Ringkasan Fungsi Kuadrat - umptn

         Blog KoMa - Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Fungsi Kuadrat-umptn beserta soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Ringkasan Fungsi Kuadrat - umptn ini. Untuk soal-soal Fungsi Kuadrat kita bagi menjadi dua bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan fungsi kuadrat - umptn ini bisa teman-teman kuasai dengan baik.

(A). Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

       Bentuk umum fungsi kuadrat yaitu :
$ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ atau $ y = ax^2 + bx + c $
dengan $ a \neq 0 $

       Untuk contoh mendetail tentang bentuk umum fungsi kuadrat, silahkan kunjungi link berikut:
Bentuk umum Fungsi Kuadrat

(B). Karakteristik dan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

       Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut :

Catatan :
-). Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola sehingga grafik fungsi kuadrat juga disebut parabola.
-). Setiap titik yang dilalui atau titik yang berada pada parabola, maka titik tersebut boleh disubstitusi ke fungsi parabola tersebut.
-). Mensubstitusi titik yang dilalui oleh sebuah grafik ke fungsinya berlaku untuk semua jenis fungsi (tidak hanya untuk fungsi kuadrat).

Karakteristik grafik fungsi kuadrat :
-). Untuk bentuk $ y = ax^2 + bx + c $ , arah kurva ada dua yaitu :
       terbuka keatas (senyum) saat $ a > 0 $
       terbuka kebawah (cemberut) saat $ a < 0 $
-). Terdapat titik balik/titik puncak $ (x_p , y_p) $.
       Rumus menentukan titik puncak yaitu :
       $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $
       $ y_p = \frac{D}{-4a} \, $ atau $ y_p = f(x_p) \, $
       dengan $ D = b^2 - 4ac $
-). Jenis-jenis titik baliknya :
       titik balik maksimum saat $ a < 0 $
       titik balik minimum saat $ a > 0 $
-). Persamaan sumbu simetri :
       $ x = x_p \rightarrow x = \frac{-b}{2a} $
-). Nilai Optimum (maksimum atau minimum) fungsi kuadrat
       Nilai maksimum atau minimum = $ y_p $

Contoh soal :
Dari fungsi kuadrat $ f(x) = 2x^2 - 4x + 5 $ , tentukan
a). Persamaan sumbu simetrinya
b). Nilai minimum fungsi
c). Titik balik/titik puncaknya

Penyelesaian :
$ f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \rightarrow a = 2, \, b = -4, \, c = 5 $

a). Persamaan sumbu simetrinya : $ x = x_p $
$ x = \frac{-b}{2a} \rightarrow x = \frac{-(-4)}{2 \times 2} \rightarrow x = 1 $
Sehingga persamaan sumbu simetrinya yaitu $ x = 1 $

b). Nilai minimum fungsi
Nilai minimum $ = y_p $
$ y_p = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} $
$ y_p = \frac{(-4)^2 - 4 \times 2 \times 5}{-4\times 2} = \frac{-24}{-8} = 3 $
atau $ y_p = f(x_p) = f(1) = 2 (1^2) - 4 \times 1 + 5 = 2 - 4 + 5 = 3 $
Sehingga nilai minimum fungsi = 3.

c). Titik balik/titik puncaknya $ (x_p, y_p) $

Pada bagian (a) dan (b) kita peroleh :
$ x_p = 1 \, $ dan $ y_p = 3 $
Sehingga titik puncaknya :
$ (x_p , y_p) = ( 1 , 3) $
Jenisnya minimum karena $ a > 0 $.


