Ringkasan Fungsi Komposisi dan Invers - umptn

         Blog KoMa - Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Fungsi Komposisi dan Invers - umptn beserta soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Fungsi Komposisi dan Invers ini. Untuk soal-soal Fungsi Komposisi dan Invers kita bagi menjadi dua bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Fungsi Komposisi dan Invers - umptn ini bisa teman-teman kuasai dengan baik.

gambar 0.

(A). Fungsi

       Misalkan A dan B himpunan. Fungsi $f$ dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A (Domain) dengan tepat satu anggota himpunan B (Kodomain).

       Fungsi $ y = f(x) $, nilai $ f(k) $ artinya menggantikan semua variabel $ x $ dengan $ k $ pada fungsi $ y = f(x) $.

(i). Daerah asal fungsi (Domain)
1). $ f(x) = \sqrt{g(x)} \rightarrow D_f = \{ x | x \in g(x) \geq 0 \} $
2). $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \rightarrow D_f = \{ x | x \in h(x) \neq 0 \} $
3). $ D_{f+g} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_g ) \} $
4). $ D_{f-g} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_g ) \} $
5). $ D_{f.g} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_g ) \} $
6). $ D_{\frac{f}{g}} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_g ) \, \text{ dan } g(x) \neq 0 \} $

(ii). Daerah Hasil fungsi (Range)
       Daerah hasil fungsi bergantung dari daerah asalnya.

       Untuk mempelajari fungsi secara mendalam yaitu tentang definisi, sifat-sifat, dan jenis-jenis fungsi, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut:
Fungsi Matematika.

1). Soal UMPTN 2001 MatDas
Misalkan $ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 2x-1, & \text{untuk} \, \, \, \, 0 < x < 1 \\ x^2+1, & \text{untuk} \, \, x \, \, \text{yang lain} \end{array} \right. $
maka $ f(2)f(-4)+f\left( \frac{1}{2} \right) f(3) = .... $
A). 52
B). 55
C). 85
D). 105
E). 210

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Fungsi $f(x)$ berlaku sesuai nilai $x$ yang disubstitusikan
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai fungsi
$\begin{align} x = 2 \rightarrow f(x) & = x^2 + 1 \\ f(2) & = 2^2 + 1 = 5 \\ x = -4 \rightarrow f(x) & = x^2 + 1 \\ f(-4) & = (-4)^2 + 1 = 17 \\ x = \frac{1}{2} \rightarrow f(x) & = 2x - 1 \\ f(\frac{1}{2}) & = 2.(\frac{1}{2}) - 1 = 0 \\ x = 3 \rightarrow f(x) & = x^2 + 1 \\ f(3) & = (3)^2 + 1 = 10 \end{align}$
$ \clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$f(2).f(-4)+f(\frac{1}{2}).f(3) = 5.17 + 0 . 10 = 85 $
Jadi, hasilnya adalah 85. $ \heartsuit $

2). Soal SNMPTN 2009 MatDas 276
Jika fungsi $f$ memenuhi persamaan $ 2f(x)+f(9-x)=3x $ untuk setiap $x$ bilangan real, maka nilai $f(2) $ adalah ....
A). 11
B). 7
C). $ - 3 $
D). $ - 5 $
E). $ -11 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $f(x) $ dengan cara substitusi $x=a $ dan $x=9-a $ ke $ 2f(x)+f(9-x)=3x $ .
* $x=a \rightarrow 2f(a)+f(9-a)=3a $ ...pers(i)
* $x=9-a \rightarrow 2f(9-a)+f(9-(9-a))=3(9-a) $
$ \rightarrow 2f(9-a)+f(a)=3(9-a) $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) dengan pers(i) kali 2 dan pers(ii) kali 1
$\begin{array}{cc} 4f(a)+2f(9-a)=6a & \\ 2f(9-a)+f(a)=3(9-a) & - \\ \hline 3f(a) = 9a-27 \rightarrow f(a) = 3a-9 & \end{array}$
sehingga, $f(a) = 3a-9 \rightarrow f(2) = 3\times 2 - 9 = -3 $
Jadi, nilai $f(2) = -3. \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Tidak perlu menentukan $f(x)$ . Substitusi $x=2 $ dan $x=7 $ ke $ 2f(x)+f(9-x)=3x $ , lalu eliminasi
* $x=2 \rightarrow 2f(2)+f(7)=6 $ ...pers(i)
* $x=7 \rightarrow 2f(7)+f(2)=21 $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 2f(2)+f(7)=6 & \text{kali 2} & 4f(2)+2f(7)=12 & \\ 2f(7)+f(2)=21 & \text{kali 1} & 2f(7)+f(2)=21 & - \\ \hline & & 3f(2) = -9 \rightarrow f(2) = -3 & \end{array}$
Jadi, nilai $f(2) = -3. \heartsuit $

3). Soal UTBK 2019 Soshum
Manakah yang bukan merupakan fungsi dari $ y = f(x) $ di abawah ini?

