Rotasi pada Transformasi Geometri memiliki putaran sebesar sudut tertentu misalkan sebesar $ \theta $ dengan arah perputaran ada dua jenis yaitu rotasi searah jarum jam dan rotasi berlawanan arah jarum jam. Yang membedakan adalah besar sudutnya dimana searah jarum jam sudut bernilai negatif dan rotasi berlawanan arah jarum jam sudut bernilai positif. Rotasi pada transformasi geometri juga membutuhkan titik acuan atau disebut titik pusat yang merupakan sebagai sumbu putarnya. Titik pusat rotasi dibagi menjadi dua yaitu titik pusat (0,0) dan titik pusat P($a,b$) dengan $ a $ atau $ b $ keduanya tidak nol.
Seperti jenis-jenis transformasi lain yang sudah kita bahas, Rotasi juga memiliki matriks transformasi geometri yang berbentuk $ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $ dengan sudut $ \theta $ menyatakan besar sudut perputarannya dan nilainya bisa positif atau bisa juga negatif tergantung dari arah putaran. Untuk pembuktian matriks rotasi ini, teman-teman bisa membacanya di bagian akhir artikel ini.
Sifat-sifat Rotasi pada transformasi geometri
Suatu benda atau bangun jika dirotasikan maka akan memiliki beberapa sifat yaitu :
i). Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
ii). Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.
i). Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
ii). Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.
Simbol Penulisan Rotasi dan Matriks Rotasinya
Dalam mengerjakan soal-soal Rotasi, terkadang tidak langsung menggunakan perintah lengkap namun dalam bentuk simbol
rotasi. Berikut simbol penulisan rotasi dan maknanya berdasarkan jenis titik pusatnya :
*). Rotasi titik pusat (0,0)
1). simbol R[O,$\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat (0,0) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan berlawanan arah jarum jam, nilai $ \theta = \alpha $.
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) $
2). simbol R[O,$-\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat (0,0) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan searah jarum jam, nilai $ \theta = -\alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos (-\alpha ) & -\sin (-\alpha ) \\ \sin (-\alpha ) & \cos (-\alpha ) \end{matrix} \right) $
*). Rotasi titik pusat ($a,b$)
1). simbol R[P($a,b$),$\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat ($a,b$) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan berlawanan arah jarum jam, nilai $ \theta = \alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) $
2). simbol R[P($a,b$),$-\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat ($a,b$) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan searah jarum jam, nilai $ \theta = -\alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos (-\alpha ) & -\sin (-\alpha ) \\ \sin (-\alpha ) & \cos (-\alpha ) \end{matrix} \right) $
*). Rotasi titik pusat (0,0)
1). simbol R[O,$\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat (0,0) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan berlawanan arah jarum jam, nilai $ \theta = \alpha $.
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) $
2). simbol R[O,$-\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat (0,0) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan searah jarum jam, nilai $ \theta = -\alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos (-\alpha ) & -\sin (-\alpha ) \\ \sin (-\alpha ) & \cos (-\alpha ) \end{matrix} \right) $
*). Rotasi titik pusat ($a,b$)
1). simbol R[P($a,b$),$\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat ($a,b$) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan berlawanan arah jarum jam, nilai $ \theta = \alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) $
2). simbol R[P($a,b$),$-\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat ($a,b$) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan searah jarum jam, nilai $ \theta = -\alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos (-\alpha ) & -\sin (-\alpha ) \\ \sin (-\alpha ) & \cos (-\alpha ) \end{matrix} \right) $
*). Karena besar sudut putaran ada yang positif dan ada yang negatif, maka akan berpengaruh pada nilai sin dan cos sudut positif atau negatif yaitu : $ \cos ( - \alpha ) = \cos \alpha $ dan $ \sin (- \alpha ) = - \sin \alpha $.
*). Secara umum dituliskan matriks rotasi adalah $ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
Contoh soal :
1). Tentukan simbol rotasi dan matriks rotasi dari masing-masing soal berikut ini :
a). Suatu rotasi dengan pusat (0,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 60^\circ $.
b). Suatu rotasi dengan pusat (1,-3) diputar berlawanan arah jarum jam sejauh $ 30^\circ $
c). Suatu rotasi dengan pusat (-2,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 150^\circ $.
Penyelesaian :
a). Suatu rotasi dengan pusat (0,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 60^\circ $.
simbolnya : R[O,$ -60^\circ $] , dengan $ \theta = -60^\circ $.
Matriks rotasinya :
$ M = \left( \begin{matrix} \cos (-60^\circ ) & -\sin (-60^\circ ) \\ \sin (-60^\circ ) & \cos (-60^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 60^\circ & \sin 60^\circ \\ -\sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) $.
