Pengertian Akar-akar Persamaan Suku Banyak
Jika diketahui suatu suku banyak $ f(x) \, $ dan ($x - a$) adalah faktor dari $ f(x) $, maka $ a \, $
adalah akar dari persamaan $ f(x) \, $ yang memenuhi $ f(a) = 0 $.
1). Apakah 1 dan $ \, -1 \, $ merupakan akar dari persamaan suku banyak $ 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Misalkan suku banyaknya $ f(x) = 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 \, $
*). Kita substitusi $ x = 1 \, $ dan $ x = -1 \, $ ke $ f(x) $.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 \\ f(1) & = 2.1^5 - 3.1^2 + 2.1 - 1 \\ & = 2 - 3 + 2 - 1 \\ & = 0 \\ x = -1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 \\ f(-1) & = 2.(-1)^5 - 3.(-1)^2 + 2.(-1) - 1 \\ & = 2.(-1) - 3.(1) - 2 - 1 \\ & = -2 - 3 - 2 - 1 \\ & = -8 \end{align} $
*). Kita peroleh :
$ f(1) = 0 \, $ artinya $ x = 1 \, $ adalah akar dari suku banyaknya.
Karena $ x = 1 \, $ adalah akarnya, maka $ x = 1 \rightarrow x - 1 = 0 \, $ atau ($x - 1$) adalah faktor dari $ f(x) $.
$ f(-1) = -8 \, $ artinya $ x = -1 \, $ bukan akar dari suku banyaknya karena $ f(-1) \neq 0 $ .
Cara Menentukan Akar-akar dan faktor Persamaan Suku Banyak
Misalkan ada persamaan suku banyak
$ ax^n + cx^{n-1} + c_1x^{n-2} + ... +c_{n-1}x + b = 0 \, $
Langkah-langkah menentukan akar-akarnya :
(i). Menentukan akar-akar Rasional yang mungkin diperoleh dari pembagian faktor $ b \, $ dan faktor $ a \, $ atau $ \, \frac{ \text{faktor } b }{\text{faktor } a} $. Jika nilai $ a = 1 \, $ maka akar-akar yang mungkin hanya ditentukan oleh faktor dari $ b \, $ saja.
(ii). Dari akar-akar yang mungkin tersebut, kita substitusi ke bentuk suku banyaknya, jika hasilnya adalah nol maka bilangan tersebut adalah akar pertamanya.
(iii). Dari akar pertamanya tersebut, kita gunakan skema Horner untuk menentukan hasil pembagiannya.
$ ax^n + cx^{n-1} + c_1x^{n-2} + ... +c_{n-1}x + b = 0 \, $
Langkah-langkah menentukan akar-akarnya :
(i). Menentukan akar-akar Rasional yang mungkin diperoleh dari pembagian faktor $ b \, $ dan faktor $ a \, $ atau $ \, \frac{ \text{faktor } b }{\text{faktor } a} $. Jika nilai $ a = 1 \, $ maka akar-akar yang mungkin hanya ditentukan oleh faktor dari $ b \, $ saja.
(ii). Dari akar-akar yang mungkin tersebut, kita substitusi ke bentuk suku banyaknya, jika hasilnya adalah nol maka bilangan tersebut adalah akar pertamanya.
(iii). Dari akar pertamanya tersebut, kita gunakan skema Horner untuk menentukan hasil pembagiannya.
2). Tentukan akar-akar dan faktor dari persamaan suku banyak $ \, x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 $.
Penyelesaian :
*). Suku banyaknya : $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \, $.
*). Akar-akar yang mungkin adalah dari faktor dari $ - 6 \, $ yaitu $ \{ \pm 1 , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $.
Faktor disini maksudnya adalah pembaginya.
*). Kita akan substitusi akar-akar yang mungkin $ \{ \pm 1 , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $ ke suku banyaknya.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 - 5.1 - 6 \\ f(1) & = 1 + 2 - 5 - 6 = - 8 \\ x = -1 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \\ f(-1) & = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5.(-1) - 6 \\ f(-1) & = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \end{align} $
Karena $ f(-1) = 0 \, $ maka $ x = -1 \, $ adalah akar pertamanya.
*). Kita gunakan skema Horner :
Suku banyaknya : $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \, $ koefisiennya $ 1, \, 2, \, -5, \, -6 $
Akarnya : $ x = -1 \, $ atau faktornya ($x + 1$).
$ \begin{align} x^3 + 2x^2 - 5x - 6 & = 0 \\ (x^2 + x - 6)(x+1) & = 0 \\ (x-2)(x+3)(x+1) & = 0 \end{align} $
Sehingga faktor-faktor dari $ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 \, $ adalah $ \, (x - 2), \, (x + 3) , \, $ dan $ \, (x + 1) $.
*). Menentukan akar-akarnya :
Faktor pertama : $ (x - 2) = 0 \rightarrow x = 2 $
Faktor kedua : $ (x + 3) = 0 \rightarrow x = -3 $
Faktor ketiga : $ (x + 1) = 0 \rightarrow x = -1 $
Jadi, akar-akarnya adalah $ \{ -3, \, -2, \, 2 \} $.