Contoh soal umptn :

1. Soal SBMPTN 2017 MatDas 224
Sumbu simetri grafik $ f(x) = ax^2 + bx + c $ adalah $ x = 1 $. Jika $ f(0)=0 $ dan $ f(4) = -16$ , maka nilai $ b - a $ adalah ....
A). $ 6 \, $
B). $ 5 \, $
C). $ 4 \, $
D). $ 3 \, $
E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ dengan sumbu simetri $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 1 \rightarrow b = -2a \, $ ....(i)
*). Substitusi $ f(0)=0 $ dan $ f(4) = -16 $ ke fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $
$\begin{align} f(0)=0 \rightarrow a.0^2 + b.0 + c & = 0 \\ c & = 0 \\ \text{sehingga fungsinya :} f(x) & = ax^2 + bx \\ f(4) = -16 \rightarrow a.4^2 + b.4 & = -16 \\ 16a + 4b & = -16 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4a + b & = -4 \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ 4a + b = -4 \rightarrow 4a + (-2a) = -4 \rightarrow 2a = -4 \rightarrow a = -2 $.
Pers(i): $ b = -2a = -2.(-2) = 4 $.
Sehingga nilai $ b - a = 4 - (-2) = 6 $.
Jadi, nilai $ b - a = 6 . \, \heartsuit $

2. Soal Selma UM 2014 MatIpa
Diketahui $ \, f(x) = -2x^2 -(p+1)x + 2p. \, $ Fungsi $ f(x) \, $ mempunyai nilai maksimum 8. Jika $ p \, $ bernilai $ p_1 \, $ atau $ p_2 . \, $ Nilai $ p_1 + p_2 \, $ adalah ....
A). $ -16 $
B). $ -17 $
C). $ -18 $
D). $ -19 $
E). $ -20 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
FK : $ f(x) = -2x^2 -(p+1)x + 2p $
$ \rightarrow a = -2, b = -(p+1), c = 2p $
$\spadesuit \, $ Nilai maksimum FK ($y_p$) dengan rumus $ y_p = \frac{D}{-4a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dengan $ \, y_p = 8 $
$\begin{align} y_p & = 8 \\ \frac{D}{-4a} & = 8 \\ \frac{b^2 - 4ac}{-4a} & = 8 \\ \frac{[-(p+1)]^2 - 4.(-2).(2p)}{-4.(-2)} & = 8 \\ \frac{ p^2 + 2p + 1 + 16p }{8} & = 8 \\ p^2 + 18p + 1 & = 64 \\ p^2 + 18p - 63 & = 0 \end{align}$
PK : $ p^2 + 18p - 63 = 0 , \, $ akar-akarnya $ p_1 \, $ dan $ \, p_2 $
Sehingga : $ p_1 + p_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-18}{1} = -18 $
Jadi, nilai $ p_1 + p_2 = - 18 . \heartsuit $

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat :

Langkah-langkah dalam sketsa grafik fungsi kuadrat yaitu :
1). Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu X (jika ada) dengan cara mensubstitusi $ y = 0 \, $ , sehingga diperoleh akar-akar dari $ ax^2+bx+c = 0 \, $ yaitu $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Artinya tipotnya $ (x_1,0) \, $ dan $ (x_2,0) $ .

2). Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu Y dengan cara mensubstitusi $ x = 0 \, $ , sehingga diperoleh $ y = c \, $ . Artinya tipotnya $ (0,c) $

3). Menentukan titik balik/puncak $ (x_p,y_p) $
Rumus : $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $ dan $ y_p = \frac{D}{-4a} \, $ atau $ y_p = f(x_p)= f\left( \frac{-b}{2a} \right) $
Sehingga titik balik/puncaknya :
$ (x_p,y_p)= \left( \frac{-b}{2a} , \frac{D}{-4a} \right) \, $ atau $ (x_p,y_p)= \left( \frac{-b}{2a} , f\left( \frac{-b}{2a} \right) \right) $

4). Menentukan sembarang titik bantuan lainnya agar menggambar lebih mudah, dengan cara memilih beberapa nilai $ x \, $ dan disubstitusikan ke FK.

