Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi. Tentu teman-teman tidak asing dengan kata pencerminan yang hampir setiap hari kita lakukan yaitu ketika berkaca pada sebuah cermin untuk berdandan atau bergaya. Refleksi atau Pencerminan merupakan salah satu jenis dari transformasi geometri. Dalam transformasi geometri, bangun atau benda yang kita refleksikan berupa titik, kurva, dan bangun datar atau ruang. Sementara yang menjadi cermin di sini adalah sebuah garis. Refleksi atau pencerminan merupakan transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang dipindahkan. Sifat bayangan cermin yaitu jarak antara benda asli dengan cermin akan sama dengan jarak titik bayangan ke cermin, serta ukuran dan bentuknya sama.

         Seperti jenis transformasi geometri lainnya, Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi juga melibatkan bentuk "matriks transformasi geometri". Hanya saja, bentuk matriksnya cukup banyak tergantuk dari jenis pencerminannya misalkan terhadap sumbu X, sumbu Y, garis $ y = x $ dan garis $ y = -x $. Untuk penghitungannya, kita juga menggunakan rumus umum transformasi geometri yaitu $ \text{bayangan } = \text{ Matriks } \times \text{ awalnya} $. Untuk memudahkan mempelajari materi refleksi atau pencerminan, sebaiknya teman-teman menguasai materi operasi hitung pada matriks terlebih dahulu.

Sifat-sifat Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi

       Berikut beberapa sifat dari Refleksi atau pencerminan yaitu :
i). Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
ii). Jarak bangun (objek) dari cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.

Perhatikan gambar berikut,

Matriks Transformasi dan Cara Penghitungannya untuk refleksi

       Berikut adalah matriks transformasi untuk refleksi berdasarkan garis sebagai cerminnya yaitu :
*). Pencerminan terhadap sumbu X
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (a , -b) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap sumbu Y
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (-a , b) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ y = x $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (b,a) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ y = -x $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (-b,-a) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap titik asal yaitu pusat koordinat (0,0)
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (-a,-b) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ x = h $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2h-a,b) $.
$\begin{align} a^\prime = 2h - a & \rightarrow a^\prime = (-1.a + 0 . b )+ 2h \\ b^\prime = b & \rightarrow b^\prime = (0.a + 1. b )+ 0 \\ \end{align} $
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2h \\ 0 \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ y = k $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (a, 2k - b) $.
$\begin{align} a^\prime = a & \rightarrow a^\prime = (1.a + 0 . b )+ 0 \\ b^\prime = 2k - b & \rightarrow b^\prime = (0.a + -1. b )+ 2k \\ \end{align} $
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) $

gambar pencerminannya :

Contoh Soal Refleksi atau pencerminan :
1). Tentukan bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) jika dicerminkan terhadap :
a). Sumbu X,
b). Sumbu Y,
c). garis $ y = x $
d). titik asal,
e). garis $ x = 7 $.

Penyelesaian :
*). Untuk soal bagian (a) sampai dengan (d) kita kerjakan sekaligus (bukan titik A atau B atau C sendiri-sendiri).
a). Sumbu X,
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Untuk menentukan bayangan beberapa titik dengan matriks yang sama, bisa menghitung satu-satu atau bisa juga langsung semua titik.
*). Misalkan menghitung bayangan titik A(1,2) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik A adalah $ A^\prime (1,-2) $.

*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ -2 & 1 & 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (1,-2), \, B^\prime (3,1) \, $ dan $ C^\prime (-4,6) $.

b). Sumbu Y,
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & -3 & 4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (-1,2), \, B^\prime (-3,-1) \, $ dan $ C^\prime (4,-6) $.

c). garis $ y = x $
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & -6 \\ 1 & 3 & -4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (2,1), \, B^\prime (-1,3) \, $ dan $ C^\prime (-6,-4) $.

d). titik asal,
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & -3 & 4 \\ -2 & 1 & 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (-1,-2), \, B^\prime (-3,1) \, $ dan $ C^\prime (4,6) $.