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
Fungsi $ y = f(x) $ , artinya domainnya adalah $x$, sehingga setiap $ x $ harus dikawankan tepat satu kali di $ y $. Pada gambar, yang bukan merupakan fungsi $ y = f(x) $ adalah opsion E.
Jadi, jawabannya E. $ \heartsuit $

4). Soal SBMPTN 2017 MatDas 265
Jika $ f(x) = 4 - 2x $ dan $ g(x) = \frac{x+1}{2 - x} $, maka daerah hasil $ f. g $ adalah ....
A). $\{ y | -\infty < y < \infty \} $
B). $\{ y | y \neq 2 \} $
C). $\{ y | y \neq 4 \} $
D). $\{ y | y \neq 6 \} $
B). $\{ y | y \neq 2 \, \text{dan} \, y \neq 6 \} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Daerah asal (domain) :
Misalkan daerah asal fungsi $ f(x) $ adalah $ D_f $, dan daerah asal fungsi $ g(x) $ adalah $ D_g $, maka daerah asal fungsi $ f. g $ adalah $ D_{f.g} = \{ D_f \cap D_g \} \, $ (irisan dari kedua daerah hasil).
*). Daerah hasil (Range) tergantung dari daerah asalnya.

*). Menentukan daerah asal (domain) :
Fungsi $ f(x) = 4 - 2x \rightarrow D_f = \{ x | x \in R \} $
Fungsi $ g(x) = \frac{x+1}{2 - x} \rightarrow D_g = \{ x | x \in R, x \neq 2 \} $
Domain $ f.g $ :
$ D_{f.g} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R, x \neq 2 \} $.
*). Menentukan fungsi $ f.g $ :
$\begin{align} f.g & = f(x) . g(x) \\ & = (4-2x) . \left( \frac{x+1}{2 - x} \right) \\ & = 2(2-x) . \left( \frac{x+1}{2 - x} \right) \\ & = 2 . \left( x + 1 \right) \\ & = 2x + 2 \end{align} $
*). Menentukan daerah hasil fungsi $ f.g $ :
Domain dari $ f.g $ adalah semua bilangan real kecuali $ x = 2 $, artinya daerah hasilnya juga semua bilangan real kecuali saat $ x = 2 $ yaitu :
$ x = 2 \rightarrow y = f.g = 2x + 2 = 2.2 + 2 = 6 $.
Sehingga daerah hasil dari $ f.g $ adalah semua $ y $ kecuali $ y = 6 $ atau bisa ditulis $\{ y | y \neq 6 \} $.
Jadi, daerah hasil $ f.g $ adalah $ \{ y | y \neq 6 \} . \, \heartsuit $

(B). Fungsi Komposisi

(i). Definisi fungsi komposisi
       Diketahui, $f$ dan $g$ dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi $f$ dan $g$ ditulis $g \circ f$, didefinisikan sebagai $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ dengan $f$ dikerjakan lebih dahulu daripada $g$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (g \circ f )(x) $ :

       Sementara untuk fungsi komposisi $g$ dan $f$ ditulis $f \circ g$, didefinisikan sebagai $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ dengan $g$ dikerjakan lebih dahulu daripada $f$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (f \circ g )(x) $ :

(ii). Syarat Fungsi Komposisi
       Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi $f$ dan fungsi $g$ dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $(g \circ f)$ adalah irisan antara daerah hasil fungsi $f$ dan daerah asal fungsi $g$ bukan himpunan kosong, atau $R_f \cap D_g \neq \emptyset $.

(iii). Daerah Asal Fungsi Komposisi
*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{g \circ f}$) adalah $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in D_f , \, f(x) \in D_g \} $

*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{f \circ g}$) adalah $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in D_g , \, g(x) \in D_f \} $
Keterangan :
$ D_f = \, $ daerah asal fungsi $ f $
$ D_g = \, $ daerah asal fungsi $ g $

       Untuk memperdalam materi fungsi kompoisi, silahkan kunjungi link:
Fungsi komposisi

5). Soal SBMPTN 2017 MatDas 265
Jika $ f(x) = \sqrt{x} $ dan $ g(x) = x^2 + 1 $, maka daerah asal $ g \circ f $ adalah ....
A). $ \{ x| -\infty < x < \infty \} $
B). $ \{ x | x < 1 \text{ atau } x > 1 \} $
C). $ \{ x | x < 0 \text{ atau } x > 0 \} $
D). $ \{ x | x \geq 0 \} $
E). $ \{ x | x \geq 1 \} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit $ Konsep Dasar Daerah asal fungsi komposisi
*). Daerah asal (domain) :
Daerah asal fungsi $ f $ adalah $ D_f $.
Misalkan $ h(x) = (g \circ f)(x) $, daerah asalnya $ D_y$.
Daerah asal fungsi $ g \circ f = \{ D_f \cap D_y \} $
*). Daerah asal adalah nilai variabel awal (biasanya $ x $) yang bisa disubstitusikan ke fungsinya.
*). Komposisi fungsi : $ ( g\circ f)(x) = g(f(x)) $ .

*). Daerah asal $ f(x) = \sqrt{x} $.
$ D_f = \{ x \geq 0 \} $.
*). Menentukan nilai $ g \circ f $ :
$\begin{align} y & = (g \circ f)(x) \\ & = g(f(x)) \\ & = g( \sqrt{x} ) \\ & = (\sqrt{x})^2 + 1 \\ & = x + 1 \end{align} $
Daerah asal dari $ y = x + 1 $ adalah semua bilangan real.
$ D_y = \{ x \in R \} $.
*). Menentukan Daerah asal dari $ g \circ f ) $ :
$\begin{align} D_{g \circ f} & = D_f \cap D_y \\ & = \{ x \geq 0 \} \cap \{ x \in R \} \\ & = \{ x \geq 0 \} \end{align} $
Jadi, daerah asal dari $ g \circ f $ adalah $ \{ x | x \geq 0 \} . \, \heartsuit $

