Konsep Kombinasi pada Peluang
Kombinasi adalah cara penyusunan suatu unsur pada suatu kejadian yang TIDAK memperhatikan URUTAN. Misalkan kita
akan memilih dua orang untuk mewakili sebuah tim, dan yang terpilih adalah si A dan si B (disingkat AB). Untuk menyebutkan si A dan si B yang terpilih bisa
dengan dua cara yaitu AB atau BA. Akan tetapi pada kasus ini urutan AB atau BA tidak berpengaruh karena tetap saja yang terpilih dua orang tersebut
untuk mewakili sebuah tim. Berbeda jika kita memilih dua orang untuk menjadi pengurus (misal sebagai ketua dan bendahara), misal si A menjadi ketua dan si B
menjadi bendahara akan berbeda posisinya jika si B menjadi ketua dan si A menjadi bendahara secara kepengurusan.
Kombinasi $ k $ unsur dari $ n $ unsur biasa dituliskan $ C_k^n \, $ atau $ \, _nC_k \, $ atau $ C(n,k) \, $ atau $ \, \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) \, $. Banyak kombinasi $ k $ unsur dari $ n $ unsur yang tersedia, tanpa memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan Rumus :
$ C_k^n = \frac{n!}{(n-k)!.k!} \, $
dengan $ n \geq k , \, $ dan $ n , \, k \, $ merupakan bilangan asli.
Bentuk $ n! \, $ dibaca "$n \, $ faktorial".
$ n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1 \, $ dan nilai $ 0! = 1 $.
Kombinasi $ k $ unsur dari $ n $ unsur biasa dituliskan $ C_k^n \, $ atau $ \, _nC_k \, $ atau $ C(n,k) \, $ atau $ \, \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) \, $. Banyak kombinasi $ k $ unsur dari $ n $ unsur yang tersedia, tanpa memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan Rumus :
$ C_k^n = \frac{n!}{(n-k)!.k!} \, $
dengan $ n \geq k , \, $ dan $ n , \, k \, $ merupakan bilangan asli.
Bentuk $ n! \, $ dibaca "$n \, $ faktorial".
$ n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1 \, $ dan nilai $ 0! = 1 $.
1). Tentukan nilai bentuk kombinasi berikut ini,
a). $ C_2^5 $
b). $ C_2^7 \times C_1^4 $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} C_2^5 & = \frac{5!}{(5-2)!.2!} = \frac{5!}{3!.2!} = \frac{5.4.3!}{3!.(2.1)} = 10 \end{align} $
b). $ C_2^7 \times C_1^4 $
$ \begin{align} C_2^7 \times C_1^4 & = \frac{7!}{(7-2)!.2!} \times \frac{4!}{(4-1)!.1!} \\ & = \frac{7!}{5!.2!} \times \frac{4!}{3!.1!} \\ & = \frac{7.6.5!}{5!.2.1} \times \frac{4.3!}{3!.1} \\ & = 21 \times 4 \\ & = 84 \end{align} $
2). Tentukan nilai $ n \, $ dari persamaan kombinasi $ C_2^n = 4n + 5 $ ,
dan tentukan nilai $ C_9^n $.
Penyelesaian :
*). Jabarkan bentuk kombinasinya dan faktorkan :
$ \begin{align} C_2^n & = 4n + 5 \\ \frac{n!}{(n-2)!.2!} & = 4n + 5 \\ \frac{n.(n-1).(n-2)!}{(n-2)!.2.1} & = 4n + 5 \\ \frac{n.(n-1) }{2} & = 4n + 5 \\ n^2 - n & = 2(4n + 5) \\ n^2 - n & = 8n + 10 \\ n^2 - 9n - 10 & = 0 \\ (n+1)(n-10) & = 0 \\ n = -1 \vee n & = 10 \end{align} $
Karena $ n \, $ bilangan asli, maka yang memenuhi adalah $ n = 10 $.