Bentuk: $ -\sin (-60^\circ ) = - ( - \sin 60^\circ ) = \sin 60^\circ $
b). Suatu rotasi dengan pusat (1,-3) diputar berlawanan arah jarum jam sejauh $ 30^\circ $
simbolnya : R[P(1,-3),$ 30^\circ $] , dengan $ \theta = 30^\circ $.
Matriks rotasinya :
$ M = \left( \begin{matrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right)$.
c). Suatu rotasi dengan pusat (-2,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 150^\circ $.
simbolnya : R[P(-2,0),$ -150^\circ $] , dengan $ \theta = -150^\circ $.
Nilai : $ \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \, $ dan $ \cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} $
Matriks rotasinya :
$ M = \left( \begin{matrix} \cos (-150^\circ ) & -\sin (-150^\circ ) \\ \sin (-150^\circ ) & \cos (-150^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 150^\circ & \sin 150^\circ \\ -\sin 150^\circ & \cos 150^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right) $.
Bentuk: $ -\sin (-150^\circ ) = - ( - \sin 150^\circ ) = \sin 150^\circ $
2). Tentukan arti dari simbol rotas berikut ini.
a). R[O,$120^\circ$]
b). R[P(2,-3),$-90^\circ$]
Penyelesaian :
a). R[O,$120^\circ$]
artinya rotasi dengan pusat (0,0) dan berlawanan arah jarum jam dengan sudut sebesar $ 120^\circ $, nilai $ \theta = 120^\circ $.
b). R[P(2,-3),$-90^\circ$]
artinya rotasi dengan pusat $(a,b) = (2,-3) $ dan searah jarum jam dengan sudut sebesar $ 90^\circ $, nilai $ \theta = -90^\circ $.
Cara Penghitungan Rotasi pada Transformasi Geometri
Untuk mencari bayangan oleh suatu rotasi menggunakan rumus umum transformasi geometri yaitu :
bayangan = Matriks $ \times $ awal.
Untuk lebih detail penghitungan rotasi, kita bagi menjadi dua berdasarkan titik pusatnya yaitu :
1). Titik pusat (0,0) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
2). Titik pusat P($a,b$) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
bayangan = Matriks $ \times $ awal.
Untuk lebih detail penghitungan rotasi, kita bagi menjadi dua berdasarkan titik pusatnya yaitu :
1). Titik pusat (0,0) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
2). Titik pusat P($a,b$) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
3). Tentukan bayangan titik masing-masing soal berikut ini :
a). Titik A(1,3) oleh rotasi sejauh $ 30^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan pusat (0,0).
b). Titik B(-2,1) oleh rotasi sejauh $ 60^\circ $ searah jarum jam dengan pusat (3,5).
c). Titik C(3,-2) oleh R[(4,2),$90^\circ$].
Penyelesaian :
a). Titik A(1,3) oleh rotasi sejauh $ 30^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan pusat (0,0).
*). Pusat (0,0) dan $ \theta = 30^\circ $ (positif karena berlawanan).
*). Menentukan bayangan titik A(1,3) :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} -\frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}(\sqrt{3} -3) \\ \frac{1}{2}(1 + 3\sqrt{3}) \end{matrix} \right) \end{align} $
jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (\frac{1}{2}(\sqrt{3} -3), \frac{1}{2}(1 + 3\sqrt{3}) ) . \, \heartsuit $
b). Titik B(-2,1) oleh rotasi sejauh $ 60^\circ $ searah jarum jam dengan pusat (3,5).
*). Pusat $ (a,b) = (3,5) $ dan $ \theta = - 60^\circ $ (positif karena searah).
*). Menentukan bayangan titik B(-2,1) :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (- 60^\circ ) & -\sin (- 60^\circ ) \\ \sin (- 60^\circ ) & \cos (- 60^\circ ) \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -2 - 3 \\ 1-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 60^\circ & \sin 60^\circ \\ -\sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -5 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -5 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{-5}{2} + \frac{-4}{2}\sqrt{3} \\ \frac{5}{2}\sqrt{3} + \frac{-4}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{-5}{2} + \frac{-4}{2}\sqrt{3} + 3 \\ \frac{5}{2}\sqrt{3} + \frac{-4}{2} + 5 \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (\frac{1}{2}(\sqrt{3} -3), \frac{1}{2}(1 + 3\sqrt{3}) ) . \, \heartsuit $
c). Titik C(3,-2) oleh R[(4,2),$90^\circ$].
*). Pusat $ (a,b) = (4,2) $ dan $ \theta = 90^\circ $ (positif sesuai pada simbol rotasi).