6). Soal UTBK 2019 Saintek
Diketahui fungsi $ f(x) = 2x -1 $ dan $ g(x) = x^2 + 1 $ . Berikut ini himpunan pasangan terurut yang BENAR dari fungsi $ (f \circ g)(x) $ adalah .....
A). $ \{ (-2,9), (0,1), (1,2), (2,9) \} \, $
B). $ \{ (-2,9), (1,3), (2,9), (3,20) \} \, $
C). $ \{ (-1,3), (0,1), (1,3), (2,8) \} \, $
D). $ \{ (-1,3), (0,1), (2,9), (3,19) \} \, $
E). $ \{ (-2,9), (-1,2), (1,3), (2,9) \} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan fungsi komposisinya:
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f( x^2 + 1) \\ & = 2(x^2 + 1) - 1 \\ & = 2x^2 + 1 \end{align} $
*). Menentukan hasil komposisi dari $ x = \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} $
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = 2x^2 + 1 \\ x = -2 \rightarrow (f \circ g)(-2) & = 2(-2)^2 + 1 = 9 \, ( - 2, 9) \\ x = -1 \rightarrow (f \circ g)(-1) & = 2(-1)^2 + 1 = 3 \, ( - 1, 3) \\ x = 0 \rightarrow (f \circ g)(0) & = 2(0)^2 + 1 = 1 \, ( 0, 1) \\ x = 1 \rightarrow (f \circ g)(1) & = 2(1)^2 + 1 = 3 \, ( 1, 3) \\ x = 2 \rightarrow (f \circ g)(2) & = 2(2)^2 + 1 = 9 \, ( 2, 9) \\ x = 3 \rightarrow (f \circ g)(3) & = 2(3)^2 + 1 = 19 \, ( 3, 19) \end{align} $
Sehingga yang benar adalah opsion D.
Jadi, jawabannya D. $ \heartsuit $

7). Soal SBMPTN 2016 MatDas 349
Jika tabel berikut menyatakan hasil fungsi $ f $ dan $ g $,
$ \begin{array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & 1 & 3 & 1 & -1 \\ \hline g(x) & 2 & 0 & 1 & 2 \end{array} $
maka $ (f \circ g \circ f)(1) + (g \circ f \circ g)(2) = .... $
A). $ -1 \, $
B). $ 1 \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 5 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Maksud dari tabel yang diberikan di atas yaitu :
$ f(0) = 1 , f(1) = 3, f(2) = 1 , f(3) = -1 $ dan
$ g(0) = 2 , g(1) = 0, g(2) = 1 , g(3) = 2 $
*). Menyelesaikan soal berdasarkan tabel yang diberikan di atas :
$\begin{align} & (f \circ g \circ f)(1) + (g \circ f \circ g)(2) \\ & = (f \circ g )(f(1)) + (g \circ f )(g(2) ) \\ & = (f \circ g )(3) + (g \circ f )(1) \\ & = f( g (3) ) + g(f(1)) \\ & = f(2) + g(3) \\ & = 1 + 2 \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

8). Soal SNMPTN 2008 MatIPA 302
Jika $f(2x+4)=x $ dan $g(3-x)=x $ , maka nilai $f(g(1)) + g(f(2)) $ sama dengan ....
A). 2
B). 3
C). 4
D). 5
E). 6

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $f(p)$ dan $g(p)$
* Misal $ p = 2x+4 \rightarrow x = \frac{p-4}{2} $
$\begin{align*} f(2x+4) & =x \\ f(p) & =\frac{p-4}{2} \\ f(2) & =\frac{2-4}{2} = -1 \end{align*}$
* Misal $ p = 3-x \rightarrow x = 3-p $
$\begin{align*} g(3-x) & =x \\ g(p) & =3-p \\ g(1) & = 3-1 = 2 \\ g(-1) & = 3-(-1) = 4 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$f(g(1)) + g(f(2)) = f(2) + g(-1) = -1 + 4 = 3$
Jadi, nilai $f(g(1)) + g(f(2)) = 3. \heartsuit$

Cara II
$\spadesuit \, $ Langsung menentukan nilai fungsinya
* $f(2x+4) =x $
$x=-1 \rightarrow f(2.(-1)+4) =-1 \rightarrow f(2) = -1 $
* $g(3-x) =x $
$x=2 \rightarrow g(3-2) =2 \rightarrow g(1) = 2 $
$x=4 \rightarrow g(3-4) =4 \rightarrow g(-1) = 4 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$f(g(1)) + g(f(2)) = f(2) + g(-1) = -1 + 4 = 3$
Jadi, nilai $f(g(1)) + g(f(2)) = 3. \heartsuit$

9. Soal SPMK UB 2013 MatIPA
Jika diketahui $f(x-1)=2x $ dan $g(x)=x^2-2 $ , maka $(fog)(x+1) = ... $
A). $ 2x^2 + 4x $
B). $ 2x^2 - 4x $
C). $ x^2 + 4x $
D). $ x^2 - 4x $
E). $ x^2 + 3x $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \,$ Menentukan fungsi $f(x)$
misal : $x-1 = p \rightarrow x= p + 1 $ , lalu substitusi ke $f(x-1)$
$\begin{align} f(x-1) & = 2x \\ f(p) & = 2(p+1) \\ f(x) & = 2(x+1) \\ f(x) & = 2x + 2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan komposisi
$\begin{align*} (fog)(x) & = f (g(x)) \\ & = f ( x^2-2 ) \\ & = 2( x^2-2 ) + 2 \\ (fog)(x) & = 2x^2 - 2 \end{align*}$
$\clubsuit \,$ Substitusi $x+1 $ ke komposisi
$\begin{align*} (fog)(x) & = 2x^2 - 2 \\ (fog)(x+1) & = 2(x+1)^2 - 2 \\ & = 2(x^2+2x+1) - 2 \\ & = 2x^2 + 4x + 2 - 2 \\ (fog)(x+1) & = 2x^2 + 4x \end{align*}$
Jadi, diperoleh $ (fog)(x+1) = 2x^2 + 4x . \heartsuit $