*). Menentukan nilai $ C_9^n $
$ \begin{align} C_9^n = C_9^{10} & = \frac{10!}{(10-1)!.1!} = \frac{10!}{9!.1!} = \frac{10.9!}{9!} = 10 \end{align} $
3). Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:
a). ganda putra
b). ganda putri
c). ganda campuran
Penyelesaian :
a). Karena banyaknya pemain putra ada 10 dan akan dipilih 2 untuk bermain ganda, maka banyak cara pemilihan 2 putra dari 10 putra yang ada yaitu :
$ \begin{align} C_2^{10} & = \frac{10!}{(10-2)!.2!} = \frac{10!}{8!.2!} = \frac{10.9.8!}{8! . 2.1} = 45 \end{align} \, $ cara.
b). Karena banyaknya pemain putri ada 8 orang dan dipilih 2, maka banyaknya cara pemilihan 2 putri dari 8 putri yang ada yaitu :
$ \begin{align} C_2^8 & = \frac{8!}{(8-2)!.2!} = \frac{8!}{6!.2!} = \frac{8.7.6!}{6! . 2.1} = 28 \end{align} \, $ cara.
c). Ganda campuran berarti 10 putra diambil satu dan 8 putri diambil 1, maka:
$ \begin{align} C_1^{10} \times C_1^8 & = \frac{10!}{(10-1)!.1!} \times \frac{8!}{(8-1)!.1!} \\ & = \frac{10!}{9!.1!} \times \frac{8!}{7!.1!} \\ & = \frac{10.9!}{9! } \times \frac{8.7!}{7! } \\ & = 10 \times 8 \\ & = 80 \, \, \, \text{ cara } \end{align} $
4). Tersedia 10 siswa yang memenuhi syarat menjadi tim olimpiade matematika suatu SMA. Dari sejumlah calon itu, 6 siswa pandai komputer dan 4 siswa pandai bahasa inggris. Tim yang dibentuk beranggotakan 3 siswa yang terdiri dari 2 siswa pandai komputer dan 1 siswa pandai bahasa inggris. Berapa banyak susunan yang mungkin dapat dibentuk?
Penyelesaian :
*). Akan dipilih 3 orang sebagai sebuah tim yang mewakili sekolah dengan rincian 2 siswa dari komputer dan 1 siswa dari bahasa inggris.
*). Banyak cara pemilihan 2 siswa dari 6 siswa pandai komputer :
$ \begin{align} C_2^6 & = \frac{6!}{(6-2)!.2!} = \frac{6!}{4!.2!} = \frac{6.5.4!}{4! . 2.1} = 15 \end{align} \, $ cara.
*). Banyak cara pemilihan 1 siswa dari 4 siswa pandai bahasa inggris :
$ \begin{align} C_1^4 & = \frac{4!}{(4-1)!.1!} = \frac{4!}{3!.1!} = \frac{4.3!}{3! } = 4 \end{align} \, $ cara.
*). Karena 2 siswa dari komputer dan 1 siswa dari bahasa inggris harus terpilih SEKALIGUS, maka berlaku "aturan perkalian". Sehingga total cara pemilihan 3 siswa yaitu :
$ \begin{align} C_2^6 \times C_1^4 = 15 \times 4 = 60 \end{align} \, $ cara.
5). Dalam pertemuan untuk menentukan tanggal kelulusan siswa, 20 orang guru diundang, setelah memutuskan tanggal kelulusan, mereka saling berjabat tangan. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Penyelesaian :
*). Jabat tangan biasanya hanya dilakukan antar 2 orang saja, artinya untuk menentukan banyaknya jabat tangan yang terjadi sama saja dengan kita menentukan banyaknya cara memilih 2 orang untuk berjabat tangan dari 20 orang guru yang ada. Dua orang jabat tangan tidak memperhatikan urutan sehingga kita menggukanan konsep kombinasi.
*). Total banyak cara jabat tangan yaitu memilih 2 orang dari 20 orang guru yaitu
$ \begin{align} C_2^{20} & = \frac{20!}{(20-2)!.2!} = \frac{20!}{18!.2!} = \frac{20.19.18!}{18! . 2.1 } = 190 \end{align} \, $ cara.
Jadi, totalnya ada 190 jabat tangan yang terjadi.
6). Pada bidatang datar tertentu terdapat 20 titik dan tidak ada 3 titik yang terletak pada satu garis.
a). Tentukan banyak garis yang terbentuk.
b). Tentukan banyak segitiga yang terbentuk.
