Ringkasan Persamaan Kuadrat Soshum - umptn

         Blog KoMa - Pada artikel ini kita akan membahas materi Ringkasan Persamaan Kuadrat Soshum beserta soal-soal yang terkait yang khususnya tentang soal-soal UMPTN baik seleksi bersama ataupun seleksi mandiri seperti SPMB, SNMPTN, SBMPTN, UTBK, UM UGM (utul), simak UI, UM UNDIP, UNPAD, dan lainnya. Persamaan Kuadrat Soshum materinya sama dengan Persamaan Kuadrat Saintek, hanya saja perbendaannya terletak pada soal-soal dan penekanan materinya. Untuk melengkapkan materi dan memudahkan pemahaman, kami juga sertakan beberapa contoh soal pendukung (bila diperlukan) untuk menguasai materi Persamaan Kuadrat Soshum ini. Untuk soal-soal Ringkasan Persamaan Kuadrat Soshum kita bagi menjadi dua bagian yaitu contoh soal dan soal latihan mandiri. Untuk soal latihan mandiri, teman-teman bisa mencobanya terlebih dahulu, setelah itu baru cek solusinya dibagian bawahnya untuk masing-masing soal latihan mandiri. Kami yakin, dengan tekun belajar maka materi Ringkasan Persamaan Kuadrat Soshum - umptn ini bisa teman-teman kuasai dengan baik.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

       Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu :
$ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan $ a \neq 0 $

Contoh soal :
Dari bentuk-bentuk persamaan kuadrat berikut dengan variabel $ x $ , tentukan $ a , \, b, \, $ dan $ c \, $ nya ?
a). $ 2x^2 + 4x + 5 = 0 $
b). $ x^2 - 3x = 0 $
c). $ -x^2 + 6 = 0 $
d). $ -5x^2 = 0 $
e). $ 4mx^2 - (k+1)x - k^2 + 5k - 2 = 0 $

Penyelesaian :
a). $ 2x^2 + 4x + 5 = 0 \rightarrow a = 2, b = 4, c = 5 $
b). $ x^2 - 3x = 0 \rightarrow a = 2, b = -3, c = 0 $
c). $ -x^2 + 6 = 0 \rightarrow a = -1 , b = 0, c = 6 $
d). $ -5x^2 = 0 \rightarrow a = -5, b = 0, c = 0 $
e). $ 4mx^2 - (k+1)x - k^2 + 5k - 2 = 0 $
$ \rightarrow a = 4m , b = -(k+1), c = - k^2 + 5k - 2 $.

Untuk contoh lainnya, silahkan kunjungi link berikut ya :
Contoh bentuk umum persamaan kuadrat.

Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat

       Ada tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yaitu :
1). Memfaktorkan
2). Kuadrat sempurna
3). Rumus ABC yaitu : $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
dimana D disebut Diskriminan

Untuk penjelasan secara lebih terperinci mengenai "menentukan akar-akar persamaan kuadrat" beserta contohnya, silahkan kunjungi link berikut :
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dan contohnya .

Contoh Soal Seleksi UMPTN :

1). Soal SNMPTN 2009 Matdas kode 283
Jika $ 1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^2} = 0 $ , maka $ \frac{3}{x} $ adalah .....
A). $ -1 $
B). 1
C). 2
D). $ - 1 $ atau 2
E). $ -1 $ atau $ -2 $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Untuk memudahkan, kita kalikan $ x^2 $ kedua ruas :
$ \begin{align} 1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^2} & = 0 \\ \left[ 1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^2} \right] \times x^2 & = 0 \times x^2 \\ x^2 + 6x + 9 & = 0 \\ (x+3)(x+3) & = 0 \\ x_1 = -3 \vee x_2 & = -2 \end{align} $
(akar kembar).
*). Menentukan nilai $ \frac{3}{x} $ :
$ \frac{3}{x} = \frac{3}{-3} = -1 $
Jadi, nilai $ \frac{3}{x} = -1 $ . $ \heartsuit $

Sebenarnya sahabat koma bisa langsung memfaktorkan persamaan tersebut yaitu :
$ \begin{align} 1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^2} & = 0 \\ \left( 1 + \frac{3}{x} \right)\left( 1 + \frac{3}{x} \right) & = 0 \\ \left( 1 + \frac{3}{x} \right) = 0 \vee \left( 1 + \frac{3}{x} \right) & = 0 \\ \frac{3}{x} = -1 \vee \frac{3}{x} & = - 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{3}{x} = -1 $ .

