Solusi Soal Maraton 5 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 5 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Jika semua akar persamaan $ x^2 - 99x + p = 0 \, $ merupakan bilangan prima, maka nilai $ p \, $ adalah .....

$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat : $ x^2 - 99x + p = 0 $
$ a = 1, \, b = -99 , \, $ dan $ c = p $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-99)}{1} = 99 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p}{1} = p \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Analisa (Akar-akarnya bilangan prima)
Jumlah kedua akarnya ganjil (99), agar penjumlahannya ganjil maka dua bilangan tersebut haruslah genap dan ganjil. Sementara bilangan prima yang genap hanyalah 2, sehingga salah satu akarnya adalah 2 (misal $ x _1 = 2 \, $ ).
$ x_1 + x_2 = 99 \rightarrow 2 + x_2 = 99 \rightarrow x_2 = 97 $
dimana 97 juga bilangan prima.
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dengan $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 97 $
$ x_1.x_2 = p \rightarrow p = 2. 97 \rightarrow p = 194 $
Jadi, nilai $ p = 194. \heartsuit $

2). Perkalian akar-akar real dari persamaan $ \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-45} - \frac{2}{x^2-10x-69} = 0 , \, $ adalah ....

$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar persamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\clubsuit \, $ Jika $ \frac{a}{b} = 0 , \, $ maka $ a = 0 $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan dengan memisalkan : $ p = x^2 - 10x - 29 $
$ \begin{align} \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-45} - \frac{2}{x^2-10x-69} & = 0 \\ \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-29 -16} - \frac{2}{x^2-10x-29-40} & = 0 \\ \frac{1}{p} + \frac{1}{p -16} - \frac{2}{p-40} & = 0 \\ \frac{(p -16)(p-40) + p(p-40) - 2 p(p -16) }{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ \frac{p^2 -56p + 16.40 + p^2 - 40p -2p^2 + 32p }{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ \frac{-64p + 16.40}{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ -64p + 16.40 & = 0 \\ p & = 10 \end{align} $
Substitusi nilai $ p = 10 \, $ ke permisalan, kita peroleh :
$ x^2 - 10x - 29 = p \rightarrow x^2 - 10x - 29 = 10 \rightarrow x^2 - 10x - 39 = 0 $
Sehingga nilai $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-39}{1} = -39 $
Jadi, perkalian akar-akar realnya adalah $ -39. \heartsuit $

3). Diketahui persamaan kuadrat $ px^2 + 5x + p = 0 $ memiliki akar-akar positif. Jika selisih kuadrat akar-akar tersebut bernilai $ \frac{15}{4} $ , maka akar-akar tersebut adalah ....
A). $ 1 \, $ dan $ 2 $
B). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 1 $
C). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 2 $
D). $ 1 \, $ dan $ -2 $
E). $ 1 \, $ dan $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
Operasi penjulahan :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ px^2 + 5x + p = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ a = p , \, b = 5 \, $ dan $ c = p $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} \text{Selisih kuadrat } & = \frac{15}{4} \\ x_1^2 - x_2^2 & = \frac{15}{4} \\ (x_1+x_2)(x_1-x_2) & = \frac{15}{4} \\ \frac{-b}{a} \times \frac{\sqrt{D}}{a} & = \frac{15}{4} \\ \frac{-5}{p} \times \frac{\sqrt{5^2 - 4.p.p}}{p} & = \frac{15}{4} \\ \frac{-5\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2} & = \frac{15}{4} \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ \frac{-\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2} & = \frac{3}{4} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\frac{-\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2})^2 & = (\frac{3}{4})^2 \\ \frac{25 - 4p^2 }{p^4} & = \frac{9}{16} \\ 16(25 - 4p^2 ) & = 9p^4 \\ 400 - 64p^2 & = 9p^4 \\ 9p^4 + 64p^2 - 400 & = 0 \\ (9p^2+100)(p^2 - 4) & = 0 \\ p^2 = -\frac{100}{9} \vee p^2 & = 4 \end{align} $
$ p^2 = -\frac{100}{9} \, $ tidak memenuhi karena $ p^2 $ hasilnya selalu positif.
$ p^2 = 4 \rightarrow p = \pm 2 $
*). Akar-akar PK positif, sehingga :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-5}{p} $ harus bernilai positif jika $ p = -2 $. Sehingga nilai $ p $ yang kita pakai adalah $ p = -2 $.
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} p = -2 \rightarrow px^2 + 5x + p & = 0 \\ -2x^2 + 5x -2 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 2x^2 - 5x +2 & = 0 \\ (2x - 1)(x - 2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{1}{2} \vee x = 2 . \, \heartsuit $

4). Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah akar-akar persamaan $ 6x^2 - 3x - 3 = 0 $, maka persamaan dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1}+1 $ dan $ \frac{1}{x_2} + 1 $ dapat difaktorkan menjadi ....
A). $ (y-2)(y-3) = 0 \, $
B). $ (y-2)(y-1) = 0 \, $
C). $ (y+2)(y-3) = 0 \, $
D). $ (y+2)(y-1) = 0 \, $
E). $ (y-2)(y+1) = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $ y_1 $ dan $ y_2 $ adalah
$ (y-y_1)(y-y_2) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} 6x^2 - 3x - 3 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 2x^2 - x - 1 & = 0 \\ (x -1)(2x + 1) & = 0 \\ x_1 = 1 \vee x_2 & = -\frac{1}{2} \end{align} $
*). Persamaan kuadrat baru (PKB) dengan akar-akar :
$ y_1 = \frac{1}{x_1} + 1 = \frac{1}{1} + 1 = 2 $

$ y_2 = \frac{1}{x_2} + 1 = \frac{1}{-\frac{1}{2}} + 1 = -2 + 1 = -1 $
*). Menyusun persamaan kuadrat barunya :
$\begin{align} (y-y_1)(y-y_2) & = 0 \\ (y-2)(y-(-1)) & = 0 \\ (y-2)(y+1) & = 0 \end{align} $
Jadi, PKB-nya adalah $ (y-2)(y+1) = 0 . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.