Catatan :
*). Bentuk persamaan kuadrat bisa langsung difaktorkan jika memang bisa difaktorkan.
*). Bentuk $ x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3) \, $
*). Untuk pemfaktoran bentuk persamaan kuadrat, silahkan baca pada artikel "Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat".
3). Jika ($ x + 1$) adalah salah satu faktor dari $ 2x^3 - 3x^2+ px + 2 = 0 \, $, maka tentukan faktor-faktor lainnya.
Penyelesaian :
*). Misal suku banyaknya : $ f(x) = 2x^3 - 3x^2+ px + 2 \, $.
*). Menentukan nilai $ p $,
Karena ($ x + 1$) adalah faktor dari $ f(x) \, $ maka $ f(-1) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = 2x^3 - 3x^2+ px + 2 \\ f(-1) & = 0 \\ 2(-1)^3 - 3(-1)^2+ p(-1) + 2 & = 0 \\ -2 - 3 -p + 2 & = 0 \\ - 3 -p & = 0 \\ p & = -3 \end{align} $
Sehingga suku banyaknya menjadi : $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 $
*). Memfaktorkan suku banyak dengan skema horner :
Suku banyaknya : $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 \, $ koefisiennya $ 2, \, -3, \, -3, \, 2 $
Faktornya ($x + 1$), sehingga akarnya : $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $.
$ \begin{align} 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 & = 0 \\ (2x^2 - 5x + 2)(x+1) & = 0 \\ (2x-1)(x-2)(x+1) & = 0 \end{align} $
Sehingga faktor-faktor dari $ 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0 \, $ adalah $ \, (2x - 1), \, (x - 2) , \, $ dan $ \, (x + 1) $.
Jadi, faktor-faktor lainnya adalah $ \, (2x - 1), \, $ dan $ \, (x - 2) $ .
Operasi Akar-akar Persamaan Suku Banyak
Berikut akan kita bahas operasi akar-akar persamaan suku banyak, maksudnya kita akan bahas rumus-rumusnya tanpa
menentukan akar-akarnya terlebih dahulu.
Rumus-rumus operasi akar-akar :
*). Suku banyak berderajat 2 : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Suku banyak berderajat 3 : $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2, \, x_3 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua : $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} $
penjumlahan tiga-tiga : $ x_1. x_2.x_3 = - \frac{d}{a} $
*). Suku banyak berderajat 4 : $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, x_2, x_3, x_4 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua :
$ x_1. x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 + x_3.x_4 = \frac{c}{a} $
penjumlahan tiga-tiga :
$ x_1. x_2.x_3 + x_2. x_3.x_4 + x_3. x_4.x_1 + x_4. x_1.x_2 = - \frac{d}{a} $
penjumlahan empat-empat : $ x_1. x_2.x_3 .x_4 = \frac{e}{a} $
Berlaku juga untuk suku banyak berderajat lebih dari 4, dengan pola rumus yang hampir mirip.
Rumus-rumus operasi akar-akar :
*). Suku banyak berderajat 2 : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Suku banyak berderajat 3 : $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2, \, x_3 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua : $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} $
penjumlahan tiga-tiga : $ x_1. x_2.x_3 = - \frac{d}{a} $
*). Suku banyak berderajat 4 : $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, x_2, x_3, x_4 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua :
$ x_1. x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 + x_3.x_4 = \frac{c}{a} $
penjumlahan tiga-tiga :
$ x_1. x_2.x_3 + x_2. x_3.x_4 + x_3. x_4.x_1 + x_4. x_1.x_2 = - \frac{d}{a} $
penjumlahan empat-empat : $ x_1. x_2.x_3 .x_4 = \frac{e}{a} $
Berlaku juga untuk suku banyak berderajat lebih dari 4, dengan pola rumus yang hampir mirip.
4). Diketahui persamaan suku banyak $ x^3 - 2x^2 + 5x + 1 = 0 \, $ dengan akar-akar $ \, x_1, x_2, x_3 $.
Tentukan nilai :
a). $ x_1 + x_2 + x_3 $
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 $
c). $ x_1. x_2.x_3 $
Penyelesaian :
*). Untuk penyelesaian soal-soal ini, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, langsung saja kita gunakan rumus-rumus operasi akar-akar.
*). Menentukan koefisiennya : $ x^3 - 2x^2 + 5x + 1 = 0 \, $ maka $ a = 1, b = -2, c = 5, d = 1 $.
a). $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = - \frac{-2}{1} = 2 $
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5 $
c). $ x_1. x_2.x_3 = - \frac{d}{a} = -\frac{1}{1} = - 1 $
5). Jika 2 adalah salah satu akar persamaan $ \, 2x^4 - 6x^3 + px - 1 = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ , maka tentukan jumlah akar-akarnya.
