Solusi Soal Maraton 2 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 2 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Akar persamaan kuadrat $ (a+1) x^2 - 3ax + 4a = 0 \, $ mempunyai dua akar berbeda dan keduanya lebih besar daripada 1, maka nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ a < - 1 \, $ atau $ \, a > 2 \, $
B). $ a < -1 \, $ atau $ \, a > -\frac{1}{2} \, $
C). $ -\frac{16}{7} < a < 0 \, $
D). $ -\frac{16}{7} < a < -1 \, $
E). $ a < -\frac{16}{7} \, $ atau $ \, a > 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Misalkan ada persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ maka :
Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \, $ dan $ x_1. x_2 = \frac{c}{a} $
Syarat akar-akar berbeda : $ D > 0 \, $ dengan $ D = b^2- 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat $ (a+1)x^2 - 3ax + 4a = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ serta memenuhi $ x_1 > 1 \, , x_2 > 1 $ .
Kita peroleh :
$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3a}{a+1} \, $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4a}{a+1} $ .
*). Mengubah bentuk $ x_1 > 1 \, $ dan $ x_2 > 1 \, $ agar mudah dioperasikan :
$ x_1 > 1 \rightarrow x_1 - 1 > 0 \, $ artinya $ (x_1 - 1) \, $ bernilai positif.
$ x_2 > 1 \rightarrow x_2 - 1 > 0 \, $ artinya $ (x_2 - 1) \, $ bernilai positif.
*). Operasi akar-akar :
Operasi penjumlahan :
$ \begin{align} (x_1 - 1) + (x_2 -1) & > 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{ (positif + positif = positif)} \\ (x_1 + x_2) - 2 & > 0 \\ \frac{3a}{a+1} - 2 & > 0 \\ \frac{3a}{a+1} - \frac{2(a+1)}{a+1} & > 0 \\ \frac{a-2}{a+1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
pembilang, $ (a - 2 ) = 0 \rightarrow a = 2 $
penyebut, $ (a + 1) = 0 \rightarrow a = -1 $ .

sehingga solusinya : HP1 = $ \{ a < -1 \vee a > 2 \} $ .
Operasi perkalian :
$ \begin{align} (x_1 - 1) . (x_2 -1) & > 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{ (positif x positif = positif)} \\ x_1.x_2 - ( x_1 + x_2) + 1 & > 0 \\ \frac{4a}{a+1} - \frac{3a}{a+1} +1 & > 0 \\ \frac{4a}{a+1} - \frac{3a}{a+1} + \frac{a + 1}{a+1} & > 0 \\ \frac{2a + 1}{a+1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
pembilang, $ (2a+1 ) = 0 \rightarrow a = -\frac{1}{2} $
penyebut, $ (a + 1) = 0 \rightarrow a = -1 $ .
sehingga solusinya : HP2 = $ \{ a < -1 \vee a > -\frac{1}{2} \} $ .
*). Syarat dua akar berbeda : $ D > 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & > 0 \\ (-3a)^2 - 4.(a+1).(4a) & > 0 \\ 9a^2 - 16a^2 - 16a & > 0 \\ -7a^2 - 16a & > 0 \\ -a(7a + 16a) &= 0 \\ a = 0 \vee a & = -\frac{16}{7} \end{align} $
sehingga solusinya : HP3 = $ \{ -\frac{16}{7} < a < 0 \} $ .
*). Himpunan penyelesaiannya
$ HP = HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ -\frac{16}{7} < a < -1 \} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ -\frac{16}{7} < a < -1 \} . \, \heartsuit $