2). Soal UTBK 2019
Persamaan kuadrat $ x^2 + px + 8 = 0 $ salah satu akarnya 2. Nilai $ p = ... $
A). $ - 4 $
B). $ -5 $
C). $ -6 $
D). $ -7 $
E). $ -8 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Karena 2 adalah akar dari persamaan kuadrat tersebut, maka $ x = 2 $ memenuhi persamaan tersebut sehingga bisa kita substitusi akar tersebut.
$ \begin{align} x = 2 \rightarrow x^2 + px + 8 & = 0 \\ 2^2 + p.2 + 8 & = 0 \\ 2p + 12 & = 0 \\ 2p & = -12 \\ p & = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -6 $. $ \heartsuit $

Jenis-jenis akar Persamaan Kuadrat

Ada beberapa jenis-jenis akar persamaan kuadrat yaitu :
1). Akar-akar real, syaratnya : $ D \geq 0 $
     Real beda, syaratnya : $ D > 0 $
     Real kembar, syaratnya : $ D = 0 $
     Real Rasional, syaratnya : $ D = k^2 $
2). Akar-akar tidak real (imajiner), syaratnya : $ D < 0 $

Untuk penjelasan secara lebih terperinci mengenai " jenis-jenis persamaan kuadrat" beserta contohnya, silahkan kunjungi link berikut :
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat dan contohnya .

Contoh Soal Seleksi UMPTN :

3). Soal UM UGM 2009 matdas
Jika persamaan $ x^2 - 2ax - 3a^2- 4a - 1 = 0 $ mempunyai akar-akar kembar, maka akar kembar tersebut adalah .... ?
A). $ - 1 $
B). $ - \frac{1}{2} $
C). $ \frac{1}{2} $
D). $ 1 $
E). $ 2 $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Diketahui persamaan kuadrat :
$ x^2-2ax-3a^2-4a-1=0 $
$ \rightarrow a = 1, b = -2a , c = -3a^2-4a-1 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dengan syarat $ D = 0 $ :
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-2a)^2 - 4.1.(-3a^2-4a-1) & = 0 \\ 4a^2 + 12a^2 + 16a + 4 & = 0 \\ 16a^2 + 16a + 4 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4a^2 + 4a + 1 & = 0 \\ (2a + 1)^2 & = 0 \\ 2a + 1 & = 0 \\ 2a & = -1 \\ a & = -\frac{1}{2} \end{align} $ .
Jadi, nilai $ a = -\frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat

a). Rumus Dasar :
     $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $
     $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
     $ x_1 - x_2 = \pm \frac{\sqrt{D}}{a} $
dimana $ D = \, $ Diskriminan yaitu $ D = b^2 - 4ac $

b). Rumus Bantu :
     $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 $
     $ x_1^2 - x_2^2 = (x_1+x_2)(x_1 - x_2) $
     $ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1.x_2(x_1+x_2) $
     $ x_1^3 - x_2^3 = (x_1-x_2)^3 + 3x_1.x_2(x_1-x_2) $
     $ x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)^2 - 2(x_1.x_2)^2 $
     $ x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)(x_1^2 - x_2^2) $

Untuk penjelasan secara lebih terperinci mengenai " Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat" beserta contohnya, silahkan kunjungi link berikut :
Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat .

Contoh Soal Seleksi UMPTN :

4). Soal UM UGM 2005 MatDas
Jika akar-akar persamaan $ 2x^2-x-2=0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $, maka $ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} \, $ sama dengan ....
A). $ -\frac{13}{4} \, $
B). $ -\frac{13}{8} \, $
C). $ -\frac{5}{4} \, $
D). $ \frac{5}{8} \, $
E). $ \frac{13}{8} \, $

$\spadesuit $ Jawaban : B
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Persamaan kuadrat : $ 2x^2-x-2=0 $
Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2} $
$ x_1 . x_2 = \frac{-2}{2} = -1 $
*). Menentukan nilai $ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} $ :
$\begin{align} \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} & = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1^3.x_2^3} \\ & = \frac{(x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)}{(x_1.x_2)^3} \\ & = \frac{(\frac{1}{2})^3 - 3.(-1)(\frac{1}{2})}{(-1)^3} \\ & = \frac{\frac{1}{8} + \frac{3}{2}}{-1} = \frac{\frac{1}{8} + \frac{12}{8}}{-1} \\ & = \frac{ \frac{13}{8}}{-1} = -\frac{13}{8} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = -\frac{13}{8} . \, \heartsuit $

