Konsep Teorema Sisa pada Suku Banyak
Teorema Sisa 1
Jika suku banyak $ f(x) $ dibagi ($x - k$), maka sisa pembagiannya adalah $ f(k) $.
atau dapat ditulis : $ \begin{align} \frac{f(x)}{x-k} \rightarrow \text{ Sisa } = f(k) \end{align} $.
Teorema Sisa 2
Jika suku banyak $ f(x) $ dibagi ($ax + b$), maka sisa pembagiannya adalah $ f \left( -\frac{b}{a} \right) $.
atau dapat ditulis : $ \begin{align} \frac{f(x)}{ax+b} \rightarrow \text{ Sisa } = f \left( -\frac{b}{a} \right) \end{align} $.
Teorema Sisa 3
Jika suatu suku banyak $ f(x) $ dibagi $ (x - a)(x - b) $, maka sisanya adalah $ px + q \, $ di mana $ f(a) = pa + q \, $ dan $ f(b) = pb + q $ .
dapat ditulis :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{(x-a)(x-b)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(a) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(b) \end{align} $.
Catatan :
*). Yang disubstitusi ke suku banyaknya adalah akar-akar dari pembaginya dengan cara disamadengankan nol.
teorema sisa 1 : pembaginya ($x-k$), akarnya $ x - k = 0 \rightarrow x = k $.
teorema sisa 2 : pembaginya ($ax + b$),
akarnya $ ax + b = 0 \rightarrow x = -\frac{b}{a} $.
teorema sisa 3 : pembaginya $ \, (x-a)(x-b)$,
akarnya $ (x-a)(x-b) = 0 \rightarrow x = a \, \text{ atau } \, x = b $.
Jika suku banyak $ f(x) $ dibagi ($x - k$), maka sisa pembagiannya adalah $ f(k) $.
atau dapat ditulis : $ \begin{align} \frac{f(x)}{x-k} \rightarrow \text{ Sisa } = f(k) \end{align} $.
Teorema Sisa 2
Jika suku banyak $ f(x) $ dibagi ($ax + b$), maka sisa pembagiannya adalah $ f \left( -\frac{b}{a} \right) $.
atau dapat ditulis : $ \begin{align} \frac{f(x)}{ax+b} \rightarrow \text{ Sisa } = f \left( -\frac{b}{a} \right) \end{align} $.
Teorema Sisa 3
Jika suatu suku banyak $ f(x) $ dibagi $ (x - a)(x - b) $, maka sisanya adalah $ px + q \, $ di mana $ f(a) = pa + q \, $ dan $ f(b) = pb + q $ .
dapat ditulis :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{(x-a)(x-b)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(a) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(b) \end{align} $.
Catatan :
*). Yang disubstitusi ke suku banyaknya adalah akar-akar dari pembaginya dengan cara disamadengankan nol.
teorema sisa 1 : pembaginya ($x-k$), akarnya $ x - k = 0 \rightarrow x = k $.
teorema sisa 2 : pembaginya ($ax + b$),
akarnya $ ax + b = 0 \rightarrow x = -\frac{b}{a} $.
teorema sisa 3 : pembaginya $ \, (x-a)(x-b)$,
akarnya $ (x-a)(x-b) = 0 \rightarrow x = a \, \text{ atau } \, x = b $.
1). Tentukanlah sisa pembagian dari $ f(x) = x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \, $ dibagi ($x + 2$).
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 1 : $ \begin{align} \frac{f(x)}{x+2} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \end{align} $
$ \begin{align} f(x) & = x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ & = (-2)^3 + 4.(-2)^2 + 6(-2) + 5 \\ & = -8 + 4.4 -12 + 5 \\ & = -8 + 16 -12 + 5 \\ & = 1 \end{align} $
Sehingga sisa pembagiannya adalah 1.
*). Cara Skema Horner :
Akar pembaginya : $ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 $.
Koefisien suku banyak : $ x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \, $ adalah $ 1, \, 4, \, 6, \, 5 $.
