Solusi Soal Maraton 6 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 6 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Dari grafik parabola berikut, manakah pernyataan yang benar?

(1). sumbu simetri $ x = 1 $
(2). titik puncak $ (1, -9) $
(3). $ y = x^2 - 2x - 8 $
(4). nilai $ D > 0 $

(A). 1, 2, dan 3 saja yang benar
(B). 1 dan 3 saja yang benar
(C). 2 dan 4 saja yang benar
(D). hanya 4 yang benar
(E). semua pilihan benar

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menyusun fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di $ x_1 $ dan $ x_2 $ yaitu:
$ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $
-). Sumbu simetri: $ x = \frac{-b}{2a} $
-). Titik puncak: $ (x_p, y_p) $
dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $ dan $ y_p = f(x_p) $
-). Nilai Diskriminan $(D)$ yaitu $ D = b^2 - 4ac $

*). Menyusun fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di $ x_1 = -2 $ dan $ x_2 = 4 $ serta melalui titik $ (0, -8) $
$ \begin{align} y & = a(x-x_1)(x-x_2) \\ y & = a(x-(-2))(x-4) \\ y & = a(x+2)(x-4) \end{align} $
-). Substitusi titik yang dilalui $ (x,y) = (0,-8) $ :
$ \begin{align} y & = a(x+2)(x-4) \\ -8 & = a(0+2)(0-4) \\ -8 & = -8a \\ a & = 1 \\ y & = a(x+2)(x-4) \\ y & = 1(x+2)(x-4) \\ y & = 1(x+2)(x-4) \\ y & = (x+2)(x-4) \\ y & = x^2 - 2x - 8 \end{align} $
Sehingga fungsi kuadratnya: $ y = x^2 - 2x - 8 $
dengan $ a = 1, b = -2 , $ dan $ c = - 8 $
(pernyataan 3 BENAR).

*). persamaan sumbu simetri:
$ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2.1} = \frac{2}{2} = 1 $
(Pernyataan 1 BENAR)

*). Titik puncak $ (x_p , y_p) $ :
$ x_p = 1 $ (sama dengan sumbu simetri)
$ y_p = f(x_p) = f(1) = 1^2 - 2.1 - 8 = -9 $
titik puncak $ x_p , y_p) = (1, -9) $
(Pernyataan 2 BENAR)

*). Nilai diskriminan $(D)$:
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4.1.(-8) = 4 + 32 = 36 $
artinya $ D > 0 $
(Pernyataan 4 BENAR).

Jadi, kesimpulannya semua pilihan benar. $ \heartsuit $

Catatan:
-). Sebenarnya untuk sumbu simetri, jika diketahui titik potong sumbu X, maka sumbu simetrinya adalah titik tengahnya yaitu:
$ x = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
-). Nilai diskriminan (D) salah satu fungsinya menentukan banyaknya titik potong parabola terhadap sumbu X, yaitu:
jika $ D > 0 $, maka parabola memotong dua titik
jika $ D = 0 $, maka parabola memotong satu titik (bersinggungan)
jika $ D < 0 $, maka parabola tidak memotong sumbu X

2). Jika $ (p,q) $ merupakan titik puncak grafik fungsi $ f(x)=ax^2+2ax+a+1 $ , dengan $ f(a) = 19 $ , maka $ p + 2q + 3a = ... $
A). $ 7 \, $
B). $ 6 \, $
C). $ 0 \, $
D). $ -1 \, $
E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memiliki titik puncak $ (x_p,y_p) $
dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $ dan $ y_p = f(x_p) $ atau $ y_p = \frac{D}{-4a} $
dimana $ D = b^2-4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x)=ax^2+2ax+a+1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f(a) = 19 $ :
$\begin{align} f(x) & = ax^2+2ax+a+1 \\ f(a) & = 19 \\ a.a^2+2a.a+a+1 & = 19 \\ a^3+2a^2+a-18 & = 0 \end{align} $
*). Untuk pemfaktoran bentuk $ a^3+2a^2+a-18 = 0 $ bisa menggunakan metode horner.
$\begin{array}{c|ccccc} & 1 & 2 & 1 & -18 & \\ 2 & * & 2 & 8 & 18 & + \\ \hline & 1 & 4 & 9 & 0 & \end{array} $
Sehingga pemfaktorannya :
$\begin{align} a^3+2a^2+a-18 & = 0 \\ (a-2)(a^2 + 4a + 9) & = 0 \\ (a-2) = 0 \vee (a^2 + 4a + 9) & = 0 \\ a = 2 \vee (a^2 + 4a + 9) & = 0 \end{align} $
Sehingga kita peroleh nilai $ a = 2 $.
Fungsi kuadratnya menjadi :
$ f(x)=ax^2+2ax+a+1 \rightarrow f(x)=2x^2+2.2x+2+1 = 2x^2 + 4x + 3 $
*). Menentukan titik puncak $ (p,q) $ pada $ f(x) = 2x^2 + 4x + 3 $
$\begin{align} p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2.2} = -1 \\ q & = f(p) = f(-1) = 2.(-1)^2 + 4.(-1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p + 2q + 3a $ :
$\begin{align} p + 2q + 3a & = -1 + 2.1 + 3.2 = -1 + 2 + 6 = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + 2q + 3a = 7 . \, \heartsuit $