10). Soal SBMPTN 2014 MatDas 663
Jika $ g(x) = 2x+4 \, $ dan $ (g\circ f)(x) = 2x^2 + 4x + 6 , \, $ maka $ (f\circ g)(1) \, $ adalah ....
A). 38
B). 39
C). 46
D). 48
E). 49

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Menentukan $ f(x) \, $ dari komposisinya
$\begin{align} (g\circ f)(x) & = 2x^2 + 4x + 6 \\ g \left( f(x) \right) & = 2x^2 + 4x + 6 \\ 2. \left( f(x) \right) + 4 & = 2x^2 + 4x + 6 \\ 2. \left( f(x) \right) & = 2x^2 + 4x + 2 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f(x) & = x^2 + 2x + 1 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ (f\circ g)(1) $
$\begin{align} (f\circ g)(1) & = f (g(1)) \\ & = f ( 2.1 + 4 ) \\ & = f(6) \\ & = 6^2 + 2.6 + 1 \\ & = 36 + 12 + 1 \\ & = 49 \end{align}$
Jadi, nilai $ (f\circ g)(1) = 49 . \heartsuit $

11). Soal UTBK 2019 Soshum
Diketahui $ f(x) = ax + 5 $ dengan $ a \neq 0 $ dan $ (g \circ f)(x) = x + \frac{5}{a} $ . Nilai $ g(2a) = .... $
A). $ 1 \, $
B). $ 2 \, $
C). $ 3 \, $
D). $ 4 \, $
E). $ 5 $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan fungsi $ g(x) $ :
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = x + \frac{5}{a} \\ g(f(x)) & = x + \frac{5}{a} \\ g(ax+5) & = x + \frac{5}{a} \\ ax + 5 & = p \, \, \, \, \text{( Permisalan)} \\ x & = \frac{p-5}{a} \\ g(ax+5) & = x + \frac{5}{a} \\ g(p) & = \frac{p-5}{a} + \frac{5}{a} \\ & = \frac{p-5 + 5}{a} \\ & = \frac{p}{a} \\ g(x) & = \frac{x}{a} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ g(2a) $ :
$ g(x) = \frac{x}{a} $
$ g(2a) = \frac{2a}{a} = 2 $
Jadi, nilai $ g(2a) = 2 . \heartsuit $

12). Soal SBMPTN 2015 MatDas 617
Diketahui suatu fungsi $ f \, $ bersifat $ f(-x) = -f(x) \, $ untuk setiap bilangan real $ x . \, $ Jika $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1, \, $ maka $ f(f(-3)) = .... $
A). 5
B). $ - 5 $
C). $ -1 $
D). 1
E). 2

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Diketahui $ f(-x) = -f(x) \, $ ....pers(i)
berlaku juga : $ f(x) = - f(-x) \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui nilai : $ f(3) = -5 \, $ dan $ f(-5) = 1 $
$ f(-3) = -f(3) = -(-5) = 5 \, $ ....dari pers(i)
$ f(5) = -f(-5) = - (1) = -1 \, $ ....dari pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(f(-3)) & = f(5) \, \, \, \, \text{....[ dengan } f(-3) = 5 ] \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(f(-3)) = -1 . \heartsuit$

13). Soal SBMPTN 2017 MatDas 207
Diketahui $ f(x) = ax + 2 $ dan $ g(x) = 2x + d $ , dengan $ a \neq 0 $. Jika $ (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) $ untuk suatu $ x $ , maka nilai $ d(a - 1) $ adalah ....
A). $ -2 \, $
B). $ -1 \, $
C). $ 0 \, $
D). $ 1 \, $
E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menyelesaikan soal :
Selisih = besar $ - $ kecil.
$\begin{align} (f \circ g)(x) & = (g \circ f)(x) \\ f(g(x)) & = g (f(x)) \\ f(2x + d) & = g (ax + 2) \\ a(2x + d) + 2 & = 2(ax+2) + d \\ 2ax + ad + 2 & = 2ax + 4 + d \\ ad - d & = 4 - 2 \\ d(a-1) & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ d(a-1) = 2 . \, \heartsuit $

(C). Invers Fungsi

       Jika fungsi $f$ memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan $f = \{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$, maka invers fungsi $f$ (dilambangkan $f^{-1}$) adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan $f^{-1} = \{(y, x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$.

