 3}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \leq 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\
\frac{x^2 - 4x + 3}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \geq 0 \\
\frac{(x-1)(x-3)}{(x^2+3).\sqrt{x}} & \geq 0
\end{align} $ .
-). Akar-akarnya :
$(x-1)(x-3) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = 3 $
$ \sqrt{x} = 0 \rightarrow x = 0 $
$ x^2 + 3 = 0 \, $ tidak memiliki akar real karena $ D < 0 $.
-). Garis bilangannya :
Uji titik ke bentuk pertidaksamaan terakhir (yang sudah dimodifikasi).
Karena yang diminta $ \geq 0 \, $ (positif), maka solusinya :
$ HP_1 = \{ 0 \leq x \leq 1 \vee x \geq 3 \} $
*). Syarat akar dan penyebut :
syarat dalam akar : positif, syarat penyebut tidak boleh nol, sehingga
$ \sqrt{x} > 0 \rightarrow HP_2 = \{ x > 0 \} $.
*). Solusi Totalnya :
$ \begin{align}
HP & = HP_1 \cap HP_2 \\
& = \{ 0 \leq x \leq 1 \vee x \geq 3 \} \cap \{ x > 0 \} \\
& = \{ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 3 \}
\end{align} $ .
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ 0 < x \leq 1 \vee x \geq 3 \} . \, \heartsuit $
Solusi II:
$\spadesuit $ Metode SUKA adalah suatu metode dimana kita akan langsung menggantikan variabelnya dengan angka tertentu.
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya.
Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \\
\frac{4\sqrt{0}}{0^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{0}} \\
\frac{0}{3} & \leq \frac{1}{0} \, \, \text{(SALAH)}
\end{align}$
yang ada $x= 0 $ SALAH, opsi yang salah adalah C dan E.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=\sqrt{3} \Rightarrow \frac{4\sqrt{x}}{x^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \\
\frac{4\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}^2+3} & \leq \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} \\
\frac{4\sqrt{\sqrt{3}}}{6} & \leq \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} \\
\frac{2\sqrt{\sqrt{3}}}{3} & \leq \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} \, \, \text{(SALAH)}
\end{align}$
yang ada $x= \sqrt{3} $ SALAH, opsi yang salah adalah A dan B.
Jadi, opsi yang benar adalah D (yang tersisa) yaitu
HP $ = 0 < x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 3 . \, \heartsuit $
3). Semua nilai $ x $ yang memenuhi $|x|+|x-2| > 3 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
B). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
C). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
D). $ x < -1 \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -\frac{3}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
Solusi I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Bentuk Mutlak :
*). Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk mutlak salah satu caranya menggunakan definisi bentuk mutlak.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc}
f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\
-f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi nilai mutlak masing-masing :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc}
x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\
-x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. $
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc}
x-2 & , \text{ untuk } x \geq 2 \\
-(x-2) & , \text{ untuk } x < 2 \end{array} \right. $
*). Untuk memudahkan menyelesaikan pertidaksamaannya, kita bagi menjadi tiga batasan (daerah) berdasarkan
definisi nilai mutlak di atas.
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan daerahnya :
-). daerah I : $ x < 0 $
Berlaku $ |x| = -x \, $ dan $ |x-2| = -(x-2) = -x + 2 $
$\begin{align}
|x|+|x-2| & > 3 \\
-x+ (-x + 2) & > 3 \\
-2x & > 1 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -1, tanda dibalik)} \\
x & < -\frac{1}{2}
\end{align} $
$ HP1 = \{ x < 0 \} \cap \{ x < -\frac{1}{2} \} = \{ x < -\frac{1}{2} \} $
-). daerah II : $ 0 \leq x < 2 $
Berlaku $ |x| = x \, $ dan $ |x-2| = -(x-2) = -x + 2 $
$\begin{align}
|x|+|x-2| & > 3 \\
x+ (-x + 2) & > 3 \\
2 & > 3 \, \, \, \, \, \, \text{(SALAH)}
\end{align} $
Artinya tidak ada $ x $ yang memenuhi daerah II ini.
-). daerah III : $ x \geq 2 $
Berlaku $ |x| = x \, $ dan $ |x-2| = x - 2 $
$\begin{align}
|x|+|x-2| & > 3 \\
x+ (x - 2) & > 3 \\
2x & > 5 \\
x & > \frac{5}{2}
\end{align} $
$ HP2 = \{ x \geq 2 \} \cap \{ x > \frac{5}{2} \} = \{ x > \frac{5}{2} \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari solusi ketiga daerah :
$\begin{align}
HP & = HP1 \cup HP2 \\
& = \{ x < -\frac{1}{2} \} \cap \{ x > \frac{5}{2} \}
\end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -\frac{1}{2} \} \, $ atau $ \{ x > \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit $
Solusi II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka
dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow |x|+|x-2| & > 3 \\
|3|+|3-2| & > 3 \\
3+1 & > 3 \\
4 & > 3 \, \, \text{(BENAR)}
\end{align}$
yang ada $x=3$ BENAR, opsi yang salah B dan D.
$\begin{align}
\text{Pilih} \, x= -1 \Rightarrow |x|+|x-2| & > 3 \\
|-1|+|-1-2| & > 3 \\
1+3 & > 3 \\
4 & > 3 \, \, \text{(BENAR)}
\end{align}$
yang ada $x=-1$ BENAR, opsi yang salah A dan E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -\frac{1}{2} \} \, $ atau $ \{ x > \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit $
4). Jika $ \{ x \in R | a < x < b \} $ adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
$ (x-2)^2 + \sqrt{(x-1)^2} < 6 $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ 4 \, $
B). $ 2 \, $
C). $ 1 \, $
D). $ -2 \, $
E). $ -4 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep Harga Mutlak :
$ |f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} $ sehingga
$ |f(x)|^2 = (f(x))^2 $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah soal :
$\begin{align}
(x-1)^2 + \sqrt{(x-1)^2} & < 6 \\
(x-1)^2 + |x-1| & < 6 \\
|x-1|^2 + |x-1| & < 6 \\
|x-1|^2 + |x-1| - 6 & < 0
\end{align} $
*). Misalkan $ p = |x-1| > 0 \, $ (positif) :
$\begin{align}
|x-1|^2 + |x-1| - 6 & < 0 \\
p^2 + p - 6 & < 0 \\
(p+3)(p-2) & < 0 \\
p = -3 \vee p = 2
\end{align} $
*). Karena nilai $ p $ positif, maka $ p = 2 $ yang memenuhi :
$\begin{align}
p & = 2 \\
|x-1| & = 2 \\
|x-1|^2 & = 2^2 \\
(x-1)^2 & = 4 \\
x^2 - 2x + 1 & = 4 \\
x^2 - 2x - 3 & = 0 \\
(x + 1)(x - 3) & = 0 \\
x = -1 \vee x & = 3
\end{align} $
Garis bilangan :
Sehingga solusinya $ -1 < x < 3 $ yang sama dengan $ a < x < b $, artinya $ a = -1 $ dan $ b = 3 $.
Nilai $ a + b = -1 + 3 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \, \heartsuit $
Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:
