Ringkasan Logaritma - umptn

         Blog KoMa - Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Logaritma - umptn beserta soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Logaritma ini. Untuk soal-soal Logaritma kita bagi menjadi dua bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Logaritma - umptn ini bisa teman-teman kuasai dengan baik.

Definisi Logaritma

Adapun bentuk umum Logaritma dan Definisinya :
$ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
               atau
$ {}^a \log b = c \Leftrightarrow a^c = b $
dengan $ a , \, b, \, c $ bilangan real ($ R $) dan $ a > 0, \, a \neq 1, \, b > 0 $

Keterangan :
$ a \, $ disebut bilangan pokok atau basis
$ b \, $ disebut numerus
$ c \, $ disebut hasil logaritma

       Untuk contoh mendetail tentang definisi logaritma, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut ya:
Definisi Logaritma

Contoh soal umptn:

1). Soal UM UGM 2014 MatDas 522
Jika $f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ , $x\geq 0$ maka $f(5)=...$
A). 1
B). 2
C). 3
D). 4
E). 5

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
Untuk menyelesaikan soal ini, tanpa menentukan $f(x)$ terlebih dahulu.
$f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ , $x\geq 0$ ....persmaan (i)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x$ dari $f(5)$ :
$f(5)=f(x^2+3x+1)$ , sehingga $x^2+3x+1=5 \Leftrightarrow x^2+3x-4=0$
$\begin{align} x^2+3x-4&=0 \\ (x-1)(x+4)&=0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=-4 \end{align}$
Karena $x\geq 0$ , maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ .
$\spadesuit \, $ Substitusi $x=1$ ke pers (i) :
$\begin{align} f(x^2+3x+1)&={}^{2}log(2x^3-x^2+7) \\ f(1^2+3.1+1)&={}^{2}log(2.1^3-1^2+7) \\ f(5) &= {}^{2}log(8) \\ f(5) &= 3. \end{align}$
Jadi, $f(5)=3 \heartsuit $

2). Soal SNMPTN 2011 MatDas 179
Jika $6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a)=3^{43}$ , maka nilai $a$ adalah ...
A). $ \frac{1}{8} $
B). $ \frac{1}{4} $
C). 4
D). 8
E). 16

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \, $ dan $\, a^m . a^n = a^{m+n} $
Definisi logaritma : $^b \log a = c \Leftrightarrow a = b^c $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan :
$\begin{align} 6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \\ 2.3.(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \, \, (\text{dibagi } \, 3^{41} \, ) \\ \frac{2.(3^{41})(^2 \log a)}{3^{41}}+ \frac{ 3^{41}(^2 \log a) }{3^{41}} & = \frac{3^{43}}{3^{41}} \\ 2.(^2 \log a) + (^2 \log a) & = 3^2 \\ 3.(^2 \log a) & = 9 \\ (^2 \log a) & = 3 \\ a & = 2^3 \\ a & = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $a=8 . \, \heartsuit $

Sifat-sifat Logaritma

       Untuk $ a > 0 , \, a\neq 1, \, b > 0 , \, c > 0 , \, $ berlaku sifat-sifat logaritma berikut :
i). $ {}^a \log 1 = 0 $
ii). $ {}^a \log a = 1 $
iii). $ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
iv). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
v). $ a^{{}^a \log b } = b $
vi). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b \, $ akibatnya :
      1). $ {{}^a}^m \log b = \frac{1}{m} . {}^a \log b $
      2). $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
      3). $ {{}^a}^m \log b^n = {}^a \log b^\frac{n}{m} $
      4). $ {{}^a}^m \log b^n = {{}^a}^\frac{m}{n} \log b $
vii). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} , \, $ dengan syarat $ p > 0, \, p \neq 1 \, $ , akibatnya :
      1). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
      2). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $

       Untuk contoh mendetail tentang sifat-sifat logaritma, silahkan kunjungi link berikut:
Sifat-sifat Logaritma

Contoh soal umptn:

3). Soal SNMPTN 2012 MatDas 122
Jika ${}^{2}\log 3 = x$ dan ${}^{3}\log 7 = y$ , maka nilai ${}^{3}\log 14 $ adalah ...
A). $ \frac{xy}{x+y} $
B). $ \frac{xy+y}{x} $
C). $ \frac{xy}{y+1} $
D). $ \frac{xy+1}{x} $
E). $ \frac{xy+1}{y} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $Sifat dasar logaritma :
$^a \log (b.c ) = ^a \log b + ^a \log c \, $ dan $\, ^a\log b = \frac{1}{^b \log a}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk ${}^{3}\log 14 $
$\begin{align} {}^{3}\log 14 & = {}^{3}\log (2.7) \\ & = {}^{3}\log 2 + {}^{3}\log 7 \\ &= \frac{1}{^2 \log 3} + {}^{3}\log 7 \\ &= \frac{1}{x} + y \\ & = \frac{1+xy}{x} = \frac{xy+1}{x} \end{align}$
Jadi, nilai ${}^{3}\log 14 = \frac{xy+1}{x} . \heartsuit $

4). Soal SPMB 2004 MatDas
$\frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 - \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} = .... $
A). $ \frac{1}{2} $
B). 1
C). 2
D). 4
E). 5

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$p^2-q^2 = (p-q)(p+q) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk log
$\begin{align} & \frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 - \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log 10 - {}^5 \log 2 \right).\left( {}^5 \log 10 + {}^5 \log 2 \right)}{{}^5 \log 20^\frac{1}{2}} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log \frac{10}{2} \right).\left( {}^5 \log 10.2 \right)}{\frac{1}{2}.{}^5 \log 20} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log 5 \right).\left( {}^5 \log 20 \right)}{\frac{1}{2}.{}^5 \log 20} \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{align}$
Jadi, nilainya adalah 2. $ \heartsuit $

5). Soal UTBK 2019 Soshum
Jika $ \frac{{}^2 \log a }{{}^3 \log b} = m \, $ dan $ \frac{{}^3 \log a }{{}^2 \log b} = n, \, $ dengan $ a > 1 \, $ dan $ b > 1, \, $ maka $ \frac{m}{n} = ..... $
A). $ {}^2 \log 3 $
B). $ {}^3 \log 2 $
C). $ {}^4 \log 9 $
D). $ {}^3 \log ^2 2 $
E). $ {}^2 \log ^2 3 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Sifat logaritma
(i) ${}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
(ii) ${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} m & = \frac{{}^2 \log a }{{}^3 \log b} \\ n & = \frac{{}^3 \log a }{{}^2 \log b} \rightarrow \frac{1}{n} = \frac{{}^2 \log b }{{}^3 \log a} \, \, \text{(dibalik)} \\ \frac{m}{n} & = m . \frac{1}{n} = \frac{{}^2 \log a }{{}^3 \log b} . \frac{{}^2 \log b }{{}^3 \log a} \, \, \text{(gunakan sifat (ii))} \\ & = {}^2 \log a . {}^b \log 3 . {}^2 \log b. {}^a \log 3 \, \, \text{(dikelompokkan)}\\ & = {}^2 \log a . {}^a \log 3 . {}^2 \log b . {}^b \log 3 \, \, \text{(gunakan sifat (i))} \\ & = {}^2 \log 3. {}^2 \log 3 \\ & = \left( {}^2 \log 3 \right)^2 \\ & = {}^2 \log ^2 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{m}{n} = {}^2 \log ^2 3 . \heartsuit$ $ \heartsuit $

6). Soal Simak UI 2014 MatDas 511
Jika ${}^{ab} \log a =4$, maka ${}^{ab} \log \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} = ...$
A). $ - 3 $
B). $ -\frac{3}{4} $
C). $ -\frac{1}{6} $
D). $ \frac{29}{42} $
E). $ \frac{17}{6} $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^a \log b $
${}^{ab} \log a =4 \rightarrow {}^a \log ab = \frac{1}{4} $
$ \rightarrow {}^a \log a + {}^a \log b = \frac{1}{4} \rightarrow {}^a \log b = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} $
sehingga : $ {}^b \log a = - \frac{4}{3} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^{ab} \log b $
$ {}^{ab} \log b = \frac{1}{ {}^b \log ab} =\frac{1}{ {}^b \log a + {}^b \log b} = \frac{1}{ - \frac{4}{3} + 1 } = -3 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^{ab} \log \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} & = {}^{ab} \log \sqrt[3]{a} - {}^{ab} \log \sqrt{b} \\ & = \frac{1}{3}. {}^{ab} \log a - \frac{1}{2}. {}^{ab} \log b \\ & = \frac{1}{3}. 4 - \frac{1}{2}. (-3) \\ & = \frac{17}{6} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^{ab} \log \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} = \frac{17}{6} . \heartsuit $

7). Soal SBMPTN 2013 MatDas 228
Jika $ \frac{{}^{3}\log x }{{}^{3}\log w } = 2 $ dan ${}^{xy}\log w = \frac{2}{5} $ , maka nilai $\frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } \, $ adalah ...
A). 8
B). 6
C). 4
D). 2
E). 1

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
Definisi : ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
Sifat-sifat logaritma :
1). $ \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } = {}^ a \log b $
2). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{{}^{3}\log x }{{}^{3}\log w } & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^w \log x & = 2 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ {}^{xy}\log w & = \frac{2}{5} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^w \log (xy) & = \frac{5}{2} \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ {}^w \log x + {}^w \log y & = \frac{5}{2} \, \, \, \, \text{(dari pers(i))} \\ 2 + {}^w \log y & = \frac{5}{2} \\ {}^w \log y & = \frac{5}{2} - 2 \\ {}^w \log y & = \frac{1}{2} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^y \log w & = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} \frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } & = {}^y \log w \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } = 2 . \heartsuit $

8). Soal UTBK 2019 Soshum
Hasil dari $ \left( {}^{c^3}\log b^4 \right) \left( {}^{a^2}\log c^5 \right) \left( {}^{b^\frac{1}{2} }\log a^7 \right) $ adalah ...
A). $ \frac{160}{3} $
B). $ \frac{157}{3} $
C). $ \frac{151}{3} $
D). $ \frac{140}{3} $
E). $ \frac{137}{3} $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Sifat yang digunakan: sifat vi dan sifat vii akibat 2:
*). Menyelesaikan soal:
$ \begin{align} & \left( {}^{c^3}\log b^4 \right) \left( {}^{a^2}\log c^5 \right) \left( {}^{b^\frac{1}{2} }\log a^7 \right) \\ & = \left( \frac{4}{3} . {}^{c }\log b \right) \left( \frac{5}{2} . {}^{a }\log c \right) \left( \frac{7}{\frac{1}{2}} . {}^{b }\log a \right) \\ & = \frac{4}{3} . \frac{5}{2} . \frac{7}{\frac{1}{2}} \left( {}^{c }\log b \right) \left( {}^{a }\log c \right) \left( {}^{b }\log a \right) \\ & = \frac{4}{3} . \frac{5}{2} . 14 \left( {}^{c }\log b . {}^{b }\log a . {}^{a }\log c \right) \\ & = \frac{4}{3} . 5 . 7 \left( {}^{c }\log c \right) \\ & = \frac{140}{3} . 1 \\ & = \frac{140}{3} \end{align} $
Jadi, hasilnya $\frac{140}{3}. \heartsuit $

9). Soal UM UGM 2006 MatIPA
Jika $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar persamaan $ 5^{{}^5 \log (4x^2 + 3)} + 4^{{}^2 \log (x^2 - 1) } = 39 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ 5 \, $
B). $ \sqrt{5} + \sqrt{7} \, $
C). $ 2 \, $
D). $ 0 \, $
E). $ -2 \, $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log b = {}^{a^n} \log b^n $
2). $ (a)^{{}^{a} \log f(x) } = f(x) $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} 5^{{}^5 \log (4x^2 + 3)} + 4^{{}^2 \log (x^2 - 1) } & = 39 \\ 5^{{}^5 \log (4x^2 + 3)} + 4^{{}^{2^2} \log (x^2 - 1)^2 } & = 39 \\ 5^{{}^5 \log (4x^2 + 3)} + 4^{{}^{4} \log (x^4 - 2x^2 + 1) } & = 39 \\ (4x^2 + 3) + (x^4 - 2x^2 + 1 ) & = 39 \\ x^4 + 2x^2 - 35 & = 0 \\ (x^2 + 7)(x^2 - 5 ) & = 0 \\ x^2 + 7 = 0 \vee x^2 - 5 & = 0 \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^2 + 7 = 0 \rightarrow x^2 = -7 $
(Tidak memenuhi karena $ x^2 $ selalu positif).
$ x^2 - 5 = 0 \rightarrow x^2 = 5 \rightarrow x = \pm \sqrt{5} $
Artinya $ a = x_1 = \sqrt{5} \, $ dan $ b = x_2 = -\sqrt{5} $.
Sehingga nilai $ a + b = \sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = 0 $.
Jadi, nilai $ a + b = 0 . \, \heartsuit $

Persamaan Logaritma

       Untuk $ a, \, b \in R , \, a > 0 , \, b > 0 , \, $ dan $ a \neq 1 , \, $ berlaku sifat-sifat persamaan logaritma berikut :
(i). $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $
(ii). $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ f(x) > 0, \, g(x) > 0 , \, h(x) > 0, \, $ dan $ h(x) \neq 1 $
(iii). $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ b > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
(iv). $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) , \, $ solusinya semua yang memenuhi
    1). $ f(x) = g(x) $
    2). $ h(x) = 1 $
    dengan syarat : $ h(x) > 0 , \, f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $

       Untuk contoh mendetail tentang persamaan logaritma, silahkan kunjungi link berikut:
Persamaan Logaritma

Contoh soal umptn:

10). Soal Selma UM 2014 MatDas 141
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \log x = \frac{1}{3} \log 8 + \log 9 - \frac{1}{3} \log 27 \, \, $ adalah ....
A). 4
B). 5
C). 6
D). 7
E). 8

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Sifat dan persamaan logaritma
Sifat : $ n . {}^a \log b = {}^a \log b^n, \, {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c) $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
Persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \log x & = \frac{1}{3} \log 8 + \log 9 - \frac{1}{3} \log 27 \\ \log x & = \log 8^\frac{1}{3} + \log 9 - \log 27^\frac{1}{3} \\ \log x & = \log (2^3)^\frac{1}{3} + \log 9 - \log (3^3)^\frac{1}{3} \\ \log x & = \log 2 + \log 9 - \log 3 \\ \log x & = \log \frac{2.9}{3} \\ \log x & = \log 6 \\ x & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = 6 . \heartsuit $

11). Soal SBMPTN 2014 MatDas 654
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left( {}^{2} \log x \right)^2 + {}^{2} \log x=6$, maka $x_1x_2=...$
A). 2
B). $ \frac{1}{2} $
C). $ \frac{1}{8} $
D). $ -3 $
E). $ -6 $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Misalkan $p={}^{2} \log \, x $
$\begin{align*} \left( {}^{2} \log \, x \right)^2 + {}^{2} \log\, x &=6 \\ p^2+p&=6 \\ p^2+p-6 &= 0 \\ (p-2)(p+3) &= 0 \\ p=2 \, & \text{atau} \, p=-3 \end{align*}$
$p=2 \Rightarrow {}^{2} \log \, x = 2 \Rightarrow x=2^2 \Rightarrow x_1=4$
$p=-3 \Rightarrow {}^{2} \log \, x = -3 \Rightarrow x=2^{-3} \Rightarrow x_2=\frac{1}{8}$
sehingga , $x_1.x_2=4.\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.$
Jadi, $x_1.x_2= \frac{1}{2}. \heartsuit$

12). Soal SPMB 2003 MatDas
Nilai $x \, $ yang memenuhi persamaan : $\left( {}^4 \log x \right)^2 - {}^2 \log \sqrt{x} - \frac{3}{4} = 0 \, \, $ adalah ....
A). 16 atau 4
B). 16 atau $ \frac{1}{4} $
C). 8 atau 2
D). 8 atau $ \frac{1}{2} $
E). 8 atau 4

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma : $ {{}^a}^n \log b^n = {}^a \log b $
Misalkan : $ p = {}^4 \log x $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk log
$\begin{align} \left( {}^4 \log x \right)^2 - {}^2 \log \sqrt{x} - \frac{3}{4} & = 0 \\ \left( {}^4 \log x \right)^2 - {{}^2}^2 \log (\sqrt{x})^2 - \frac{3}{4} & = 0 \\ \left( {}^4 \log x \right)^2 - {}^4 \log x - \frac{3}{4} & = 0 \\ p^2 - p - \frac{3}{4} & = 0 \, \, \text{(kali 4)} \\ 4p^2 - 4p - 3 & = 0 \\ (2p+1)(2p-3) & = 0 \\ p=-\frac{1}{2} \rightarrow & \, \, {}^4 \log x = -\frac{1}{2} \rightarrow x = (4)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \\ p=\frac{3}{2} \rightarrow & \, \, {}^4 \log x = \frac{3}{2} \rightarrow x = (4)^\frac{3}{2} = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $x \, $ yang memenuhi adalah 8 dan $ \frac{1}{2} . \heartsuit $

13). Soal SBMPTN 2014 MatDas 663
Jika $ {}^{p^2 + 4} \log 2 = \frac{{}^3 \log 5}{{}^2 \log 5 . {}^3 \log 8} , \, $ dengan $ p > 0 \, $ maka $ p + {}^{p^2 } \log 16 = .... $
A). 0
B). 1
C). 2
D). 3
E). 4

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Sifat logaritma
$ \frac{1}{{}^b \log a} = {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ p $
$\begin{align} {}^{p^2 + 4} \log 2 & = \frac{{}^3 \log 5}{{}^2 \log 5 . {}^3 \log 8} \\ {}^{p^2 + 4} \log 2 & = {}^8 \log 3 . {}^3 \log 5 . {}^5 \log 2 \\ {}^{p^2 + 4} \log 2 & = {}^8 \log 2 \\ p^2 + 4 & = 8 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm 2 \end{align} $
karena $ p > 0 \, $ , maka $ p = 2 \, $ yang memenuhi.
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} p + {}^{p^2 } \log 16 & = 2 + {}^{2^2 } \log 16 \\ & = 2 + {}^{4 } \log 16 \\ & = 2 + 2 \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + {}^{p^2 } \log 16 = 4 . \heartsuit $

14). Soal SPMK UB 2013 MatDas 21
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian $x^{^2 \log x } = 16 $ , maka $x_1x_2 = ... $
A). 2
B). 1
C). 0
D). $ -1 $
E). $ -2 $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \,$ Definisi logaritma : $a^c = b \leftrightarrow c = {}^a \log b $
$\clubsuit \,$ Sifat logaritma : $^a\log b^n = n . {}^a \log b \, $ dan $\, {}^a \log b = \frac{1}{^b \log a} $
$\clubsuit \,$ Menyederhanakan soal :
$\begin{align*} x^{^2 \log x } = 16 \Leftrightarrow ^2 \log x & = ^x \log 16 \\ ^2 \log x & = {}^x \log 2^4 \\ ^2 \log x & = 4. {}^x \log 2 \\ ^2 \log x & = 4. \frac{1}{^2 \log x } \\ \left( ^2 \log x \right)^2 & = 4 \\ ^2 \log x & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ ^2 \log x = 2 \rightarrow x_1 & = 2^2 = 4 \\ ^2 \log x = -2 \rightarrow x_2 & = 2^{-2} = \frac{1}{4} \end{align*}$
Jadi, nilai $x_1.x_2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1 . \heartsuit $

15). Soal SBMPTN 2018 MatDas 527
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi $ \left( {}^{3} \log (x+1) \right)^2 = 4 $ , maka nilai $ x_1 x_2 $ adalah ...
A). $ 8 \, $
B). $ \frac{64}{9} \, $
C). $ -\frac{8}{9} \, $
D). $ -\frac{64}{9} \, $
E). $ -\frac{80}{9} $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat eksponen : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
*). Menyelesaikan persamaannya :
$\begin{align} \left( {}^{3} \log (x+1) \right)^2 & = 4 \\ {}^{3} \log (x+1) & = \pm \sqrt{4} \\ {}^{3} \log (x+1) & = \pm 2 \\ {}^{3} \log (x+1) = 2 & \vee {}^{3} \log (x+1) = -2 \\ (x+1) = 3^2 & \vee (x+1) = 3^{-2} \\ (x+1) = 9 & \vee (x+1) = \frac{1}{9} \\ x = 9 - 1 & \vee x = \frac{1}{9} - 1 \\ x = 8 & \vee x = - \frac{8}{9} \\ x_1 = 8 & \vee x_2 = - \frac{8}{9} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x_1 x_2 $ :
$\begin{align} x_1+ x_2 & = 8 \times - \frac{8}{9} = -\frac{64}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1 x_2 = -\frac{64}{9} . \, \heartsuit $

Pertidaksamaan Logaritma

       Untuk $ a \in R, \, a > 0 , \, a \neq 1, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ bentuk pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan bergantug dari nilai $ a \, $ (basisnya) :

*). Solusi Umum :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $

*). Solusi Syarat Logaritma :
Solusi syaratnya : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $

       Sehingga solusi totalnya adalah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat yaitu irisan semua himpunan penyelesaiannya.

       Untuk contoh detail tentang pertidaksamaan logaritma, silahkan kunjungi link berikut:
Pertidaksamaan Logaritma

Contoh soal umptn:

16). Soal SPMB 2005 MatDas
Nilai $x \, \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) > -1 \, \, $ adalah ....
A). $ -2 < x < 0 \, $ atau $ 1 < x < 3 $
B). $ -2 < x < 3 $
C). $ x > -2 $
D). $ x < 0 \, $ atau $ x > 1 $
E). $ 0 < x < 1 $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Syarat logaritma
$x^2-x > 0 \rightarrow x(x-1) > 0 \rightarrow x=0 \vee x = 1 $

$HP_1 = \{ x < 0 \vee x > 1 \} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan logaritmanya
$\begin{align*} {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) & > -1 \\ {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) & > {}^{\frac{1}{6}} \log \left( \frac{1}{6} \right)^{-1} \, \, \text{(coret } \, {}^{\frac{1}{6}} \log ) \\ x^2-x & < 6 \, \, \text{(ketaksamaan dibalik)} \\ x^2-x-6 & < 6 \\ (x+2)(x-3) & < 6 \\ x=-2 & \vee x=3 \end{align*}$

$HP_2 = \{ -2 < x < 3 \} $
Sehingga : $ HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ -2 < x < 0 \vee 1 < x < 3 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -2 < x < 0 \vee 1 < x < 3 \} . \heartsuit$

17). Soal UM UGM 2017 MatIPA 713
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x $ adalah ....
A). $ \frac{2}{3} \leq x \leq 1 \, $
B). $ x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ x \geq 1 $
C). $ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x < 2 $
D). $ \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $
E). $ x \leq \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 2 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Jika ada syaratnya, kita cari syaratnya terlebih dulu.
*). Pertidaksamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) \leq g(x) \, $ untuk $ 0 < a < 1 $.
Syarat dari $ {}^a \log b $ adalah $ a > 0 , a \neq 1, b > 0 $.
*). Sifat ligaritma :
$ n.{}^a \log b = {}^a \log b^n $ dan $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log b.c $

*). Solusi syaratnya dari $ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x $ :
$ \begin{align} -). & \, 2x - 1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{2} \\ -). & \, 2 - x > 0 \rightarrow x < 2 \\ -). & \, x > 0 \end{align} $
Sehingga syaratnya : $ HP_1 = \{ \frac{1}{2} < x < 2 \} $.
*). menyelesaikan pertidaksamaan logaritmanya :
$\begin{align} {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x \\ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1)(2 - x) & \geq {}^\frac{1}{2} \log x^2 \\ {}^\frac{1}{2} \log (-2x^2 + 5x - 2) & \geq {}^\frac{1}{2} \log x^2 \\ (-2x^2 + 5x - 2) & \leq x^2 \\ -3x^2 + 5x - 2 & \leq 0 \\ \text{(kali -1, tanda dibalik)} & \\ 3x^2 - 5x + 2 & \geq 0 \\ (3x - 2)(x-1) & \geq 0 \\ x = \frac{2}{3} \vee x & = 1 \end{align} $
garis bilangannya :
 
$ HP_2 = \{ x \leq \frac{2}{3} \vee x \geq 1 \} $.
*). Solusi totalnya adalah irisan kedua HP :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ \frac{1}{2} < x < 2 \} \cap \{ x \leq \frac{2}{3} \vee x \geq 1 \} \\ & = \{ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \vee 1 \leq x < 2 \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \vee 1 \leq x < 2 \} . \, \heartsuit $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
-). Untuk $ x $ negatif pasti salah karena numerus dari $ {}^\frac{1}{2} \log x $ tidak boleh negatif, opsi yang salah B dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x \\ {}^\frac{1}{2} \log (2.2-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - 2) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log 2 \\ {}^\frac{1}{2} \log 3 + {}^\frac{1}{2} \log 0 & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log 2 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=2$ SALAH, opsi yang salah D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=\frac{3}{2} \Rightarrow {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) & \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x \\ {}^\frac{1}{2} \log (2.\frac{3}{2}-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - \frac{3}{2}) & \geq {}^\frac{1}{2} \log (\frac{3}{2})^2 \\ {}^\frac{1}{2} \log (2) + {}^\frac{1}{2} \log (\frac{1}{2}) & \geq {}^\frac{1}{2} \log (\frac{3}{2})^2 \\ -1 + 1 & \geq {}^\frac{1}{2} \log \frac{9}{4} \\ 0 & \geq \text{ Hasil negatif} \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= \frac{3}{2}$ BENAR, opsi yang salah A.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ \{ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \vee 1 \leq x < 2 \} . \, \heartsuit $