Penyelesaian :
*). Kita tidak perlu menentukan nilai $ \, p \, $ terlebih dahulu, tapi langsung menggunakan operasi akar-akarnya.
*). Menentukan koefisiennya : $ 2x^4 - 6x^3 + px - 1 = 0 \rightarrow a = 2, b = -6, c = 0, d = p, e = -1 $.
$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \frac{b}{a} = - \frac{-6}{2} = 3 $
Jadi, jumlah akar-akarnya adalah 3.
5). Diketahui -2 dan 3 adalah akar-akar dari persamaan $ x^5 - 2x^3 + mx^2 + nx - 12 = 0 \, $ . Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar lainnya.
Penyelesaian :
*). Misalkan akar-akar dari persamaan adalah $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \, $ dengan $ x_1 = -2, x_2 = 3 $
*). $ x^5 - 2x^3 + mx^2 + nx - 12 = 0 \rightarrow a = 1, b = 0, c = -2, d = m, e = n, f = -12 $.
*). Karena yang diketahui adalah $ x_1 = -2 \, $ dan $ x_2 = 3 \, $ , maka pertanyaannya :
Jumlah akar-akar lainnya adalah $ x_3 + x_ 4 + x_ 5 $
Hasil kali akar-akar lainnya adalah $ x_3 . x_ 4 . x_ 5 $
*). Kita tidak perlu menentukan semua akar-akarnya terlebih dahulu, tapi langsung menggunakan rumus operasi akar-akarnya.
Jumlah akar-akar lainnya adalah $ x_3 + x_ 4 + x_ 5 $
$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = - \frac{b}{a} \\ (-2) + 3 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = - \frac{0}{1} \\ 1 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = 0 \\ x_3 + x_4 + x_ 5 & = -1 \end{align} $
Hasil kali akar-akar lainnya adalah $ x_3 . x_ 4 . x_ 5 $
$ \begin{align} x_1 . x_2 . x_3 . x_4 . x_ 5 & = - \frac{f}{a} \\ (-2) . 3 . x_3 . x_4 . x_ 5 & = - \frac{-12}{1} \\ (-6) . x_3 . x_4 . x_ 5 & = 12 \\ x_3 . x_4 . x_ 5 & = \frac{12 }{-6} = -2 \end{align} $
Jadi, jumlah akar-akar lainnya adalah $ -1 $ dan hasil kali akar-akar lainnya adalah $ -2 $.
6). Diketahui $ x_1, x_2 $, dan $ x_3 $ adalah akar-akar persamaan $ 2x^3 - mx^2 - 18x + 36 = 0 $.
Tentukan: a). $ x_1 + x_2 + x_3 $
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 $
c). $ x_1. x_2.x_3 $
d). nilai $ m \, $ dan akar-akarnya jika $ x_2 \, $ adalah lawan dari $ x_1 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan koefisiennya :
$ 2x^3 - mx^2 - 18x + 36 = 0 \, $ maka $ a = 2, b = -m, c = -18, d = 36 $.
a). $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = - \frac{-m}{2} = \frac{m}{2} \, $ ....pers(i).
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} = \frac{-18}{2} = -9 \, $ ....pers(ii).
c). $ x_1. x_2.x_3 = - \frac{d}{a} = -\frac{36}{2} = - 18 \, $ ....pers(iii).
d). $ x_2 \, $ adalah lawan dari $ x_1 \, $ maksudnya $ x_2 = -x_1 $.
dari pers(i) :
$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{m}{2} \\ x_1 + (-x_1) + x_3 & = \frac{m}{2} \\ x_3 & = \frac{m}{2} \\ m & = 2x_3 \end{align} $
dari pers(ii) :
$ \begin{align} x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ x_1. (-x_1) + (-x_1).x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ -x_1^2 - x_1.x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ -x_1^2 & = -9 \\ x_1^2 & = 9 \\ x_1 & = \pm \sqrt{9} \\ x_1 & = \pm 3 \end{align} $
*). Menentukan akar-akar dan nilai $ m \, $ dari $ x_2 = -x_1, \, m = 2x_3, \, x_1 = \pm 3 $ .
*). Untuk $ x_ 1 = 3 , \, $ maka $ x_2 = -x_1 = -3 $.
pers(iii) :
$ x_1. x_2.x_3 = -18 \rightarrow 3. (-3). x_3 = -18 \rightarrow x_3 = 2 $.
$ m = 2x_3 = 2. 2 = 4 $.
Sehingga nilai $ m = 4, x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = 2 $
*). Untuk $ x_ 1 = -3 , \, $ maka $ x_2 = -x_1 = -(-3) = 3 $.
pers(iii) :
$ x_1. x_2.x_3 = -18 \rightarrow (-3). 3. x_3 = -18 \rightarrow x_3 = 2 $.
$ m = 2x_3 = 2. 2 = 4 $.
Sehingga nilai $ m = 4, x_1 = -3, x_2 = 3, x_3 = 2 $
Jadi, ada dua jenis nilai akar-akar yang kita peroleh.