2). Tentukan sisa pembagian dari $ f(x) = 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \, $ dibagi ($5x + 1$).
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 2 : $ \begin{align} \frac{f(x)}{5x + 1} \rightarrow \text{ Sisa } = f \left( - \frac{1}{5} \right) \end{align} $
$ \begin{align} f(x) & = 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \\ \text{ Sisa } & = f \left( - \frac{1}{5} \right) \\ & = 5\left( - \frac{1}{5} \right)^3 + 21 \left( - \frac{1}{5} \right)^2 + 9\left( - \frac{1}{5} \right) - 1 \\ & = 5\left( - \frac{1}{125} \right) + 21 \left( \frac{1}{25} \right) + 9\left( - \frac{1}{5} \right) - 1 \\ & = - \frac{5}{125} + \left( \frac{21}{25} \right) - \frac{9}{5} - 1 \\ & = - \frac{1}{25} + \left( \frac{21}{25} \right) - \frac{45}{25} - 1 \\ & = - \frac{25}{25} - 1 \\ & = - 1 - 1 \\ & = -2 \end{align} $
Sehingga sisa pembagiannya adalah $ - 2 $ .
*). Cara Skema Horner :
Akar pembaginya : $ 5x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{5} $.
Koefisien suku banyak : $ 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \, $ adalah $ 5, \, 21, \, 9, \, -1 $.
3). Jika $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1 \, $ dibagi $ x^2 + x - 2 $ , tentukanlah sisa pembagiannya.
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 3 :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 + x - 2} = \frac{f(x)}{(x+2)(x-1)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) \end{align} $
*). Karena pembaginya berderajat 2, maka sisa pembagiannya maksimal berderajat 1.
misalkan sisanya : sisa $ = mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 3(-2) - 1 \\ -2m + n & = -23 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(1) \\ m(1) + n & = f(1) \\ m + n & = (1)^3 - 2.(1)^2 + 3(1) - 1 \\ m + n & = 1 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} m + n = 1 & \\ -2m + n = -23 & - \\ \hline 3m = 24 & \\ m = 8 & \end{array} $
Pers(ii) : $ m + n = 1 \rightarrow 8 + n = 1 \rightarrow n = -7 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = 8x - 7 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, 8x - 7 $.
Konsep Teorema Faktor pada Suku Banyak
Jika suku banyak $ f(x) $ suatu suku banyak, maka ($x - k$) merupakan faktor dari $ f(x) $ jika dan
hanya jika $ f(k) = 0 $.
Hubungan Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak
Misalkan suku banyak $ f(x) \, $ dibagi dengan ($ x - k$) memberikan sisa = 0, maka
bentuk ($x - k$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) $. Dengan kata lain, jika bentuk ($x-k$) adalah faktor maka sisanya nol atau suku banyak
$ f(x) $ habis dibagi oleh ($x-k$).
4). Tunjukkan bahwa ($x + 5$) merupakan faktor dari $ P(x) = x^3 + 4x^2 + 11x + 80$.
Penyelesaian :
*). ($x + 5$) adalah faktor dari $ P(x) = x^3 + 4x^2 + 11x + 80 \, $ jika memenuhi $ P(-5) = 0 $.
*). Kita cek apakah $ P(-5) = 0 \, $ atau tidak.
$ \begin{align} P(x) & = x^3 + 4x^2 + 11x + 80 \\ P(-5) & = (-5)^3 + 4(-5)^2 + 11(-5) + 80 \\ & = -125 + 4(25) - 55 + 80 \\ & = -125 + 100 - 55 + 80 \\ & = 0 \end{align} $
Karena nilai $ P(-5) = 0 , \, $ maka benar bentuk ($x+5$) adalah faktor dari $ P(x) $.
5). Jika ($x - 1$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $, maka tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ dengan ($x+1$).