Dapat ditulis: jika $ y = f(x) , \, $ maka inversnya $ x = f^{-1}(y) $

       Untuk lebih medetail tentang invers fungsi dan sifatnya, silahkan kunjungi link berikut:
Fungsi invers

14). Soal SBMPTN 2014 MatDas 611
Jika $f^{-1}(x-1)=\frac{4-3x}{x-2}$ , maka nilai $f(-5) \, $ adalah ...
A). $ -\frac{8}{3} $
B). $ - 2 $
C). 0
D). 2
E). 4

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Definisi invers : $y=f(x) \Leftrightarrow f^{-1}(y)=x$
$f^{-1}(x-1)=\frac{4-3x}{x-2} \Leftrightarrow x-1=f\left( \frac{4-3x}{x-2} \right) $ atau $f\left( \frac{4-3x}{x-2} \right)= x-1 $
$\begin{align} f\left( \frac{4-3x}{x-2} \right) &= x-1 \, \, \text{...pers(i)} \\ f(-5)&= ... \end{align}$
Artinya $\frac{4-3x}{x-2} = -5 \Rightarrow x=3$
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=3$ ke pers(i) :
$\begin{align} f\left( \frac{4-3x}{x-2} \right) &= x-1 \\ f\left( \frac{4-3.3}{3-2} \right) &= 3-1 \\ f(-5)&=2 \end{align}$
Jadi, $f(-5)=2. \heartsuit $

15). Soal SBMPTN 2013 MatDas 326 Jika $f\left( \frac{1}{x+1} \right) = \frac{x+3}{x+1} $ , maka nilai $a-3$ agar $f^{-1}(a+1)=2$ adalah ...
A). $ - \frac{3}{2} $
B). $ -\frac{1}{2} $
C). 0
D). 1
E). 2

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Definisi invers : $A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers soal dari definisi di atas:
$\frac{x+3}{x+1} = f\left( \frac{1}{x+1} \right) \Leftrightarrow f^{-1}\left( \frac{x+3}{x+1} \right) = \frac{1}{x+1} $
$\spadesuit \, $ Samakan bentuk invers dan soal yang diketahui :
$\begin{align*} f^{-1}\left( \frac{x+3}{x+1} \right) & = \frac{1}{x+1} \\ f^{-1}(a+1) & = 2 \end{align*} $
ini artinya ruas kiri harus sama, begitu juga ruas kanan. diperoleh :
$\frac{1}{x+1} = 2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$
$ a + 1 = \frac{x+3}{x+1} \Rightarrow a + 1 = \frac{-\frac{1}{2}+3}{-\frac{1}{2}+1} \Rightarrow a = 4 $
sehingga nilai $a - 3 = 4 - 3 = 1$
Jadi, nilai $ a - 3 = 1 . \heartsuit $

16). Soal SBMPTN 2018 MatDas 526
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers. Jika $ f(g(x)) = 2x-1 $ dan $ g(x+1) = x - 3 $ , maka nilai $ f^{-1}(3). g^{-1}(3) $ adalah ...
A). $ 14 \, $
B). $ 9 \, $
C). $ 0 \, $
D). $ -9 \, $
E). $ -14 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
*). Fungsi $ g(x+1) = x - 3 $ :
-). Mengubah menjadi $ g(x) $
Misalkan $ x + 1 = p \rightarrow x = p - 1 $
$\begin{align} g(x+1) & = x - 3 \\ g(p) & = (p-1) - 3 \\ g(p) & = p - 4 \\ g(x) & = x - 4 \end{align} $
-). Menentukan invers dari $ g(x) = x - 4 $ :
$\begin{align} g(x) & = x - 4 \\ y & = x - 4 \\ x & = y + 4 \\ g^{-1}(x) & = x + 4 \end{align} $
Nilai $ g^{-1}(3) = 3 + 4 = 7 $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ :
Misalkan $ x - 4 = q \rightarrow x = q + 4 $
$\begin{align} f(g(x)) & = 2x-1 \\ f(x - 4) & = 2x-1 \\ f(q) & = 2(q + 4)-1 \\ f(q) & = 2q + 7 \\ f(x) & = 2x + 7 \end{align} $
-). Menentukan invers dari $ f(x) = 2x + 7 $ :
$\begin{align} f(x) & = 2x + 7 \\ y & = 2x + 7 \\ x & = \frac{y-7}{2} \\ f^{-1}(x) & = \frac{x-7}{2} \end{align} $
Nilai $ f^{-1}(3) = \frac{3-7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) $ :
$\begin{align} f^{-1}(3).g^{-1}(3) & = (-2) \times 7 = -14 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) = -14 . \, \heartsuit $

Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 - 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $

*). Fungsi $ g(x+1) = x - 3 $ :
$\begin{align} g(x+1) & = x - 3 \\ g^{-1}(x-3) & = x + 1 \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ g^{-1}(3) $ , maka $ x - 3 = 3 \rightarrow x = 6 $ :
$\begin{align} x = 6 \rightarrow g^{-1}(x-3) & = x + 1 \\ g^{-1}(6-3) & = 6 + 1 \\ g^{-1}(3) & = 7 \end{align} $
*). Fungsi $ f(g(x)) = 2x-1 $ :
$\begin{align} f(g(x)) & = 2x-1 \\ f^{-1}(2x - 1) & = g(x) \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(3) $ , maka $ 2x-1 = 3 \rightarrow x = 2 $ :
-). Dari bentuk $ g(x+1) = x - 3 $, agar memperoleh nilai $ g(2) $ , maka $ x + 1 = 2 \rightarrow x = 1 $
$ g(x+1) = x - 3 \rightarrow g(1+1) = 1 - 3 \rightarrow g(2) = -2 $
$\begin{align} x = 2 \rightarrow f^{-1}(2x - 1) & = g(x) \\ f^{-1}(2.2 - 1) & = g(2) \\ f^{-1}( 3) & = -2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) $ :
$\begin{align} f^{-1}(3).g^{-1}(3) & = (-2) \times 7 = -14 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(3).g^{-1}(3) = -14 . \, \heartsuit $

