Solusi Soal Maraton 1 Latihan UTBK Saintek

         Blog Koma - Hallow Sahabat Koma, Bagaimana kabarnya? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini berisi tentang Solusi Soal Maraton 1 Latihan UTBK Saintek yang bertujuan untuk membantuk sahabat koma yang ingin belajar mempersiapkan masuk Perguruan Tinggi Negeri (Seleksi Masuk PTN) baik seleksi nasional ataupun seleksi Mandirinya. Soal-soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini diambil dari berbagai jenis seleksi yang sudah berjalan pada tahun-tahun sebelumnya, seperti UMPTN, SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan seleksi Masuk PTN lainnya.

         Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek tersedia pada tombol "Lihat Solusi" di bagian bawah setiap soalnya. Jika ada kekeliruan dalam solusi atau pembahasannya, mohon untuk dikoreksi dengan menuliskannya pada kolom komentar di bagian paling bawah. Semoga Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini bermanfaat bagi sahabat koma.


Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek
1). Jika $ a > 0 $ dan selisih akar-akar persamaan kuadrat $ 5x^2 - 10ax + 8a = 0 $ sama dengan 3, maka $ a^2 - a = ...$
A). $ 1\frac{1}{9} \, $
B). $ 3\frac{3}{4} \, $
C). $ 4\frac{4}{9} \, $
D). $ 7\frac{1}{2} \, $
E). $ 8\frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Selisih akar-akarnya :
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat $ 5x^2 - 10ax + 8a = 0 $ dengan $ a > 0 $
$ a = 5, b = -10a , $ dan $ c = 8a $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \text{Selisih akar } & = 3 \\ \frac{\sqrt{D}}{a} & = 3 \\ \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} & = 3 \\ \frac{\sqrt{(-10a)^2 - 4.5.8a}}{5} & = 3 \\ \sqrt{100a^2 - 160a} & = 15 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{100a^2 - 160a} )^2 & = (15 )^2 \\ 100a^2 - 160a & = 225 \\ 100a^2 - 160a - 225 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 20a^2 - 32a - 45 & = 0 \\ (10a+9)(2a - 5) & = 0 \\ a = -\frac{9}{10} \vee a & = \frac{5}{2} \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , maka $ a = \frac{5}{2} $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ a^2 - a $ :
$\begin{align} a^2 - a & = (\frac{5}{2})^2 - \frac{5}{2} = \frac{25}{4} - \frac{5}{2} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 - a = 3\frac{3}{4} . \, \heartsuit $

2). Nilai $ a $ agar persamaan kuadrat $ x^2 - 8x + 2a = 0 $ mempunyai dua akar yang berlainan dan positif adalah ....
A). $ a > 0 \, $
B). $ a < 8 \, $
C). $ 0 < a < 8 \, $
D). $ a > 8 \, $
E). $ a < 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat Persamaan kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar berlainan dan positif yaitu :
$ x_1+x_2 > 0 \, $ , $ x_1.x_2 > 0 \, $ , dan $ D > 0 $
Solusinya adalah irisan dari ketiga himpunan di atas.
dan rumus-rumus :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ , $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ dan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan syarat-syaratnya :
PK : $ x^2 - 8x + 2a = 0 \rightarrow a = 1, b = -8, c = 2a $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-8)}{1} = 8 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2a}{1} = 2a $
$ D = b^2 - 4ac= (-8)^2 - 4.1.(2a) = 64 - 8a $
-). Syarat pertama :
$\begin{align} x_1 + x_2 & > 0 \\ 8 & > 0 \, \, \, \text{(Benar)} \end{align} $
-). Syarat Kedua :
$\begin{align} x_1 . x_2 & > 0 \\ 2a & > 0 \\ a & > 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{....HP1} \end{align} $
-). Syarat Ketiga :
$\begin{align} D & > 0 \\ 64 - 8a & > 0 \\ -8a & > -64 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -8, tanda dibalik)} \\ a & < 8 \, \, \, \, \, \, \, \text{....HP2} \end{align} $
*). Solusinya adalah irisan dari semua himpunan :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = 0 < a < 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ a $ adalah $ 0 < a < 8 . \, \heartsuit $

