Solusi Soal Maraton 8 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 8 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Garis $ f(x) = 2x - 1 $ berpotongan dengan kurva $ g(x) = x^2 - 4 $, seperti ditunjukkan pada gambar berikut!


(1). Garis $f(x)$ dan kurva $g(x)$ berpotongan di titik $(3, 5)$ dan $(-1,-3)$
(2). Kurva $g(x)$ memotong sumbu X di titik $(2, 0)$
(3). Kurva $g(x)$ memotong sumbu Y di titik $(0,-4)$
(4). Garis $f(x)$ memotong sumbu Y di titik $(1, 0)$

Dari pernyataan di atas, yang benar pada pilihan di bawah ini adalah ...?
(A). (1), (2), dan (3) SAJA yang benar.
(B). (1) dan (3) SAJA yang benar.
(C). (2) dan (4) SAJA yang benar.
(D). HANYA (4) yang benar.
(E). SEMUA pilihan benar.

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Titik potong (tipot) dua buah kurva dapat ditentukan dengan eliminasi dan substitusi (menyamakan) kedua persamaannya.
*). Titik potong (tipot) kurva terhadap sumbu-sumbu:
-). tipot sumbu X $ \rightarrow $ substitusi $ y = 0 $
-). tipot sumbu Y $ \rightarrow $ substitusi $ x = 0 $

*). Tipot fungsi $ f(x) = 2x - 1 $ dan $ g(x) = x^2 - 4 $ :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 4 & = 2x - 1 \\ x^2 - 2x - 3 & = 0 \\ (x+1)(x-3) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 3 \end{align} $
-). Substitusi $ x = -1 $ dan $ x = 3 $ ke salah satu fungsi yang lebih sederhana (fungsi garisnya):
$ x = -1 \rightarrow y = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3 $
tipotnya $ (-1, -3) $
$ x = 3 \rightarrow y = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 $
tipotnya $ (3, 5) $
Pernyataan (1) BENAR.

*). Tipot $ y = g(x) = x^2 - 4 $ terhadap sumbu-sumbu:
-). Tipot sumbu X, substiutsi $ y = 0 $ :
$ \begin{align} y & = x^2 - 4 \\ 0 & = x^2 - 4 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
tipot sumbu X nya yaitu $ (-2, 0 ) $ dan $ (2, 0 ) $
Pernyataan (2) BENAR.
-). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$ y = x^2 - 4 = 0^2 - 4 = -4 $
tipot sumbu Y yaitu $ (0, -4) $
pernyataan (3) BENAR.

*). Tipot $ y = f(x) = 2x - 1 $ terhadap sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$ y = 2x - 1 = 2(0) - 1 = -1 $
tipot sumbu Y nya yaitu $ (0, -1) $.
Pernyataan (4) SALAH.

Jadi, yang benar adalah (1), (2), dan (3). $ \heartsuit $

2). Diketahui garis $ y = c - x $ memotong kurva $ y = ax^2 + bx - c $ dengan $ a \neq 0 $ di titik $ (-2,5) $. Jika kurva tersebut simetris terhadap garis $ x = 1 $ , maka nilai $ a + b + c $ adalah ...
A). $ 1 \, $
B). $ 2 \, $
C). $ 3 \, $
D). $ 4 \, $
E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Dua kurva berpotongan di suatu titik maka titik tersebut bisa kita substitusikan ke kedua kurva.
*). Fungsi kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $ simetris terhadap garis $ x = k $ , artinya $ \frac{-b}{2a} = k $ .
( $ x = k $ di sini adalah sumbu simetri dari fungsi kuadrat tersebut).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). garis $ y = c - x $ memotong kurva $ y = ax^2 + bx - c $ dengan $ a \neq 0 $ di titik $ (-2,5) $, artinya titik $ (-2,5) $ bisa disubstitusikan ke kedua persamaan.
*). Substitusi $ (x,y) = (-2, 5 ) $ ke garis :
$\begin{align} y & = c - x \rightarrow 5 = c - (-2) \rightarrow c = 3 \end{align} $
*). Substitusi $ (x,y) = (-2, 5 ) $ dan $ c = 3 $ ke parabola :
$\begin{align} y & = ax^2 + bx - c \\ 5 & = a.(-2)^2 + b.(-2) - 3 \\ 5 & = 4a - 2b - 3 \\ 4a - 2b & = 8 \\ 2a - b & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). kurva $ y = ax^2 + bx - c $ memiliki sumbu simetris $ x = 1 $ :
$\begin{align} x & = 1 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 1 \rightarrow b = -2a \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi $ b = -2a $ ke pers(i) :
$\begin{align} 2a - b & = 4 \\ 2a - (-2a) & = 4 \\ 4a & = 4 \\ a & = 1 \end{align} $
pers(ii): $ b = -2a = -2 . 1 = -2 $
Sehingga nilai :
$ a + b + c = 1 + (-2) + 3 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b + c = 2 . \, \heartsuit $