       Untuk contoh soal sketsa grafik fungsi kuadrat, silahkan teman-teman baca pada link berikut :
Sketsa grafik fungsi kuadrat

(C). Teknik Menggeser Grafik

       Misalkan ada fungsi awal : $ y = f(x) $
Mengalami pergeseran menjadi : $ y = f(x \pm b) \pm c $
Artinya :
(a). digeser searah sumbu X sejauh $ b $ dengan :
     untuk $ + b $ ke kiri
     untuk $ - b $ ke kanan
(b). digeser searah sumbu Y sejauh $ c $ dengan :
     untuk $ + c $ ke atas
     untuk $ - c $ ke bawah

Catatan :
-). Untuk searah X (kanan atau kiri) tandanya berlawanan dari tanda pada sumbu X
-). Untuk searah Y (atas atau bawah) tandanya searah dari tanda pada sumbu Y
-). Teknik menggeser ini juga bisa menggunakan konsep pergeseran (Translasi) pada transformasi geometri karena pembuktian rumus di atas menggunakan konsep translasi.
-). Teknik menggeser ini berlaku umum untuk semua jenis fungsi.

       Untuk contoh soal yang lebih mendetail tentang teknik menggeser grafik fungsi kuadrat, silahkan kunjungi link berikut :
Teknik Menggeser Grafik

Contoh soal umptn :

3. Soal SBMPTN 2015 MatDas 617
Jika grafik parabola $ y = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2 satuan sehingga melalui titik (0,0), maka nilai $ a \, $ adalah ....
A). $ -2 $
B). $ -1 $
C). 0
D). 1
E). 2

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :

Cara I : Teknik Menggeser
Konsep Teknik Menggeser
Jika grafik $ y = f(x) \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh $ b , \, $ maka grafik barunya adalah $ y = f(x+b) $
$\spadesuit \, $ Grafik $ y = f(x) = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2, artinya $ b = 2 $ dan $ c = 0 $, karena digeser ke kiri maka menggunakan $ +b $ , sehingga grafik barunya :
$y = f(x+b) \rightarrow y = f(x+2) $
$\begin{align} \text{grafik awal : } y & = x^2 - 3x + a \\ \text{grafik baru : } y & = f(x+2) \\ y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $

Cara II : Transformasi Geometri (Translasi)
$\spadesuit \, $ Konsep transformasi, khususnya translasi(pergeseran)
*). Grafik digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh b, artinya matriks translasinya $ T = \left( \begin{matrix} -b \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). pada soal ini, nilai $ b = 2 , \, $ sehingga $ T = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan bayangannya
$ \begin{align} \text{byangannya } & = \text{ Matriks } + \text{ awalnya} \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 + x \\ y \end{matrix} \right) \\ x & = x^\prime + 2 \\ y & = y^\prime \end{align}$
*). awalnya : $ y = x^2 - 3x + a $
*). bayangannya : $ y^\prime = (x^\prime + 2)^2 - 3(x^\prime + 2) + a $
artinya setelah digeser terbentuk grafik yang baru yaitu : $ y = (x + 2)^2 - 3(x + 2) + a $
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $

(D). Analisa Grafik

       Grafik fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ dapat kita analisa berdasarkan beberapa hal berikut yaitu :
a). Nilai $ a, \, b $ , dan $ c $
b). Nilai Diskriminan ($D$)
c). Definit positif atau definit negatif

       Untuk contoh soal mengenai analisa grafik ini, siilahkan kunjungi link berikut :
Analisa Grafik fungsi kuadrat

a). Nilai $ a, \, b $ , dan $ c $

(i). Nilai $ a $
         Nilai $ a \, $ pada grafik fungsi kuadrat (parabola) berfungsi untuk menentukan arah parabola yaitu terbuka ke atas atau terbuka ke bawah.
(*). Jika nilai $ a > 0 \, $ (positif), maka parabola terbuka ke atas yang mengakibatkan nilai minimum.
(*). Jika nilai $ a < 0 \, $ (negatif), maka parabola terbuka ke bawah yang mengakibatkan nilai maksimum.