Penyelesaian :
*). ($x - 1$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $, maka berlaku $ f(1) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \\ f(1) & = 0 \\ a.1^{2017} - b.1^{2015} + 4 & = 0 \\ a - b + 4 & = 0 \\ a - b & = - 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ -a + b & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $ dibagi ($x + 1$), maka sisa $ = f(-1) $.
Gunakan pers(i) di atas juga.
$ \begin{align} f(x) & = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \\ \text{sisa } & = f(-1) \\ & = a.(-1)^{2017} - b.(-1)^{2015} + 4 \\ & = a.(-1) - b.(-1) + 4 \\ & = -a + b + 4 \\ & = (-a + b) + 4 \, \, \, \, \, \text{ ........(gunakan pers(i))} \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh ($x+1$) adalah 8.
6). Diketahui $ f(x) \, $ dibagi ($x-1$) bersisa 2 dan $ f(x) \, $ dibagi ($x+2$) bersisa -1. Tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 + x - 2 $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x-1} \rightarrow \text{ Sisa } = f(1) \end{align} , \, $ dengan sisa 3
artinya $ f(1) = 2 $.
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x+2} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \end{align} , \, $ dengan sisa -1
artinya $ f(-2) = -1 $.
*). pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) $, karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya kita misalkan $ mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(1) \\ m(1) + n & = f(1) \\ m + n & = 2 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} m + n = 2 & \\ -2m + n = -1 & - \\ \hline 3m = 3 & \\ m = 1 & \end{array} $
Pers(ii) : $ m + n = 2 \rightarrow 1 + n = 2 \rightarrow n = 1 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = 1.x + 1 = x + 1 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, x + 1 $.
7). Suku banyak $ f(x) \, $ dibagi dengan $ x^2 - 2x -8 \, $ memberikan sisa $ 2x +3 \, $ dan dibagi dengan $ x^2 + x - 6 \, $ memberikan sisa $ x - 1$ . Tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 - 4 $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 - 2x -8} = \frac{f(x)}{(x+2)(x-4)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(4) \end{align} $
dengan sisa $ (2x +3 ) , \, $ sehingga :
$ \text{ Sisa } = f(-2) \rightarrow f(-2) = 2.(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 $.
$ \text{ Sisa } = f(4) \rightarrow f(4) = 2.(4) + 3 = 8 + 3 = 11 $.
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 + x - 6} = \frac{f(x)}{(x-2)(x+3)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(-3) \end{align} $
dengan sisa $ ( x - 1 ) , \, $ sehingga :
$ \text{ Sisa } = f(2) \rightarrow f(2) = 2 - 1 = 1 $.
$ \text{ Sisa } = f(-3) \rightarrow f(-3) = -3 - 1 = -4 $.
*). pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 - 4 = (x+2)(x-2) $, karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya kita misalkan $ mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
Disini kita hanya menggunakan nilai fungsi $ f(-2) = -1 \, $ dan $ f(2) = 1 \, $ sesuai akar-akar pembaginya.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(2) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(2) \\ m(2) + n & = f(1) \\ 2m + n & = 1 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} 2m + n = 1 & \\ -2m + n = -1 & - \\ \hline 4m = 2 & \\ m = \frac{1}{2} & \end{array} $
Pers(ii) : $ 2m + n = 1 \rightarrow 2.(\frac{1}{2} ) + n = 1 \rightarrow n = 0 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = \frac{1}{2}x + 0 = \frac{1}{2}x $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, \frac{1}{2}x $.
8). Suku banyak $ Q(2x - 3) \, $ dibagi dengan ($ x - 1 $) memberikan sisa 4.
Tentukan sisa pembagian suku banyak $ P(x) = (x^2 - 3x + 4). Q(x) + x^2 + x -2 \, $ oleh ($x + 1 $).
Penyelesaian :
*). $ \begin{align} \frac{Q(2x-3)}{x-1} \rightarrow \text{ Sisa } = Q(2.1-3) = Q(-1) \end{align} , \, $ dengan sisa 4
artinya $ Q(-1) = 4 $.