3). Jika puncak grafik fungsi $ y = px^2 - qx -1 $ sama dengan puncak grafik fungsi $ y = x^2 - 2x + 4 $, maka nilai $ p + q $ adalah ...
A). $ -12 \, $
B). $ -4 \, $
C). $ 0 \, $
D). $ 4 \, $
E). $ 12 $

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Titik puncak FK $ \, \, y = ax^2 + bx + c $ yaitu $ (x_p,y_p) $
dengan $ x_p= \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p = f(x_p) $ atau $ y_p = \frac{D}{-4a} $
dimana $ D = b^2 - 4ac $
*). Titik yang dilalui oleh suatu kurva, titik tersebut bisa disubstitusikan ke fungsinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik puncak fungsi $ y = x^2 - 2x + 4 $ :
dengan $ a = 1, b = -2 , c = 4 $
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2.1} = 1 \\ y_p & = f(x_p) = f(1) = 1^2 - 2.1 + 4 = 3 \end{align} $
Sehingga titik puncaknya adalah $ (x_p , y_p) = (1,3) $
*). Titik $ (1,3) $ juga titik puncak dari $ y = px^2 - qx - 1 $ :
dengan $ a = p , b = -q, c = -1 $
-). Menyusun persamaan pertama : $ x_p = 1 $
$\begin{align} x_p & = 1 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 1 \rightarrow \frac{-(-q)}{2p} = 1 \\ q & = 2p \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). Substitusi titik puncak $ (1,3) $ ke fungsi $ y = px^2 - qx - 1 $
$\begin{align} y & = px^2 - qx - 1 \\ 3 & = p.1^2 - q.1 - 1 \\ 3 & = p - q - 1 \\ p - q & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke (ii) :
$\begin{align} p - q & = 4 \\ p - 2p & = 4 \\ -p & = 4 \\ p & = -4 \end{align} $
Pers(i): $ q = 2p = 2. (-4) = -8 $
Sehingga nilai $ p + q = (-4) + (-8) = -12 $
Jadi, nilai $ p + q = -12 . \, \heartsuit $
Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Titik puncak Fungsi kuadrat (FK) $ \, \, y = ax^2 + bx + c $ yaitu $ (x_p,y_p) $
dengan $ x_p= \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p = \frac{D}{-4a} $
dimana $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik puncak fungsi $ y = x^2 - 2x + 4 $ :
dengan $ a = 1, b = -2 , c = 4 $
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2.1} = 1 \\ y_p & = f(x_p) = f(1) = 1^2 - 2.1 + 4 = 3 \end{align} $
Sehingga titik puncaknya adalah $ (x_p , y_p) = (1,3) $
*). Titik $ (x_p, y_p) = (1,3) $ juga titik puncak dari $ y = px^2 - qx - 1 $ :
dengan $ a = p , b = -q, c = -1 $
-). Menyusun persamaan pertama : $ x_p = 1 $
$\begin{align} x_p & = 1 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 1 \rightarrow \frac{-(-q)}{2p} = 1 \\ q & = 2p \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua dengan $ y_p = 3 $ dan $ q = 2p $ :
$\begin{align} y_p & = 3 \\ \frac{D}{-4a} & = 3 \\ \frac{b^2 - 4ac}{-4a} & = 3 \\ \frac{(-q)^2 - 4.p.(-1)}{-4.p} & = 3 \\ \frac{q^2 + 4p}{-4p} & = 3 \\ \frac{(2p)^2 + 4p}{-4p} & = 3 \\ \frac{4p^2 + 4p}{-4p} & = 3 \\ \frac{4p^2 }{-4p} + \frac{4p}{-4p} & = 3 \\ -p + (-1) & = 3 \\ p & = -4 \end{align} $
Pers(i): $ q = 2p = 2. (-4) = -8 $
Sehingga nilai $ p + q = (-4) + (-8) = -12 $
Jadi, nilai $ p + q = -12 . \, \heartsuit $