18). Soal UTBK 2019 Saintek
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 > 0 $ dengan $ 0 < a < 1 $ adalah ....
A). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-1} $
B). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-2} $
C). $ a^2 < x < a^{-1} $
D). $ a^2 < x < a^{-2} $
E). $ a^{-2} < x < a^2 $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pertidaksamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki penyelesaian :
jika $ a > 1 $, maka $ f(x) > g(x) \, \, $ (tetap)
jika $ 0 < a < 1 $, maka $ f(x) < g(x) \, \, $ (dibalik)
*). Sifat logaritma : $ x = {}^a \log a^x $
*). Notasi logaritma : $ {}^a \log b = \log _a b $

*). Misalkan : $ {}^a \log x = p $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$\begin{align} \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 & > 0 \\ \left( {}^a \log x \right)^2 - {}^a \log x \, - 2 & > 0 \\ p^2 - p - 2 & > 0 \\ (p -2)(p+1) & > 0 \\ p = 2 \vee p & = -1 \end{align} $
garis bilangannya :
 
Solusinya : $ p< -1 \vee p > 2 $.
Kita ubah dalam bentuk $ x $ :
Karena nilai $ 0 < a < 1 $ , maka ketaksamaan diubah.
$\begin{align} p< -1 & \vee p > 2 \\ {}^a \log x < -1 & \vee {}^a \log x > 2 \\ {}^a \log x < {}^a \log a^{-1} & \vee {}^a \log x > {}^a \log a^2 \\ x > a^{-1} & \vee x < a^2 \end{align} $
Jadi, penyelesaiaan adalah $ x < a^2 \vee x > a^{-1} . \, \heartsuit $

19). Soal UTBK 2019 Saintek
Untuk $ 0 < a < 1 $ , penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{3a^x - 2}{a^x} < a^x $ adalah ....
A). $ {}^a \log 2 < x < 0 \, $
B). $ - {}^a \log 2 < x < 0 \, $
C). $ -{}^a \log 2 < x < {}^a \log 3 \, $
D). $ x < {}^a \log 2 \, $ atau $ x > 0 $
E). $ x < -{}^a \log 2 \, $ atau $ x > 0 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Misalkan $ a^x = p $
*). Mengubah pertidaksamaannya:
Karena $ a^x $ untuk $ 0 < a < 1 $ nilainya selalu positif, maka pertidaksamaannya bisa kita kalikan silang, ini akan membantu memudahkan menyelesaikan soal ini.
$ \begin{align} \frac{3a^x - 2}{a^x} & < a^x \\ 3a^x - 2 & < a^x \times a^x \\ 3a^x - 2 & < ( a^x )^2 \\ 3p - 2 & < p^2 \\ - p^2 + 3p - 2 & < 0 \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ p^2 - 3p + 2 & > 0 \\ (p-1)(p-2) & > 0 \\ p = 1 \vee p & = 2 \end{align} $
Garis bilangannya:

Solusinya dalam bentuk $ p $ yaitu:
$ p < 1 \, $ atau $ p > 2 $
*). Kita ubah kembali ke variabel $ x $ :
$ \begin{align} p < 1 & \vee p > 2 \\ a^x < 1 & \vee a^x > 2 \\ a^x < a^0 & \vee a^x > a^{{}^a \log 2} \\ x > 0 & \vee x < {}^a \log 2 \end{align} $
(dibalik karena basisnya lebih kecil dari 1).
Jadi, solusinya $ x < {}^a \log 2 \vee x > 0. \heartsuit $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi soal-soal Logaritma seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut :
Kumpulan soal Logaritma seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Logaritma - umptn dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika. Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.