17). Soal UMPTN 2001 MatDas
Jika $ \, (f \circ g ) (x) = 4x^2 + 8x - 3 \, $ dan $ \, g(x) = 2x + 4 \, $ . Maka $ \, f^{-1} (x) = .... $
A). $ x + 9 $
B). $ 2 + \sqrt{x} $
C). $ x^2 - 4x - 3 $
D). $ 2 + \sqrt{x+1} $
E). $ 2 + \sqrt{x+7} $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} (f \circ g ) (x) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ f(g(x)) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ f(2x + 4) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ \text{misal} \, & p = 2x + 4 \rightarrow x = \frac{p-4}{2} \\ f(2x + 4) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ f(p) & = 4. \left( \frac{p-4}{2} \right)^2 + 8. \left( \frac{p-4}{2} \right) - 3 \\ f(p) & = 4. \left( \frac{p^2-8p+16}{4} \right) + 4p-16 - 3 \\ f(p) & = p^2-4p-3 \\ f(x) & = x^2 - 4x -3 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers $ f(x) $ dengan kuadrat sempurna
konsep invers : $ y=f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 4x -3 \\ y & = x^2 - 4x -3 \\ x^2 - 4x -3 & = y \\ (x-2)^2 - 7 & = y \\ (x-2)^2 & = y+7 \\ x-2 & = \pm \sqrt{y+7} \\ x & = 2 \pm \sqrt{y+7} \end{align}$
sehingga : $ f^{-1} (x) = 2 \pm \sqrt{x+7} $
Jadi, inversnya adalah $ 2 + \sqrt{x+7} \, $ atau $ \, 2 - \sqrt{x+7} . \heartsuit $

18). Soal SBMPTN 2016 MatDas 345
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(x) = g(4 - 2x) $, maka $ f^{-1}(x) = .... $
A). $ g^{-1}(4-2x) \, $
B). $ g^{-1}\left( 2 - \frac{x}{2} \right) \, $
C). $ 4 - 2g^{-1}(x) \, $
D). $ 2 - \frac{ g^{-1}(x) }{2} \, $
E). $ 4 - \frac{ g^{-1}(x) }{2} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
*). Menyelesaikan soal :
Pada soal diketahui : $ f(x) = g(4 - 2x) $
Kita Misalkan $ B = g(4 - 2x) \, $
Sehingga :
$ \begin{align} f(x) & = g(4-2x) \\ f(x) & = B \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi invers)} \\ x & = f^{-1}(B) \, \, \, \, \, \, \, \text{(ganti bentuk B)} \\ x & = f^{-1}(g(4 - 2x)) \, \, \, \, \, \, \, \text{atau} \\ f^{-1}(g(4 - 2x)) & = x \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Misalkan : $ p = g(4 - 2x) $
Dengan definisi invers :
$ g(4 - 2x) = p \rightarrow 4 - 2x = g^{-1}(p) $
$ \rightarrow 2x = 4 - g^{-1}(p) \rightarrow x = 2 - \frac{g^{-1}(p)}{2} $
*). Sehingga pers(i) menjadi :
$ \begin{align} f^{-1}(g(4 - 2x)) & = x \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ f^{-1}(p) & = 2 - \frac{g^{-1}(p)}{2} \end{align} $
Bentuk $ f^{-1}(p) = 2 - \frac{g^{-1}(p)}{2} \, $ sama saja dengan $ f^{-1}(x) = 2 - \frac{g^{-1}(x)}{2} $.
Jadi, kita peroleh $ f^{-1}(x) = 2 - \frac{g^{-1}(x)}{2} . \, \heartsuit $

Cara II:
*). Pada soal diketahui : $ f(x) = g(4 - 2x) $
Kita Misalkan $ f(x) = g(4 - 2x) = p $
Sehingga :
$ f(x) = p \rightarrow x = f^{-1} (p) \, $ atau $ f^{-1} (p) = x \, $ ....(i)
$ g(4 - 2x) = p \rightarrow 4 - 2x = g^{-1} (p) \rightarrow 2x = 4 - g^{-1} (p) $
$ \rightarrow x = \frac{4 - g^{-1}(p)}{2} \rightarrow x = 2 - \frac{g^{-1}(x)}{2} \, $ ....(ii)
*). Substitusi (ii) ke (i) :
$ \begin{align} f^{-1} (p) & = x \\ f^{-1} (p) & = 2 - \frac{g^{-1}(x)}{2} \end{align} $
Bentuk $ f^{-1}(p) = 2 - \frac{g^{-1}(p)}{2} \, $ sama saja dengan $ f^{-1}(x) = 2 - \frac{g^{-1}(x)}{2} $.
Jadi, kita peroleh $ f^{-1}(x) = 2 - \frac{g^{-1}(x)}{2} . \, \heartsuit $

(D). Gabungan invers dan komposisi

       Dari gambar diagram di atas $f : A \rightarrow B, \, g : B \rightarrow C$ , dengan $f$ dan $g$ berkorespondensi satu-satu sedermikian sehingga $h = g \circ f$, maka $h^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$. Dalam hal ini $(g \circ f)^{-1} = h^{-1} $ disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifat- sifat berikut ini.