4). Jika grafik dari suatu fungsi kuadrat $ f(x) $ dengan $ f(0) = -4 $ mempunyai sumbu simetri di $ x = \frac{1}{2} $ dan mencapai nilai maksimum $ - 3 $ , maka $ f(x) = ... $
A). $ -16x^2 + 8x - 4 \, $
B). $ -10x^2 + 10x - 4 \, $
C). $ -4x^2 + 4x - 4 \, $
D). $ x^2 - x - 4 \, $
E). $ 4x^2 - 4x - 4 \, $

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $ (x_p,y_p) $ :
$ y = a(x - x_p)^2 + y_p $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui sumbu simetri $ x = \frac{1}{2} $ dan nilai maksimum $ - 3 $ , artinya titik puncaknya adalah $ (x_p , y_p) = \left( \frac{1}{2} , -3 \right) $
*). Menyusun persamaan dan $ f(0) = -4 $ :
$\begin{align} y & = a(x - x_p)^2 + y_p \\ y & = a \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + (-3) \\ y & = a \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ -4 & = a \left(0 - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ -4 & = a . \frac{1}{4} - 3 \\ -1 & = a . \frac{1}{4} \\ a & = -4 \end{align} $
Sehingga fungsinya :
$\begin{align} y & = a \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ & = -4 \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ & = -4 \left(x^2 - x + \frac{1}{4} \right) - 3 \\ & = -4 x^2 + 4x -1 - 3 \\ & = -4 x^2 + 4x - 4 \end{align} $
Jadi, fungsi kuadratnya : $ f(x) = -4 x^2 + 4x - 4 . \, \heartsuit $
Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
*). Persamaan sumbu simetri fungsi kuadra : $ x = \frac{-b}{2a} $
*). Nilai maksimum $(y_p) $ : $ y_p = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan fungsi kuadratnya : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
*). Nilai $ c $ dengan $ f(0) = -4 $ :
$\begin{align} f(x) & = ax^2 + bx + c \\ -4 & = a.0^2 + b.0 + c \\ -4 & = c \end{align} $
Sehingga $ f(x) = ax^2 + bx - 4 $
*). Sumbu simetri : $ x = \frac{1}{2} $
$ \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2} \rightarrow b = -a \, $ .....(i)
*). Nilai maksimum : $ y_p = -3 $ dan $ c = -4 , b = -a $
$\begin{align} \frac{b^2-4ac}{-4a} & = -3 \\ \frac{(-a)^2-4a. (-4) }{-4a} & = -3 \\ \frac{a^2 + 16a }{-4a} & = -3 \\ \frac{a + 16 }{-4} & = -3 \\ a + 16 & = 12 \\ a & = -4 \end{align} $
Nilai $ b = -a = - (-4) = 4 $
Sehingga fungsi kuadratnya :
$ f(x) = ax^2 + bx - 4 \rightarrow f(x) = -4x^2 + 4x - 4 $
Jadi, fungsi kuadratnya : $ f(x) = -4 x^2 + 4x - 4 . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.