(ii). Nilai $ b $
         Nilai $ b \, $ dan $ a \, $ pada grafik fungsi kuadrat (parabola) berfungsi untuk menentukan letak titik puncak .


         Untuk memudahkan mengingat posisi titik puncak berdasarkan nilai $ a \, $ dan $ b \, $, gunakan singkatan berikut :
                           BeKa SaKi = Beda Kanan Sama Kiri
Artinya , jika tanda $ a \, $ dan $ b \, $ berbeda ($ a < 0 \, $ dan $ b > 0 \, $ atau $ a > 0 \, $ dan $ b < 0 $ ) , maka posisi titik puncaknya ada di kanan sumbu Y. dan jika tanda $ a \, $ dan $ b \, $ sama ($ a < 0 \, $ dan $ b < 0 \, $ atau $ a > 0 \, $ dan $ b > 0 $ ) , maka posisi titik puncaknya ada di kiri sumbu Y. yang dimaksud tanda disini adalah nilai positif atau negatif saja tanpa memperhatikan besarnya.

(iii). Nilai $ c $
         Nilai $ c \, $ menunjukkan perpotongan grafik dengan sumbu Y, bisa positip, negatif, atau tepat di pusat koordinat.

Contoh soal umptn :

4. Soal SBMPTN 2013 MatDas 326
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...
A). $ a >0, \, b > 0 , $ dan $ c > 0 $
B). $ a <0, \, b < 0 , $ dan $ c > 0 $
C). $ a <0, \, b > 0 , $ dan $ c < 0 $
D). $ a >0, \, b > 0 , $ dan $ c < 0 $
E). $ a <0, \, b > 0 , $ dan $ c > 0 $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :

$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $

5. Soal SNMPTN 2010 MatDas 336
Fungsi $f(x)=x^2+ax$ mempunyai grafik berikut

Grafik fungsi $g(x)=x^2-ax+5 $ adalah ...

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
Agar tidak rancu, alfabet $a$ diganti dengan $k$
$\spadesuit \, $ Analisa grafik $f(x) = x^2 + kx$

Kurva hadap atas, sehingga nilai $a > 0 $
Puncak di kanan sumbu Y, berlaku BeKa (Beda Kanan), artinya nilai $a$ dan $b$ harus beda. Karena $a > 0 $ , maka nilai $ b < 0 $ (beda) . Sehingga, $b < 0 \rightarrow k < 0 $ (nilai $k$ negatif) .
Catatan : Jika puncak di kiri sumbu Y, berlaku SaRi (Sama Kiri) .
$\spadesuit \, $ Analisa grafik $g(x) = x^2 - kx + 5$
Nilai $a = 1 > 0 \, $ artinya kurva hadap atas.
Nilai $b = -k > 0 \, $ ( $k$ negatif, sehingga nilai $-k \, $ positif).
Karena nilai $a$ dan $b$ sama (sama-sama positif), berlaku SaRi ( Sama Kiri), artinya puncak ada di sebelah kiri sumbu Y.
$c = 5$ , artinya kurva memotong sumbu Y di $y=5$ .
Sketsa grafik fungsi $ y = g(x) $
$ \heartsuit $

b). Nilai Diskriminan ($D$)
         Kedudukan yang dimaksud adalah posisi parabola , apakah memotong sumbu X, menyinggung sumbu X, atau tidak memotong dan menyinggung sumbu X , yang ditentukan berdasarkan nilai Diskriminaanya $(D=b^2-4ac)$ .