5). Soal SNMPTN 2011 MatDas 179
Jika 2 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat $\frac{1}{4}x^2+bx+a=0, \, $ maka nilai $a+b$ adalah ... ?
A). 32
B). 2
C). 0
D). $ - 2 $
E). $ - 32 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ 2 adalah satu-satunya akar, artinya akarnya sama/kembar : $x_1=2, \, x_2=2$
$\spadesuit \, $ Rumus jumlah dan kali akar-akar :
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \Rightarrow 2 + 2 = \frac{-b}{\frac{1}{4}} \Rightarrow 4 = -4b \Rightarrow b = -1 $
$x_1.x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow 2 . 2 = \frac{a}{\frac{1}{4}} \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1 $
Sehingga , $a+b = 1 + (-1) = 0 $
Jadi, nilai $a+b = 0 . \heartsuit $

6). Soal SNMPTN 2012 MatDas 122
Jika $p+1$ dan $p-1$ adalah akar-akar persamaan $x^2-4x+a=0$ , maka nilai $a$ adalah ... ?
A). 0
B). 1
C). 2
D). 3
E). 4

$\spadesuit $ Jawaban : D
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Akar-akar persamaan $x^2-4x+a=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x_1 = p+1 \\ x_2=p-1 \end{array} \right.$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $p$ dan $a$ dengan operasi akar-akar:
$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \Leftrightarrow (p+1)+(p-1) = \frac{-(-4)}{1} \Leftrightarrow 2p = 4 \Leftrightarrow p =2 $
$x_1. x_2 = \frac{c}{a} \Leftrightarrow (p+1).(p-1) = \frac{a}{1} \Leftrightarrow (2+1).(2-1) = a \Leftrightarrow 3 = a $
Jadi, nilai $a = 3. \heartsuit $

Sifat-sifat akar Persamaan Kuadrat

(i). Akar-akar berlawanan tanda ( $ x_1 = - x_2 \, $ atau $ x_2 = -x_1 $ )
         Syaratnya : $ x_1 + x_2 = 0 \rightarrow b = 0 $
(ii). Akar-akar berkebalikan ( $ x_1 = \frac{1}{x_2} \, $ atau $ x_2 = \frac{1}{x_1} $ )
         Syaratnya : $ x_1 . x_2 = 1 \rightarrow c = a $

Untuk penjelasan secara lebih terperinci mengenai "Sifat-sifat akar Persamaan Kuadrat" beserta contohnya, silahkan kunjungi link berikut :
Sifat-sifat akar Persamaan Kuadrat .

Contoh Soal Seleksi UMPTN :

7). Soal Tim Blog Koma
Jika akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 +(2p-1)x-4=0 $ saling berlawanan tanda, maka nilai $ 8p^2 - 1 = ... $
A). $ 0 $
B). $ 1 $
C). $ 2 $
D). $ 3 $
E). $ 4 $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Syarat akar berlawanan tanda $ (x_1 = -x_2 ) $ yaitu $ b = 0 $.
*). persamaan kuadrat $ x^2 +(2p-1)x-4=0 $
$ \, \, \, \, a = 1 , b = 2p - 1 , \, $ dan $ c = -4 $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan $ b = 0 $ :
$ b=0 \rightarrow 2p - 1 = 0 \rightarrow 2p = 1 \rightarrow p = \frac{1}{2} $
*). Menentukan nilai $ 8p^2 - 1 $ :
$ \begin{align} 8p^2 - 1 & = 8 \left( \frac{1}{2} \right) ^2 - 1 \\ & = 8 \times \frac{1}{4} - 1 \\ & = 2 - 1 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ 8p^2 - 1 = 1 . \heartsuit $

8). Soal Tim Blog Koma
Jika akar-akar persamaan $ \frac{x-m}{m-1} = \frac{-2}{mx} $ saling berkebalikan, maka nilai $ m^2 - 2m + 4 = ... $
A). $ 0 $
B). $ 1 $
C). $ 2 $
D). $ 3 $
E). $ 4 $

$\spadesuit $ Jawaban : A
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Syarat akar berkebalikan $ ( x_1 = \frac{1}{x_2} ) $ yaitu $ c = a $
*). Mengubah persamaan $ \frac{x-m}{m-1} = \frac{-2}{mx} $ :
$ \begin{align} \frac{x-m}{m-1} & = \frac{-2}{mx} \\ mx(x-m) & = -2(m-1) \\ mx^2 - m^2x & = -2m + 2 \\ mx^2 - m^2x + (2m - 2) & = 0 \end{align} $
$ a = m, b = -m^2 , $ dan $ c = 2m - 2 $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ c = a $
$ \begin{align} c & = a \\ 2m - 2 & = m \\ m & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ m^2 - 2m + 4 $ :
$ m^2 - 2m + 4 = 2^2 - 2\times 2 + 4= 4 - 4 + 4 = 4 $
Jadi, nilai $ m^2 - 2m + 4 = 4 . \heartsuit $

Menyusun Persamaan Kuadrat

       Menyusun Persamaan Kuadrat atau sering disebut Menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB).
(i). Rumus khusus : diketahui akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $
      PK nya : $ (x-x_1)(x-x_2)=0 $
(ii). Rumus umum :
      PK nya : $ x^2 - (HJ)x + (HK) =0 $
dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali.