1). $ (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \, $
2). $ (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) $
3). $ (f \circ f^{-1} )(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x \, $ (Sifat identitas)
4). $ (f \circ g \circ h )^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1} )(x) $

       Untuk lebih medetail tentang invers fungsi dan sifatnya, silahkan kunjungi link berikut:
Fungsi invers

19). Soal SNMPTN 2011 MatDas 179
Jika $f(x)=x+2$ dan $g(x)=\frac{x}{x+5}$ , maka nilai $(g^{-1}of)(4)$ adalah ...
A). $ - 8 $
B). $ - 6 $
C). $ -2 $
D). 4
E). 6

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Rumus invers : $g(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow g^{-1}(x) = \frac{dx-b}{-cx+a}$
Sehingga , $g(x) = \frac{x}{x+5} \Rightarrow g^{-1}(x) = \frac{5x}{-x+1}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $(g^{-1}of)(4)$
$\begin{align*} (g^{-1}of)(x) & = g^{-1}(f(x)) \\ & = g^{-1}(x+2) \\ (g^{-1}of)(x) & = \frac{5(x+2)}{-(x+2)+1} \\ \\ (g^{-1}of)(4) & = \frac{5(4+2)}{-(4+2)+1} = \frac{5.6}{-6+1} = \frac{30}{-5} = -6 \end{align*}$
Jadi, nilai $(g^{-1}of)(4) = -6. \heartsuit $

20). Soal SBMPTN 2014 MatDas 631
Jika $ f(x) = \frac{ax+1}{3x-1}, \, g(x) = x-2, \, $ dan $ (g^{-1} \circ f^{-1})(2) = \frac{7}{2}, \, $ maka $ a = .... $
A). $ - 4 $
B). $ - 2 $
C). 0
D). 2
E). 4

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Konsep invers pada komposisi fungsi
sifat : $(f\circ g)^{-1} (x) = (g^{-1} \circ f^{-1} ) (x) $
Definisi : $ f^{-1} (x) = y \leftrightarrow x = f(y) $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$ g(x) = x-2 \rightarrow g(\frac{7}{2} ) = \frac{7}{2} - 2 \rightarrow g(\frac{7}{2} ) = \frac{3}{2} $
$\begin{align} (g^{-1} \circ f^{-1})(2) & = \frac{7}{2} \, \, \, \text{(dari sifat)} \\ (f\circ g)^{-1} (2) & = \frac{7}{2} \, \, \, \text{(dari definisi)} \\ 2 & = (f\circ g) \left( \frac{7}{2} \right) \\ 2 & = f\left( g \left( \frac{7}{2} \right) \right) \\ 2 & = f\left( \frac{3}{2} \right) \\ 2 & = \frac{a.\frac{3}{2} +1}{3.\frac{3}{2} -1} \\ 2 & = \frac{a.\frac{3}{2} +1}{3.\frac{3}{2} -1} . \frac{2}{2} \\ 2 & = \frac{3a +2}{9-2} \\ 2 & = \frac{3a +2}{7} \\ 3a + 2 & = 14 \\ 3a & = 12 \\ a & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 4. \heartsuit $

21). Soal Simak UI 2018 MatDas 641
Jika $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $ , maka nilai $ ( g \circ h)(3) $ adalah ....
A). $ 6 \, $
B). $ 5 \, $
C). $ 4 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 2 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
*). Diketahui $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $
*). Menentukan hasil $ ( g \circ h)(3) $
$\begin{align} ( g \circ h)(3) & = g ( h(3)) \\ & = g \left( \frac{4.3-3}{-3+a} \right) \\ & = g \left( \frac{9}{a - 3} \right) \\ & = \frac{-a.\frac{9}{a - 3}-3}{-\frac{9}{a - 3}-4} \\ & = \frac{-a.\frac{9}{a - 3}-3}{-\frac{9}{a - 3}-4} \times \frac{(a-3)}{(a-3)} \\ & = \frac{-9a - 3(a-3)}{-9 - 4(a-3)} \\ & = \frac{-9a -3a + 9}{-9 - 4a + 12} \\ & = \frac{-12a + 9}{ - 4a + 3} \\ & = \frac{3(-4a + 3)}{ (- 4a + 3)} \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ ( g \circ h)(3) = 3 . \, \heartsuit $

Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers FUngsi $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} $ yaitu $ f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a} $
*). Sifat invers fungsi dan komposisi :
$ (f \circ f^{-1} )(x) = ( f^{-1} \circ f)(x) = x $
Misalkan $ (f \circ f^{-1} )(4) = ( f^{-1} \circ f)(4) = 4 $
(sifat saling invers dua fungsi).

*). Diketahui $ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} $ dan $ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} $
$ g(x) = \frac{-ax-3}{-x-4} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{-(-4)x - 3}{-x - (-a)} = \frac{4x - 3}{-x+a} $
$ h(x) = \frac{4x-3}{-x+a} \rightarrow h^{-1} (x) = \frac{-ax - 3}{-x - 4} $
-). Dari penjabaran di atas, kita peroleh bahwa invers dari $ g(x) $ adalah $ h(x) $ dan berlaku sebaliknya. Ini kita sebut $ g(x) $ dan $ h(x) $ saling invers dan berlaku sifat invers komposisi yaitu $ (g \circ h)(x) = (h \circ g)(x) = x $
-). Hasil akhir :
$ ( g \circ h)(3) = 3 $ begitu juga $ (h \circ g)(3) = 3 $.
Jadi, nilai $ ( g \circ h)(3) = 3 . \, \heartsuit $