Contoh soal umptn :

6. Soal SBMPTN 2014 MatDas 631
Jika $ a > 2, \, $ maka grafik fungsi $ f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \, $
(A) berada di atas sumbu X
(B) berada di bawah sumbu X
(C) menyinggung sumbu X
(D) memotong sumbu X di dua titik berbeda
(E) memotong sumbu X di $ (x_1,0) \, $ dan $ (x_2,0) \, $ dengan $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 $

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
Konsep nilai diskriminan ($D=b^2-4ac$) pada fungsi kuadrat (FK)
jika nilai $ D > 0 \, $ , maka FK memotong sumbu X di dua titik berbeda
jika nilai $ D = 0 \, $ , maka FK memotong sumbu X di satu titik (menyinggung)
jika nilai $ D < 0 \, $ , maka FK tidak memotong atau tidak menyinggungs sumbu X
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai Diskriminannya
fungsi $ f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \, $ dengan $ a > 2 $
$\begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2a)^2 - 4.a.2 \\ & = 4a^2 - 8a \\ D & = 4a(a - 2 ) \end{align}$
Karena nilai $ a > 2 \, $ , maka nilai $ (a-2) \, $ juga positif begitu juga nilai $ 4a $ .
Diperoleh nilai $ D = 4a(a-2) \, $ juga positif ($D > 0$), sehingga berdasarkan jenis nilai Diskriminan di atas maka FK memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.
Catatan : Untuk opsi E, nilai $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 \, $ akan memungkinkan nilai $ x_1 \, $ sama dengan nilai $ x_2 \, $ , sedangkan dari syarat haruslah titik potongnya berbeda ($x_1 \neq x_2 $), sehingga opsi E salah.
Jadi, FK memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. $ \heartsuit$

c). Definit positif atau definit negatif
*). Definit Positif (kurva selalu di atas sumbu X) artinya nilai fungsi kuadrat selalu positif untuk semua $ x \, $ . Syaratnya : $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $
*). Definit Negatif (kurva selalu di bawah sumbu X) artinya nilai fungsi kuadrat selalu negatif untuk semua $ x \, $ . Syaratnya : $ D < 0 \, $ dan $ a < 0 $

contoh soal umptn :

7. Soal SPMB 2007 MatDas
Fungsi kuadrat $y= ax^2+x+a $ definit negatif untuk konstanta $a $ yang memenuhi ....
A). $ a< -\frac{1}{2} \, $ atau $ a > \frac{1}{2} $
B). $ -\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2} $
C). $ 0 < a < \frac{1}{2} $
D). $ a < 0 $
E). $ a < -\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Jawaban : E
$\clubsuit $ Pembahasan :
Syarat definit negatif : $a < 0 $ dan $ D < 0 $ dengan $D=b^2-4ac $
$y= ax^2+x+a $
Syarat I : $ a < 0 \rightarrow HP_1 = \{ a < 0 \} $
Syarat II : $ D < 0 \rightarrow b^2-4ac < 0 $
$\begin{align*} b^2-4ac & < 0 \\ 1^2-4.a.a & < 0 \\ 1-4a^2 & < 0 \\ (1-2a)(1+2a) & < 0 \\ a = \frac{1}{2} & \vee a = -\frac{1}{2} \end{align*}$

$HP_2 = \{a < -\frac{1}{2} \vee a > \frac{1}{2} \} $
Sehingga solusinya : $HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ a < -\frac{1}{2} \} $
Jadi, nilai $a$ memenuhi $ \{ a < -\frac{1}{2} \}. \heartsuit$

(E). Kedudukan Garis dan Parabola

(i). Garis dan parabola berpotongan di dua titik berbeda,
       sayaratnya : $ D > 0 $
(ii). Garis dan parabola bersinggungan (berpotongan di satu titik),
       syaratnya : $ D = 0 $
(iii). Garis dan parabola tidak berpotongan atau bersinggungan,
       syaratnya : $ D < 0 $

Langkah-langkah menyelesaikan soal kedudukan garis dan parabola :
1). Substitusi persamaan garis ke persamaan bola sehingga terbentuk persamaan kuadrat
2). Tentukan nilai Diskriminannya $(D)\, $
3). Selesaikan sesui syarat yang diminta (berpotongan, bersinggungan, atau tidak berpotongan dan bersinggungan)