2). Diketahui persamaan kuadrat
$ x^2 - 2x - 3 = 0 \, \, \, \, \, $ (1)
$ x^2 - ax + b = 0 \, \, \, \, \, $ (2)
Jika jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan tiga kali jumlah kedua akar persamaan (1) dan kuadrat selisih kedua akar persamaan (1) sama dengan kuadrat selisih kedua akar persamaan (2), maka $ b = .... $
A). $ b = 4 \, $
B). $ b = 5 \, $
C). $ b = 6 \, $
D). $ b = 7 \, $
E). $ b = 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat :
Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memisalkan akar-akarnya dan operasinya :
PK (1). $ x^2 - 2x - 3 = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $.
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 . 1. (-3) = 4 + 12 = 16 $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{16}}{1} = \sqrt{16} $
PK (2). $ x^2 - ax + b = 0 \, $ akar-akarnya $ y_1 \, $ dan $ y_2 $.
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-a)}{1} = a $
$ D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4.1.b = a^2 - 4b $
$ y_1 - y_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{ a^2 - 4b}}{1} = \sqrt{ a^2 - 4b} $
*). Menyusun persamaan dan menyelesaikannya
Pertama :
Jumlah akar-akar PK (2) sama dengan tiga kali jumlah akar-akar PK(2)
$ \begin{align} y_1 + y_2 & = 3(x_1 + x_2) \\ a & = 3 \times 2 \\ a & = 6 \end{align} $
Kedua :
Kuadrat selisih akar-akar PK(1) sama dengan kuadrat selisih akar-akar PK(2)
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = (y_1-y_2)^2 \\ (\sqrt{16})^2 & = (\sqrt{ a^2 - 4b})^2 \\ 16 & = a^2 - 4b \\ 16 & = 6^2 - 4b \\ 16 & = 36 - 4b \\ 4b & = 36 - 16 \\ 4b & = 20 \\ b & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 5 . \, \heartsuit $

3). Misalkan $ x_1 $ dan $ x_2 $ merupakan akar-akar persamaan $ px^2 + qx - 1 = 0 , p \neq 0 $. Jika $ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = -1 $ dan $ x_1 = -\frac{3}{2}x_2 $, maka $ p + q = .... $
A). $ -7 \, $
B). $ -5 \, $
C). $ 0 \, $
D). $ 5 \, $
E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat :
*). Misalkan ada PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ px^2 + qx - 1 = 0 \rightarrow a = p, b = q , c = -1 $
*). Menentukan nilai $ q $ :
$\begin{align} \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} & = -1 \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1.x_2} & = -1 \\ x_1 + x_2 & = -x_1.x_2 \\ \frac{-q}{p} & = -\frac{-1}{p} \\ q & = -1 \end{align} $
*). Menentukan bentuk $ x_2 $ dengan $ x_1 = -\frac{3}{2}x_2 $:
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ -\frac{3}{2}x_2 + x_2 & = \frac{-q}{p} \\ -\frac{1}{2}x_2 & = \frac{-(-1)}{p} \\ x_2 & = \frac{-2}{p} \\ x_1 = -\frac{3}{2}x_2 & = -\frac{3}{2}. \frac{-2}{p} = \frac{3}{p} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan operasi perkalian :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ \frac{-2}{p} . \frac{3}{p} & = \frac{-1}{p} \\ p^2 - 6p & = 0 \\ p(p - 6) & = 0 \\ p = 0 \vee p & = 6 \end{align} $
Karena $ p \neq 0 $, yang memenuhi adalah $ p = 6 $.
Sehingga nilai $ p + q = 6 + (-1) = 5 $.
Jadi, nilai $ p + q = 5 . \, \heartsuit $

4). Jika $ p\left( \frac{x}{2} \right) = x^2 + 2x + 3 $ maka jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi $ p(2x) = 4 $ adalah ....
A). $ 1 \, $
B). $ \frac{1}{2} \, $
C). $ \frac{1}{8} \, $
D). $ -\frac{1}{8} \, $
E). $ -\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat :
*). Misalkan ada PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $,
*). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah fungsinya dengan substitusi $ x = 4y $ :
$ \begin{align} p\left( \frac{x}{2} \right) & = x^2 + 2x + 3 \\ p\left( \frac{4y}{2} \right) & = (4y)^2 + 2.(4y) + 3 \\ p\left( 2y \right) & = 16y^2 + 8y + 3 \end{align} $
artinya kita peroleh :
$ p(2x) = 16x^2 + 8x + 3 $.
*). Menyusun persamaan kuadratnya :
$ \begin{align} p(2x) & = 4 \\ 16x^2 + 8x + 3 & = 4 \\ 16x^2 + 8x - 1 & = 0 \\ a = 16, b = 8 , c & = -1 \end{align} $
*). Menentukan jumlah akar-akarnya :
$ \begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, jumlah akar-akarnya adalah $ - \frac{1}{2} . \, \heartsuit $


       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.