22). Soal UM UNDIP 2012 MatIPA 121
Misalkan $ f^{-1}, \, g^{-1}, \, $ dan $ h^{-1} \, $ berturut-turut menyatakan invers fungsi $ f $ , $ g $ , dan $ h $. Jika $ \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(x) = 2x - 4 $ dan $ (h \circ g)(x) = \frac{x-3}{2x+1} $ untuk $ x \neq -\frac{1}{2} $ , maka nilai $ f(-4) - f(4) = ... $
A). $ -2 $
B). 0
C). 2
D). 4
E). 6

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
*). Konsep Dasar:
-). $ \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(x) = (h \circ g \circ f )^{-1}(x) $
-). $ [f^{-1}(x)]^{-1} = f(x) $
(Jika ada invers, untuk menghilangkan invers maka cukup kita inverskan fungsi tersebut).
-). Pengerjaan fungsi komposisi dari fungsi paling kanan ke sebelah kirinya secara berurutan.
-). Menentukan invers:
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $

*). Mengubah yang diketahui dengan sifat invers komposisi fungsi:
$ \begin{align} \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(x) & = 2x - 4 \\ (h \circ g \circ f )^{-1}(x) & = 2x - 4 \\ (h \circ g \circ f )^{-1}(x) & = 2x - 4 \end{align} $
*). Untuk menentukan $ (h \circ g \circ f )(x) $ , maka bentuk $ (h \circ g \circ f )^{-1}(x) = 2x - 4 $
harus kita inverskan dulu.
Misalkan $ (h \circ g \circ f )^{-1}(x) = y $
$ \begin{align} (h \circ g \circ f )^{-1}(x) & = 2x - 4 \\ y & = 2x - 4 \\ x & = \frac{y + 4}{2} \\ \end{align} $
sehingga invers dari $ (h \circ g \circ f )^{-1}(x) $ adalah $ (h \circ g \circ f )(x) $
yaitu $ (h \circ g \circ f )(x) = \frac{x + 4}{2} $
*). Menentukan fungsi $ f(x) $:
Misalkan $ f(x) = p $ dan diketahui $ (h \circ g)(x) = \frac{x-3}{2x+1} $
$ \begin{align} (h \circ g \circ f )(x) & = \frac{x + 4}{2} \\ (h \circ g)(f(x)) & = \frac{x + 4}{2} \\ (h \circ g)(p) & = \frac{x + 4}{2} \\ \frac{p-3}{2p+1} & = \frac{x + 4}{2} \\ (2p + 1)(x + 4) & = 2(p-3) \\ 2xp + 8p + x + 4 & = 2p - 6 \\ 2xp + 8p - 2p & = -x - 6 - 4 \\ 2xp + 6p & = -x - 10 \\ p(2x+6) & = -x - 10 \\ p & = \frac{-x-10}{2x + 6} \\ f(x) & = \frac{-x-10}{2x + 6} \end{align} $
Sehingga $ f(x) = \frac{-x-10}{2x + 6} $
*). Menentukan nilai $ f(-4) - f(4) $
$ \begin{align} f(-4) - f(4) & = \frac{-(-4)-10}{2(-4) + 6} - \frac{-4-10}{2(4) + 6} \\ & = \frac{4-10}{-8 + 6} - \frac{-14}{8 + 6} \\ & = \frac{-6}{-2} - \frac{-14}{14} \\ & = 3 - (-1) \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(-4) - f(4) = 4. \heartsuit $

Cara II:
*). Konsep dasar:
-). $ (f^{-1} \circ f)(A) = A $
-). $f(x) = \frac{ax+b}{cx + d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx + b}{cx - a} $

*). Diketahui:
$ \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(x) = 2x - 4 $ dan $ (h \circ g)(x) = \frac{x-3}{2x+1} $
*). Menentukan fungsi $ f^{-1} (x) $ dengan cara komposisikan $ (h \circ g)(x) $ ke invers komposisinya:
Misalkan $ p = ( h \circ g)(x) $ sehingga $ p = \frac{x-3}{2x+1} $
$ \begin{align} \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(x) & = 2x - 4 \\ \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right)(p) & = 2p - 4 \\ \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \right) \left( ( h \circ g)(x) \right) & = 2 \left( \frac{x-3}{2x+1} \right) - 4 \\ \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1} \circ h \circ g \right) (x) & = \frac{2x-6}{2x+1} - 4 \\ \left( f^{-1} \circ g^{-1} \circ g \right) (x) & = \frac{2x-6}{2x+1} - \frac{4(2x+1)}{2x+1} \\ f^{-1} (x) & = \frac{2x-6}{2x+1} - \frac{8x+4 }{2x+1} \\ f^{-1} (x) & = \frac{-6x-10}{2x+1} \\ \text{(inverskan untuk menentukan } & f(x) \\ f(x) & = \frac{-x-10}{2x+6} \end{align} $
Sehingga $ f(x) = \frac{-x-10}{2x + 6} $
*). Menentukan nilai $ f(-4) - f(4) $
$ \begin{align} f(-4) - f(4) & = \frac{-(-4)-10}{2(-4) + 6} - \frac{-4-10}{2(4) + 6} \\ & = \frac{4-10}{-8 + 6} - \frac{-14}{8 + 6} \\ & = \frac{-6}{-2} - \frac{-14}{14} \\ & = 3 - (-1) \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(-4) - f(4) = 4. \heartsuit $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi soal-soal Fungsi Komposisi dan Invers seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut :
Kumpulan soal Fungsi Komposisi dan Invers seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Fungsi Komposisi dan Invers - umptn dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika. Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.