       Untuk contoh soal lebih mendetail, silahkan kunjungi link berikut :
Kedudukan garis dan parabola

Contoh soal umptn :

8. Soal SBMPTN 2014 MatDas 654
Jika $2a+1<0$ dan grafik $y=x^2-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^2+2x$, maka $a^2+1=...$
A). $ \frac{17}{16} $
B). $ \frac{5}{4} $
C). 2
D). 5
E). 17

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \,$ Syarat nilai $a$ : $ 2a+1<0 \Rightarrow a < - \frac{1}{2} $
$\clubsuit \, $ Grafik bersinggungan, syaratnya : $D=0$
$\begin{align*} y_1&=y_2 \\ 2x^2+2x&=x^2-4ax+a \\ x^2+2(2a+1)x-a&=0 \\ D=0 \Leftrightarrow b^2-4ac&=0 \\ [2(2a+1)]^2-4.1.(-a)&=0 \\ 4(4a^2+4a+1)+4a&=0 \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4a^2+5a+1&=0 \\ (4a+1)(a+1)&=0 \\ a=-\frac{1}{4} \, & \text{atau} \, a=-1 \end{align*} $
$\clubsuit \, $ karena syarat $ a < - \frac{1}{2} $ , maka yang memenuhi adalah nilai $a=-1$
sehingga $a^2+1=(-1)^2+1=2$
Jadi, nilai $a^2+1=2 \, \heartsuit $

9. Soal UM UGM 2014 MatDas
Jika garis $2x-3y+5k-1=0$ memotong parabola $y=x^2-2x+k+1$ di dua titik, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah ...
A). $ k < -\frac{3}{2} $
B). $ k < -\frac{2}{3} $
C). $ k > -\frac{2}{3} $
D). $ k < \frac{2}{3} $
E). $ k < \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
Syarat garis memotong parabola di dua titik : $D > 0$
$\left\{ \begin{array}{cc} 2x-3y+5k-1=0 & ...\text{persmaan (i)} \\ y=x^2-2x+k+1 & ...\text{persmaan (ii)} \end{array} \right.$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align*} 2x-3y+5k-1&=0 \\ 2x-3(x^2-2x+k+1)+5k-1&=0\\ -3x^2+8x+(2k-4)&=0 \\ a=-3, b=8, c&=2k-4\\ D > 0 \Leftrightarrow b^2-4ac &>0 \\ 8^2-4(-3)92k-4) &>0 \\ 24k&>-16\\ k>\frac{-16}{24} \Leftrightarrow k&>\frac{-2}{3} \end{align*}$
Jadi nilai $k$ yang memenuhi adalah $k>\frac{-2}{3} \heartsuit$

(F). Menyusun Fungsi Kuadrat (FK)

       Menyusun Fungsi Kuadrat dapat dilakukan tergantung dari yang diketahui yaitu :

(i). Diketahui titik puncaknya $(x_p , y_p) $
         Rumus : $ y = a(x-x_p)^2 + y_p $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.

(ii). Parabola memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ [ $(x_1,0) \, $ dan $(x_2,0)$]
         Rumus : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.

(iii). Parabola melalui tiga titik sembarang selain titik-titik yang telas disebutkan di atas
         Cara : Untuk menentukan fungsi kuadratnya, substitusikan ketiga titik yang diketahui ke bentuk umum FK $ y = ax^2+bx+c \, $ , lalu eliminasi untuk menentukan nilai $ a , \, b , \, $ dan $ c $

       Untuk contoh yang lebih mendetail tentang menyusun fungsi kuadrat, silahkan kunjungi link berikut :
Menyusun Fungsi Kuadrat

Contoh soal umptn:

10. Soal UM UGM 2014 MatDas
Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu $x$ di A(1,0) dan B(2,0) . Jika grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (0,4) dan puncaknya di titik $(p,q)$ , maka $p+q=...$
A). 1
B). $ \frac{3}{2} $
C). 2
D). $ \frac{5}{2} $
E). 3