*). Menentukan bayangan titik C(3,-2) :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 -4 \\ -2-2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
jadi, bayangan titik C adalah $ C^\prime (8,1) . \, \heartsuit $
Untuk memudahkan menentukan bayangan suatu persamaan yang dirotasi, kita menggunakan sifat invers yaitu :
$ AB = C \rightarrow B = A^{-1}.C \, $ dengan $ A^{-1} $ adalah invers dari matriks A.
*). Invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc } \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $ .
*). identitas trigonometri : $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $.
*). Menentukan invers matriks $ A = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{\cos \theta . \cos \theta - \sin \theta . (-\sin \theta)} \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta } \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{1 } \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
4). Tentukan bayangan persamaan $ -x + 3y + 5 = 0 $ jika dirotasi sejauh $ 120^\circ $ berlawanan arah jarum jam?
Penyelesaian :
*). Jika tidak disebutkan titik pusat pada soal, maka pasti dianggap titik pusatnya adalah (0,0). Nilai $ \theta = 120^\circ $ (posotif karena berlawanan).
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 120^\circ & \sin 120^\circ \\ -\sin 120^\circ & \cos 120^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}x^\prime + \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3}x^\prime - \frac{1}{2}y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x = -\frac{1}{2}x^\prime + \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime $
$ y = -\frac{1}{2}\sqrt{3}x^\prime - \frac{1}{2}y^\prime $.
*). Substitusi bentuk yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya.
$ \begin{align} -x + 3y + 5 & = 0 \\ -(-\frac{1}{2}x^\prime + \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime ) + 3(-\frac{1}{2}\sqrt{3}x^\prime - \frac{1}{2}y^\prime) + 5 & = 0 \\ \frac{1}{2}x^\prime - \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime -\frac{3}{2}\sqrt{3}x^\prime - \frac{3}{2}y^\prime) + 5 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ x^\prime - \sqrt{3}y^\prime -3\sqrt{3}x^\prime - 3y^\prime) + 10 & = 0 \\ ( 1 - 3\sqrt{3}) x^\prime - ( \sqrt{3} + 3)y^\prime + 10 & = 0 \end{align} $
Sehingga bayangannya $ ( 1 - 3\sqrt{3}) x^\prime - ( \sqrt{3} + 3)y^\prime + 10 = 0 $ atau
$ ( 1 - 3\sqrt{3}) x - ( \sqrt{3} + 3)y + 10 = 0 $
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ ( 1 - 3\sqrt{3}) x - ( \sqrt{3} + 3)y + 10 = 0 . \, \heartsuit $.
5). Tentukan bayangan persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 = 0 $ jika dirotasi searah jarum jam sebesar $ 180^\circ $ dengan titik pusat (-1,2).!
Penyelesaian :
*). Pusat $ (a,b) = (-1,2) \, $ dan $ \theta = - 180^\circ $ (negatif karena searah)
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x -a \\ y -b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x -a \\ y -b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} x^\prime -a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x - (-1) \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos -180^\circ & \sin -180^\circ \\ -\sin -180^\circ & \cos -180^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime - (-1) \\ y^\prime -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x + 1 \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime +1 \\ y^\prime -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x + 1 \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime +1 \\ y^\prime -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x + 1 \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x^\prime -1 \\ -y^\prime +2 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x + 1 = -x^\prime -1 \rightarrow x = -x^\prime - 2 $
$ y - 2 = -y^\prime +2 \rightarrow y = -y^\prime + 4 $
*). Substitusi bentuk yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya.
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 & = 0 \\ (-x^\prime - 2)^2 + (-y^\prime + 4)^2 - 2(-x^\prime - 2) + 3(-y^\prime + 4) + 2 & = 0 \\ ({x^\prime}^2 + 4x^\prime + 4) + ({y^\prime}^2 - 8y^\prime + 16) + 2x^\prime + 4 -3y^\prime + 12 + 2 & = 0 \\ {x^\prime}^2 + {y^\prime}^2 + 6x^\prime -11y^\prime + 38 & = 0 \end{align} $
sehingga persamaan bayangannya yaitu $ {x^\prime}^2 + {y^\prime}^2 + 6x^\prime -11y^\prime + 38 = 0 $ atau $ x^2 + y^2 + 4x + 5y + 38 = 0 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x^2 + y^2 + 6x -11y + 38 = 0 . \, \heartsuit $.
6). Pada soal nomor (5) di atas, tentukanlah luas lingkaran persamaan bayangannya? Apakah terjadi perubahan luas dari luas awal dan luas bayangannya?