3). Jika persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ tidak mempunyai akar real, maka grafik fungsi $ y = ax^2 + bx + c $ menyinggung garis $ y = -x $ bilamana ...
A). $ b < -\frac{1}{2} \, $
B). $ -\frac{1}{2} < b < 0 $
C). $ b > -\frac{1}{2} $
D). $ 0 < b < \frac{1}{2} $
E). $ b > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat $ \, ax^2 + bx + c = 0 $ tidak memiliki akar real syaratnya $ D < 0 $
*). Grafik fungsi kuadrat dan garis bersinggungan memiliki syarat $ D = 0 $
dimana $ D = b^2 - 4ac $.
*). Ketaksamaan dibalik jika dibagi atau dikali bilangan negatif.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ tidak mempunyai akar real
$ \begin{align} \text{Syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). FK $ y = ax^2 + bx + c $ menyinggung garis $ y = -x $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ ax^2 + bx + c & = -x \\ ax^2 + bx + x + c & = 0 \\ ax^2 + ( b + 1) x + c & = 0 \\ \text{ Syarat menyinggung : } D & = 0 \\ (b+1)^2 - 4.a.c & = 0 \\ 4ac & = (b+1)^2 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (ii) ke (i)
$ \begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ b^2 - (b+1)^2 & < 0 \\ b^2 - (b^2 + 2b + 1) & < 0 \\ b^2 - b^2 - 2b - 1 & < 0 \\ - 2b - 1 & < 0 \\ - 2b & < 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2)} \\ b & > -\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ b > -\frac{1}{2} . \, \heartsuit $

4). Diketahui grafik fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ memotong sumbu X di titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ untuk suatu bilangan prima $ p $. Jika $ p + 3 $ juga merupakan suatu bilangan prima, maka nilai maksimum dari $ f(x) $ adalah ...
A). $ \frac{49}{2} \, $
B). $ \frac{49}{4} \, $
C). $ 10 \, $
D). $ -\frac{49}{4} \, $
E). $ -\frac{49}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Nilai maksimum/minimum fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $
$ f_{maks/min} = \frac{D}{-4a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Titik potong sumbu X maka substitusi $ y = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ p $ dan $ p + 3 $ adalah bilangan prima. Agar $ p $ dan $ p+3$ keduanya prima, maka nilai $ p = 2 $.
*). Titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ adalah titik potong fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ dengan sumbu X, artinya $ x_1 = -p-3 $ dan $ x_2 = p $ adalah akar-akar dari persamaan $ -x^2 + ax + b = 0 $.
*). Karena nilai $ p = 2 $, maka :
$ x_1 = -p-3 = -2 -3 = -5 $ dan $ x_2 = p = 2 $.
*). Operasi akar-akar pada PK $ \, -x^2 + ax + b = 0 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ (-5) + 2 & = \frac{-a}{-1} \\ -3 & = a \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ (-5). 2 & = \frac{b}{-1} \\ -10 & = -b \\ 10 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
$\begin{align} f_{maks} & = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} \\ & = \frac{(-3)^2 - 4.(-1).10}{-4.(-1)} \\ & = \frac{9 + 40}{4} = \frac{49}{4} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{49}{4} . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.