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
Fungsi kuadrat (FK) melalui titik $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ : $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$\spadesuit \, $ FK melalui (1,0) dan (2,0) : $y=a(x-1)(x-2)$ ... pers(i)
$\spadesuit \, $ FK melalui (0,4) , substitusi ke pers (i):
$4=a(0-1)(0-2) \Rightarrow a=2 \, $ sehingga pers(i) menjadi : $y=2(x-1)(x-2) \Leftrightarrow y=2x^2-6x+4$
$\spadesuit \, $ Titik Puncak $(x_p,y_p) = (p,q)$
$x_p=\frac{-b}{2a} \Leftrightarrow p=\frac{-(-6)}{2.2} \Leftrightarrow p=\frac{3}{2}$
$y_p=f(x_p) \Leftrightarrow q=f\left( \frac{3}{2} \right) \Leftrightarrow q=2\left( \frac{3}{2} \right)^2-6\left( \frac{3}{2} \right)+4 = \frac{-1}{2}$
$\spadesuit \, $ Sehingga, $p+q= \frac{3}{2} + \frac{-1}{2} = 1$
Jadi, nilai $p+q=1 . \heartsuit $

11. Soal UMPTN 2000 MatDas
Fungsi kuadrat yang melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama dengan puncak dari grafik $ f(x) = x^2 + 4x +3 $ adalah ....
A). $ y = 4x^2 + x + 3 $
B). $ y = x^2 - 3x - 1 $
C). $ y = 4x^2 +16 x + 15 $
D). $ y = 4x^2 + 15x + 16 $
E). $ y = x^2 + 16x + 18 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
Menentukan titik puncak ($x_p , y_p$)
fungsi : $ f(x) = x^2+ 4x + 3 $
$ x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2.1} = -2 $
$ y_p = f(x_p) = f(-2) = (-2)^2+ 4.(-2) + 3 = -1 $
sehingga titik puncaknya : ($x_p , y_p$) = (-2, -1)
$\clubsuit \, $ Menyusun fungsi kuadrat melalui titik (-1,3)
Rumus : $ y = a(x-x_p)^2 + y_p \rightarrow y = a(x+2)^2 -1 $
Substitusi titik (-1,3) untuk menentukan nilai $ a $
(-1,3) $ \rightarrow y = a(x+2)^2 -1 \rightarrow 3 = a(-1+2)^2 -1 \rightarrow a = 4 $
Substitusi kembali nilai $ a = 4 $
$\begin{align} y & = a(x+2)^2 -1 \\ y & = 4(x+2)^2 -1 \\ y & = 4(x^+4x+4) -1 \\ y & = 4x^2 + 16x + 15 \end{align}$
Jadi,fungsi kuadratnya adalah $ y = 4x^2 + 16x + 15 . \heartsuit $

(G). Penerapan Fungsi Kuadrat pada Nilai maksimum atau minimum

       Langkah-langkah Menyelesaikan Soal Cerita
1). Buat model matematika yaitu dalam bentuk fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2+bx+c $
2). Tentukan nilai maksimum atau minimumnya dengan rumus pada fungsi kuadrat :
       (i). jika $ a > 0 , \, $ maka nilai minimum = $ \frac{D}{-4a} $
       (ii). jika $ a < 0 , \, $ maka nilai maksimum = $ \frac{D}{-4a} $
       (iii). nilai yang menyebabkan maksimum/minimum = $ -\frac{b}{2a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac \, $ yang disebut sebagai nilai Diskriminan.

       Untuk contoh mendetail tentang penerapan fungsi kuadrat, silahkan kunjungi link berikut ya:
Penerapan fungsi kuadrat

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi soal-soal fungsi kuadrat seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut :
Kumpulan soal Fungsi Kuadrat seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Fungsi Kuadrat - umptn dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika. Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.