3). Jika $ p $ dan $ q $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ 3x^2 + 6x + 4 = 0 $ , maka persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $ (2p+q+1) $ dan $ ( p + 2q + 1 ) $ adalah ......
A). $ x^2 + 4x + 3 = 0 \, $
B). $ x^2 + 4x + 7 = 0 \, $
C). $ 3x^2 + 12x + 13 = 0 \, $
D). $ x^2 - 8x + 19 = 0 \, $
E). $ 3x^2 - 24x + 49 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun persamaan kuadrat baru (PKB) :
Rumusnya $ x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
HJ = Hasil jumlah dan HK = Hasil Kali
*). Operasi akar-akar PK $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ 3x^2 + 6x + 4 = 0 $ akar-akarnya $ p $ dan $ q $
$ p + q = \frac{-6}{3} = -2 $ dan $ p.q = \frac{4}{3} $
*). Menyusun PKB dengan akar-akar $ (2p+q+1) $ dan $ ( p + 2q + 1 ) $
Kita sederhanakan akar-akarnya :
$ 2p + q + 1 = p + (p+q) + 1 = p + (-2) + 1 = p - 1 $
$ p + 2q + 1 = (p + q ) + q + 1 = -2 + q + 1 = q - 1 $
Sehingga PKB dengan akar-akar $ (p-1) $ dan $ (q - 1) $
*). Menentukan nilai HJ dan HK :
$ \begin{align} HJ & = (p-1) + (q-1) = ( p + q) - 2 \\ & = -2 - 2 = -4 \\ HK & = (p-1)(q-1) = pq - p - q + 1 \\ & = pq - (p+q) + 1 \\ & = \frac{4}{3} - (-2) + 1 = \frac{13}{3} \end{align} $
*). Menyusun PKB :
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - (-4)x + \frac{13}{3} & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3x^2 + 12x + 13 & = 0 \end{align} $
Jadi, PKB nya adalah $ 3x^2 + 12x + 13 = 0 . \, \heartsuit $

4). Jika akar-akar persamaan $ \frac{x^2+ax}{bx-2}=\frac{m+2}{m-2} $ berlawanan dan $ a \neq b $ , maka nilai $ m $ adalah ....
A). $ \frac{a+b}{a-b} \, $
B). $ \frac{2(a+b)}{a-b} \, $
C). $ a+b \, $
D). $ \frac{2(b+a)}{b-a} \, $
E). $ \frac{b+a}{b-a} $

$\clubsuit \, $ Konsep Dasar pada persamaan kuadrat (PK),
Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar berlawanan dengan syarat $ b = 0 $

$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan kuadratnya dengan kali silang
$\begin{align} & \frac{x^2 + ax}{bx-2} = \frac{m+2}{m-2} \\ & (x^2 + ax).(m-2) = (m+2).(bx - 2) \\ & (m-2)x^2 + (m-2)ax = (m+2)bx - 2(m+2) \\ & (m-2)x^2 + (m-2)ax - (m+2)bx + 2(m+2) = 0 \\ & (m-2)x^2 + [(m-2)a - (m+2)b]x + 2(m+2) = 0 \end{align}$
artinya $ a = m - 2 , \, b = [(m-2)a - (m+2)b] \, \, \, \, $ dan $ c = 2(m+2) $
$\clubsuit \, $ Syarat akar-akar berlawanan : $ b = 0 $
$\begin{align} b & = 0 \\ [(m-2)a - (m+2)b] & = 0 \\ ma - 2a - mb - 2b & = 0 \\ m(a - b) - 2(a+b) & = 0 \\ m(a - b) & = 2(a+b) \\ m & = \frac{2(a+b)}{(a - b)} \end{align}$
Jadi, kita peroleh $ m = \frac{2(a+b)}{(a - b)} . \, \heartsuit $

       Untuk referensi materi dan soal-soal UTBK atau persiapan seleksi PTN lainnya, silahkan lihat pada link berikut:

  • Materi Persiapan UTBK atau Seleksi PTN Lainnya
  • Kumpulan soal Seleksi PTN Per Bab
  • Kumpulan soal Seleksi PTN per Tahun
  • Materi dan Soal TPS Kuantitatif

    •        Demikian artikel Solusi Soal Maraton Latihan UTBK Saintek ini. Untuk melihat kumpulan soal maraton lainnya, silahkan sahabat koma ikut link Kumpulan solusi dan soal maraton latihan UTBK Saintek. Semoga bermanfaat untuk penguasaan materi dan soal-soalnya. Jika ada kritik dan saran, silahkan tulis pada kolom komentar di bawah ini. Terimakasih.