Untuk penjelasan secara lebih terperinci mengenai "Menyusun Persamaan Kuadrat " beserta contohnya, silahkan kunjungi link berikut :
Menyusun Persamaan Kuadrat .

Contoh Soal Seleksi UMPTN :

9). Soal SBMPTN 2014 MatDas 611
Jika $x_1$ dan $x_2$ akar-akar persamaan kuadrat $x^2+3x+1=0$, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar $2+\frac{x_2}{x_1}$ dan $2+\frac{x_1}{x_2}$ adalah ...

$\spadesuit $ Jawaban :
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\clubsuit \, $ Menentukan jumlah dan kali akar
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-3}{1}=-3$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat dengan akar-akar : $2+\frac{x_2}{x_1}$ dan $2+\frac{x_1}{x_2}$
$\begin{align*} HJ &= \left( 2+\frac{x_2}{x_1} \right) + \left( 2+\frac{x_1}{x_2} \right) = 4 + \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1.x_2} \\ &= 4 + \frac{(x_1 + x_2)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2} = 4 + \frac{(-3)^2-2.1}{1}=11 \end{align*}$
$\begin{align*} HK &=\left( 2+\frac{x_2}{x_1} \right) . \left( 2+\frac{x_1}{x_2} \right) = 4 + \frac{2x_1}{x_2} + \frac{2x_2}{x_1} +1 \\ &= 5 + 2.\frac{(x_1 + x_2)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2} = 5 + 2.\frac{(-3)^2-2.1}{1}=19 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat : $x^2-(HJ)x+HK=0$
$x^2-(HJ)x+HK=0 \Leftrightarrow x^2-(11)x+19=0$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $x^2-11x+19=0 . \heartsuit$

10). Soal SPMB 2006 MatDas
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ akar-akar persamaan kuadrat $x^2-3x+1 = 0 $ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1+\frac{1}{x_1} $ dan $x_2+\frac{1}{x_2} $ adalah ....
A). $ x^2 + 6x + 9 = 0 $
B). $ x^2 - 6x - 9 = 0 $
C). $ x^2 - 6x + 9 = 0 $
D). $ x^2 - 3x + 9 = 0 $
E). $ x^2 - 3x - 9 = 0 $

$\spadesuit $ Jawaban : C
$\clubsuit $ Pembahasan :
$\spadesuit \, $ Persamaan : $x^2-3x+1 = 0 $
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \, \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) = (3)^2 - 2. 1 = 9- 2 = 7 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil jumlah (HJ) dan kali (HK)
$\begin{align} HJ & = (x_1+\frac{1}{x_1} ) + ( x_2+\frac{1}{x_2} ) \\ & = (x_1+x_2) + \left( \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2} \right) \\ & = (x_1+x_2) + \left( \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2} \right) \\ & = 3 + \left( \frac{3}{1} \right) = 3+ 3 = 6 \end{align}$ $\begin{align} HK & = (x_1+\frac{1}{x_1} ) . ( x_2+\frac{1}{x_2} ) \\ & = x_1.x_2 + \left( \frac{x_1}{x_2}+ \frac{x_2}{x_1} \right) + \frac{1}{x_1.x_2} \\ & = x_1.x_2 + \left( \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2} \right) + \frac{1}{x_1.x_2} \\ & = 1 + \left( \frac{7}{1} \right) + \frac{1}{1} \\ & = 1 + 7 + 1 = 9 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat
Rumus dasar : $x^2 -(HJ)x + HK = 0 $
PK : $x^2 -(HJ)x + HK = 0 \rightarrow x^2 - 6x + 9 = 0 $
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 - 6x + 9 = 0 . \heartsuit $

       Tentu, beberapa contoh soal di atas masih terasa kurang jika benar-benar ingin menguasai berbagai variasi soal-soal persamaan kuadrat seleksi PTN. Untuk lebih memaksimalkan belajarnya, silahkan sahabat koma kunjungi link berikut :
Kumpulan soal Persamaan Kuadrat seleksi PTN .

       Demikian pembahasan materi Ringkasan Persamaan Kuadrat Soshum - umptn dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) bidang Matematika pada link Daftar Materi UMPTN Bidang Matematika. Jika ada saran atau kritikan atau lainnya yang sifatnya membangaun, silahkan untuk tulis komen pada kolom komentar dibagian bawah setiap artikel. Semoga artikel ini bermanfaat. Terimakasih.