Penyelesaian :
*). Dalam pemilihan titik (baik 2 titik atau 3 titik), urutan tidak diperhatikan sehingga kita menggunakan konsep kombinasi.
a). Karena tidak ada 3 titik yang segaris, maka untuk membuat garis kita cukup menghubungkan dua titik saja. Ini artinya kita hanya butuh 2 titik saja yang dipilih dari 20 titik yang ada dengan banyaknya cara pemilihan 2 titik dari 20 titik yang ada yaitu :
$ \begin{align} C_2^{20} & = \frac{20!}{(20-2)!.2!} = \frac{20!}{18!.2!} = \frac{20.19.18!}{18! . 2.1 } = 190 \end{align} \, $ cara.
Jadi, totalnya ada 190 garis yang terbentuk dari 20 titik yang ada.
b). Karena tidak ada 3 titik yang segaris, maka untuk membuat segitiga kita cukup menghubungkan tiga titik saja. Ini artinya kita hanya butuh 3 titik saja yang dipilih dari 20 titik yang ada dengan banyaknya cara pemilihan 3 titik dari 20 titik yang ada yaitu :
$ \begin{align} C_3^{20} & = \frac{20!}{(20-3)!.3!} = \frac{20!}{17!.3!} = \frac{20.19.18.17!}{17! . 3.2.1 } = 1140 \end{align} \, $ cara.
Jadi, totalnya ada 1.140 segitiga yang terbentuk dari 20 titik yang ada.
7). Budi mengikuti UTS pelajaran Matematika. Ada 15 soal yang diujikan di kelas. Dari 15 soal yang ada, setiap siswa harus memilih 12 soal untuk dikerjakan. Dari 12 soal yang dipilih, soal nomor 1 sampai nomor 5 wajib dikerjakan. Tentukan banyak cara pemilihan soal yang dapat dilakukan oleh Budi?
Penyelesaian :
*). Untuk pemilihan soal, urutan tidak diperhatikan, misalkan Budi mengerjakan soal nomor 2 dan nomor 5 akan sama saja dengan Budi mengerjakan soal nomor 5 dan nomor 2. Sehingga untuk menyelesaikannya kita menggunakan konsep kombinasi.
*). Soal nomor 1 sampai nomor 5 wajib dikerjakan, artinya Budi tinggal memilih $ 12 - 5 = 7 \, $ soal tersisa dari soal nomor 6 sampai nomor 15 yang ada karena 5 soal sudah pasti nomor 1 sampai nomor 5.
*). Memilih 7 soal dari nomor 6 sampai nomor 15, artinya kita memilih 7 soal dari 10 soal tersisa dengan banyak cara :
$ \begin{align} C_7^{10} & = \frac{10!}{(10-7)!.7!} = \frac{10!}{3!.7!} = \frac{10.9.8.7!}{(3.2.1).7! } = 120 \end{align} \, $ cara.
Jadi, 120 cara untuk Budi melakukan pemilihan soal yang akan dikerjakannya.
8). Pak Bayu memiliki 5 warna cat berbeda yaitu warna Merah, Putih, Biru, Kuning, dan Hijau. Pak Bayu ingin memiliki warna cat selain kelima warna yang telah dimilikinya itu, dan Pak Bayu pun mempunyai ide yaitu dengan mencampur dua jenis warna cat dari 5 warna cat yang ada. Ada berapakah warna cat baru yang diperoleh oleh pak Bayu?
Penyelesaian :
*). Dua warna cat dicampurkan akan diperoleh warna baru, misalkan warna Merah dicampur dengan Hijau hasilnya akan sama dengan warna Hijau dicampurkan dengan warna Merah, ini artinya urutan tidak diperhatikan sehingga kita bisa menggunakan konsep kombinasi.
*). Dua warna akan dicampurkan dari 5 warna yang ada, artinya kita akan memilih 2 unsur dari 5 unsur dengan banyak cara yaitu :
$ \begin{align} C_2^5 & = \frac{5!}{(5-2)!.2!} = \frac{5!}{3!.2!} = \frac{5.4.3!}{3!.2.1 } = 10 \end{align} \, $ cara.
Jadi, ada 10 warna cat baru yang akan diperoleh oleh pak Bayu setelah mencampurkan dua warna dari 5 warna cat yang ada.