*). $ \begin{align} \frac{P(x)}{x+1} \rightarrow \text{ Sisa } = P(-1) \end{align} \, $
dengan nilai $ Q(-1) = 4 , \, $ , maka sisanya :
$ \begin{align} P(x) & = (x^2 - 3x + 4). Q(x) + x^2 + x -2 \\ \text{ Sisa } & = P(-1) \\ & = ((-1)^2 - 3(-1) + 4). Q(-1) + (-1)^2 + (-1) -2 \\ & = (1 + 3 + 4). 4 + 1 -1 -2 \\ & = (8). 4 -2 \\ & = 32 -2 \\ & = 30 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian $ P(x) \, $ oleh ($x + 1 $) adalah 30.
9). Misalkan suku banyak $ P(x) = x^5 + ax^3 + b \, $ dibagi ($x^2 -1$) sisanya adalah ($2x + 1$). Tentukan nilai $ a \, $ dan $ b $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ P(x) \, $ dibagi $ \, (x^2 - 1) = (x-1)(x+1) \, $ , sisa = $ P(1) \, $ dan sisa $ = P(-1) $.
Sehingga : sisa $ = 2x + 1 $.
sisa = $ P(1) \rightarrow 2.1 + 1 = P(1) \rightarrow P(1) = 3 $
sisa = $ P(-1) \rightarrow 2.(-1) + 1 = P(-1) \rightarrow P(-1) = -1 $
*. Menyusun persamaan dari $ P(1) = 3 \, \text{ dan } P(-1) = -1 $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} P(x) & = x^5 + ax^3 + b \\ P(1) & = 3 \\ 1^5 + a.1^3 + b & = 3 \\ 1 + a + b & = 3 \\ a + b & = 2 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} P(x) & = x^5 + ax^3 + b \\ P(-1) & = -1 \\ (-1)^5 + a.(-1)^3 + b & = -1 \\ -1 - a + b & = -1 \\ -a + b & = 0 \\ a & = b \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi $ a = b \, $ ke pers(i)
pers(i) : $ a + b = 2 \rightarrow b + b = 2 \rightarrow 2b = 2 \rightarrow b = 1 $.
Sehingga nilai $ a = b = 1 $.
Jadi, kita peroleh nilai $ \, a = b = 1 $.
10). Tentukan nilai $ p \, $ agar bentuk pecahan $ \frac{x^3 + 2px^2 + 1}{x^2 - x - 6} \, $ dapat disederhanakan.
Penyelesaian :
*). Diketahui pecahan : $ \frac{x^3 + 2px^2 + 1}{x^2 - x - 6} \, $
Agar pecahan tersebut bisa disederhanakan, maka pembilangnya $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ harus memiliki faktor yang sama dengan penyebutnya $(x^2 - x - 6) $.
*). Faktor penyebutnya : $ (x^2 - x - 6) = (x + 2)(x-3) \, $ yang juga sebagai faktor dari pembilangnya.
*). Menentukan nilai $ p $
faktor pertama :
$ (x + 2) \, $ faktor dari $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ sehingga $ f(-2) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = (x^3 + 2px^2 + 1) \\ f(-2) & = 0 \\ (-2)^3 + 2p.(-2)^2 + 1 & = 0 \\ -8 + 8p + 1 & = 0 \\ -7 + 8p & = 0 \\ 8p & = 7 \\ p & = \frac{7}{8} \end{align} $
faktor kedua :
$ (x-3) \, $ faktor dari $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ sehingga $ f(3) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = (x^3 + 2px^2 + 1) \\ f(3) & = 0 \\ (3)^3 + 2p.(3)^2 + 1 & = 0 \\ 27 + 18p + 1 & = 0 \\ 28 + 18p & = 0 \\ 18p & = -28 \\ p & = \frac{-28}{18} = - \frac{14}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = \frac{7}{8} \, $ atau $ \, p = - \frac{14}{9} $.