2). Tentukan bayangan titik P(2,-5) jika direfleksikan terhadap :
a). garis $ x = 3 $
b). garis $ y = - 4 $

Penyelesaian :
a). garis $ x = 3 $
Pencerminan titik A(2,-5) oleh garis $ x = 3 $, artinya $ h = 3 $ , bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2h \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2. 3 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (4,-5). \, \heartsuit $.

b). garis $ y = - 4 $
Pencerminan titik A(2,-5) oleh garis $ y = -4 $, artinya $ k = -4 $ , bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2.(-4) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -8 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (2,-3). \, \heartsuit $.

3). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^3 - 2x + 1 $ jika dicerminkan terhadap sumbu X.!

Penyelesaian :
*). Matriks pencerminan terhadap sumbu X :
$ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = x \rightarrow x = x^\prime $
$ y^\prime = -y \rightarrow y = -y^\prime $.
*). Substitusi bentuk $ x = x^\prime $ dan $ y = -y^\prime $ ke persamaan awalnya sehingga kita dapatkan persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^3 - 2x + 1 \\ -y^\prime & = {x^\prime}^3 - 2x^\prime + 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ y^\prime & = -{x^\prime}^3 + 2x^\prime - 1 \end{align} $
sehingga bayangannya $ y^\prime = -{x^\prime}^3 + 2x^\prime - 1 $ atau $ y = -x^3 + 2x - 1 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ y = -x^3 + 2x - 1 . \, \heartsuit $

4). Tentukan bayangan persamaan $ x^3 - xy^2 + 3xy - y + 1 = 0 $ jika direfleksikan oleh garis $ x = -5 $!

Penyelesaian :
Pencerminan oleh garis $ x = -5 $, artinya $ h = -5 $
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2h \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2. (-5) \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -10 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x - 10 \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = -x - 10 \rightarrow x = - x^\prime - 10 $
$ y^\prime = y \rightarrow y = y^\prime $.
*). Substitusi bentuk $ x = - x^\prime - 10 $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awalnya sehingga kita dapatkan persamaan bayangannya :
$ \begin{align} x^3 - xy^2 + 3xy - y + 1 & = 0 \\ (- x^\prime - 10)^3 - (- x^\prime - 10){y^\prime}^2 + 3(- x^\prime - 10)y^\prime - y^\prime + 1 & = 0 \\ -(x^\prime + 10)^3 + (x^\prime + 10){y^\prime}^2 - 3(x^\prime + 10)y^\prime - y^\prime + 1 & = 0 \end{align} $

sehingga bayangannya $ -(x^\prime + 10)^3 + (x^\prime + 10){y^\prime}^2 - 3(x^\prime + 10)y^\prime - y^\prime + 1 = 0 $
atau $ -(x + 10)^3 + (x + 10){y}^2 - 3(x + 10)y - y + 1 = 0 $.
Jadi, bayangannya adalah $ -(x + 10)^3 + (x + 10){y}^2 - 3(x + 10)y - y + 1 = 0 . \, \heartsuit $.

5). Suatu persamaan garis dicerminkan terhadap garis $ y = 2 $ menghasilkan bayangan $ 3x - y - 1 = 0 $ . Tentukan persamaan awal garis tersebut!

Penyelesaian :
*). Pencerminan terhadap garis $ y = 2 $ , artinya $ k = 2 $.
*). Persamaan bayangannya : $ 3x - y - 1 $ atau $ 3x^\prime - y^\prime - 1 = 0 $.
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2.2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -y + 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = x $
$ y^\prime = -y + 4 $.
*). Substitusi bentuk $ x^\prime = x $ dan $ y^\prime = -y + 4 $ ke persamaan bayangannya sehingga kita dapatkan persamaan awalnya :
$ \begin{align} 3x^\prime - y^\prime - 1 & = 0 \\ 3x - ( - y + 4) - 1 & = 0 \\ 3x + y - 4 - 1 & = 0 \\ 3x + y - 5 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan awalnya adalah $ 3x+y - 5 = 0 . \, \heartsuit $.

       Refleksi atau pencerminan selain terhadap garis vertikal atau garis horizontal, juga dapat dilakukan pencerminan terhadap garis yang lainnya yaitu terhdap garis $ y = mx + c $ atau terhadap garis $ ax + by + c = 0 $. Untuk pencerminan tipe ini, akan kita bahas pada artikel lainnya secara lebih mendalam. Silahkan teman-teman ikuti link : "Pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $".

       Demikian pembahasan materi Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "regangan dan gusuran".