Penyelesaian :
*). Dari soal nomor (5), diketahui persamaan lingkarannya :
Persamaan awal : $ x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 = 0 $
Persamaan bayangannya : $ x^2 + y^2 + 6x -11y + 38 = 0 $
*). Cara menentukan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkarannya :
Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
jari-jari : $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C $
*). Menentukan jari-jari masing-masing lingkaran dan luasnya :
-). Persamaan awal : $ x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 = 0 \rightarrow A = -2, B = 3, C = 2 $
$ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C = \frac{1}{4}.(-2)^2 + \frac{1}{4}.3^2 - 2 = \frac{5}{4} $
Luas awal $ = \pi r^2 = \pi . \frac{5}{4} = \frac{5}{4}\pi $.
-). Persamaan bayangan : $ x^2 + y^2 + 6x -11y + 38 = 0 \rightarrow A = 6, B = -11, C = 38 $
$ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C = \frac{1}{4}.(6)^2 + \frac{1}{4}.(-11)^2 - 38 = \frac{5}{4} $
Luas bayangan $ = \pi r^2 = \pi . \frac{5}{4} = \frac{5}{4}\pi $.
Jadi, luas bayangannya adalah $ \frac{5}{4}\pi . \, \heartsuit $.
*). Ternyata luas bayangan dan luas awalnya sama yaitu $ \frac{5}{4}\pi $ satuan luas. Ini sesuai dengan sifat dari rotasi di atas yaitu rotasi suatu bangun tidak merubah bentuk dan ukuran bangun tersebut.
Pembuktian Matriks Rotasi pada transformasi geometri
Telah kita tuliskan bahwa matriks rotasi dengan sudut sebesar $ \theta $ yaitu
$ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $.
Langsung saja kita lihat pembuktiannya berikut ini.
$ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $.
Langsung saja kita lihat pembuktiannya berikut ini.
i). Koordinat cartesius dan koordinat kutub,
koordinat cartesius : $ (p,q) $
koordinat kutubnya : $ (r\cos \beta , r\sin \beta ) $
dengan $ r = \sqrt{p^2 + q^2} \, $ dan $ \tan \beta = \frac{q}{p} $ .
$ \beta = \, $ sudut titik $(p,q) $ terhadap sumbu X positif.
dari kedua koordinat, $ p = r\cos \beta $ dan $ q = r\sin \beta $.
ii). Rumus jumlah sudut pada trogonometri :
$ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
Proses pembuktian :
*). Misalkan terdapat titik A($p,q$) yang dirotasi sebesar $ \theta $ dengan titik pusat O(0,0) sehingga diperoleh bayangan $A^\prime (p^\prime , q^\prime ) $ seperti gambar berikut ini.
-). Titik A($p,q$) membentuk sudut $ \alpha $ terhadap sumbu X positif.
$ A(p,q) = A ( r \cos \alpha , r \sin \alpha ) $
artinya $ p = r \cos \alpha $ dan $ q = r \sin \alpha $.
-). Titik $ A^\prime (p^\prime , q^\prime ) $ membentuk sudut $ ( \alpha + \theta ) $ terhadap sumbu X positif.
$ A^\prime (p^\prime , q^\prime ) = A ( r \cos ( \alpha + \theta ) , r \sin ( \alpha + \theta ) ) $
artinya $ p^\prime = r \cos ( \alpha + \theta ) $ dan $ q^\prime = r \sin ( \alpha + \theta ) $.
*). Kita proses bentuk titik $A^\prime (p^\prime , q^\prime ) $ , dan dengan menggunakan rumus jumlah sudut serta bentuk $ p = r \cos \alpha $ dan $ q = r \sin \alpha $, yaitu :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} p^\prime \\ q^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} r \cos ( \alpha + \theta ) \\ r \sin ( \alpha + \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r (\cos \alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin \theta \\ r (\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r \cos \alpha \cos \theta - r\sin \alpha \sin \theta \\ r \sin \alpha \cos \theta + r\cos \alpha \sin \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} (r \cos \alpha ) \cos \theta - (r\sin \alpha) \sin \theta \\ (r \sin \alpha) \cos \theta + (r\cos \alpha) \sin \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} p \cos \theta - q \sin \theta \\ q \cos \theta + p \sin \theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} p \cos \theta - q \sin \theta \\ p \sin \theta + q \cos \theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ \left( \begin{matrix} p^\prime \\ q^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) $
Berdasarkan rumus umum transformasi geometri :
Bayangan = Matriks $ \times $ awal ,
Sehingga matriks rotasinya adalah $ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $.
Jadi, sudah terbukti yang kita harapkan.
Demikian pembahasan materi Rotasi pada Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Refleksi pada Transformasi Geometri.
