Solusi Soal Maraton 3 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 3 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Jika persamaan $ x^2 - 4x + k - 1 = 0 $ mempunyai akar-akar real $ \alpha $ dan $ \beta $, maka nilai $ k $ yang memenuhi $ \frac{1}{\alpha ^2}+ \frac{1}{\beta ^2 } < 1 $ adalah ....
A). $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} $
B). $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ \sqrt{17} < k < 5 $
C). $ k < -\sqrt{18} \, $ atau $ k > \sqrt{18} $
D). $ k < -\sqrt{18} \, $ atau $ \sqrt{18} < k < 5 $
E). $ \sqrt{17} < k < 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). Misalkan PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
*). Operasi akar-akar :
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \alpha.\beta = \frac{c}{a} $
$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - 4x + k - 1 = 0 $
$ a = 1, b = -4 , c = k -1 \, $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
*). Operasi akar-akar :
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-4)}{1} = 4 $
$ \alpha . \beta = \frac{c}{a} = \frac{k - 1}{1} = k - 1 $
$ \begin{align} \alpha^2 + \beta^2 & = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \\ & = (4)^2 - 2(k-1) \\ & = 16 - 2k + 2 \\ & = 18 - 2k \\ \alpha^2 . \beta^2 & = (\alpha . \beta )^2 \\ & = (k-1)^2 \end{align} $
*). Menyelesaikan Soalnya :
$ \begin{align} \frac{1}{\alpha ^2}+ \frac{1}{\beta ^2 } & < 1 \\ \frac{\alpha ^2 + \beta ^2}{\alpha ^2. \beta ^2 } & < 1 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} & < 1 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - 1 & < 0 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - \frac{(k-1)^2}{(k-1)^2} & < 0 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - \frac{k^2 - 2k + 1}{(k-1)^2} & < 0 \\ \frac{-k^2 + 17}{(k-1)^2} & < 0 \end{align} $
Akar-akar pembilang dan penyebutnya :
$ -k^2 + 17 = 0 \rightarrow k = \pm \sqrt{17} $
$ (k-1)^2 = 0 \rightarrow k = 1 $
Garis bilangannya :
 
Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya :
$ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} $ .
Jadi, HPnya $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} . \, \heartsuit $

2). Jika 2 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat $\frac{1}{4}x^2+bx+a=0, \, $ maka nilai $a+b$ adalah ...

$\spadesuit \, $ 2 adalah satu-satunya akar, artinya akarnya sama/kembar : $x_1=2, \, x_2=2$
$\spadesuit \, $ Rumus jumlah dan kali akar-akar :
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \Rightarrow 2 + 2 = \frac{-b}{\frac{1}{4}} \Rightarrow 4 = -4b \Rightarrow b = -1 $
$x_1.x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow 2 . 2 = \frac{a}{\frac{1}{4}} \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1 $
Sehingga , $a+b = 1 + (-1) = 0 $
Jadi, nilai $a+b = 0 . \heartsuit $

3). Jumlah nilai-nilai $m $ yang mengakibatkan persamaan kuadrat $mx^2-(3m+1)x+(2m+2) = 0 $ mempunyai akar-akar perbadingan dengan perbandingan 3 : 4 adalah ....

$\spadesuit \, $ Misalkan akar-akarnya $x_1 $ dan $x_2 $
$\frac{x_1}{x_2} = \frac{3}{4} \rightarrow x_1 = \frac{3}{4} x_2 $ ....pers(i)
$\spadesuit \, $ Operasi penjumlahan dan pers(i)
$\begin{align*} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ \frac{3}{4} x_2 + x_2 & = \frac{3m+1}{m} \\ \frac{7}{4} x_2 & = \frac{3m+1}{m} \\ x_2 & = \frac{3m+1}{m} . \frac{4}{7} = \frac{4(3m+1)}{7m} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $x_2= \frac{4(3m+1)}{7m} $ ke persamaan kuadrat
$\begin{align*} mx^2-(3m+1)x+(2m+2) & = 0 \\ m\left( \frac{4(3m+1)}{7m} \right)^2-(3m+1).\left( \frac{4(3m+1)}{7m} \right)+(2m+2) & = 0 \\ 5m^2-13m+6 & = 0 \end{align*}$
jumlah nilai $m$ :
$m_1+m_2 = \frac{-b}{a} = \frac{13}{5} $
Jadi, jumlah nilai $m$ adalah $\frac{13}{5}. \heartsuit $

4). Diketahui $ x_1 $ dan $ x_2 $ merupakan akar-akar $ x^2 + 2ax + b^2 = 0 $. Jika $ x_1^2 + x_2^2 = 10 $ , maka nilai $ b^2 $ adalah ...
A). $ 4a^2 + 10 \, $
B). $ 4a^2 - 10 \, $
C). $ 2a^2 + 5 \, $
D). $ 2a^2 - 5 \, $
E). $ -2a^2 + 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) $ \, \, \, ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Operasi akar-akar PK :
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
Rumus bantu : $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 + 2ax + b^2 = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-2a}{1} = -2a $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{b^2}{1} = b^2 $
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = 10 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 & = 10 \\ (-2a)^2 - 2b^2 & = 10 \\ 4a^2 - 2b^2 & = 10 \\ 2b^2 & = 4a^2 - 10 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ b^2 & = 2a^2 - 5 \end{align} $
Jadi, bentuk $ b^2 = 2a^2 - 5 . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.