Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri :
i). $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
ii). $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $
iii). $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $
iv). $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $
v). $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $
vi). $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x . \cot x $
Untuk pembuktiannya ada di bagian paling bawah pada artikel ini. Dan bentuk $ \csc x \, $ sama dengan $ cossec \, x $ .
i). $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
ii). $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $
iii). $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $
iv). $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $
v). $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $
vi). $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x . \cot x $
Untuk pembuktiannya ada di bagian paling bawah pada artikel ini. Dan bentuk $ \csc x \, $ sama dengan $ cossec \, x $ .
1). Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut :
a). $ y = \sin x . \cos x $
b). $ y = ( \sin x + 1 )(\tan x - \sec x ) $
c). $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $
Penyelesaian :
a). Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x . \cos x $
Misalkan $ U = \sin x \rightarrow U^\prime = \cos x $
dan $ V = \cos x \rightarrow V^\prime = -\sin x $
*). Rumus dasar : $ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = \sin x . \cos x \\ y & = U.V \\ y^\prime & = U^\prime . V + U.V^\prime \\ & = \cos x . \cos x + \sin x . (-\sin x ) \\ & = \cos ^2 x - \sin ^2 x \\ & = \cos 2x \end{align} $
Jadi, diperoleh $ y = \sin x . \cos x \rightarrow y^\prime = \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x $
b). Turunan perkalian fungsi , $ y = ( \sin x + 1 )(\tan x - \sec x ) $
Misalkan $ U = \sin x + 1 \rightarrow U^\prime = \cos x $
dan $ V = \tan x - \sec x \rightarrow V^\prime = \sec ^2 x - \sec x . \tan x = \sec x ( \sec x - \tan x ) $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = ( \sin x + 1 )(\tan x - \sec x ) \\ y & = U.V \\ y^\prime & = U^\prime . V + U.V^\prime \\ & = \cos x . (\tan x - \sec x) + ( \sin x + 1 ).\sec x ( \sec x - \tan x ) \end{align} $
Jadi, diperoleh $ y = ( \sin x + 1 )(\tan x - \sec x ) , \, $ turunannya adalah
$ y^\prime = \cos x . (\tan x - \sec x) + ( \sin x + 1 ).\sec x ( \sec x - \tan x ) $
c). Turunan pembagian fungsi , $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $
Misalkan $ U = 1 + \cot x \rightarrow U^\prime = -\csc ^2 x $
dan $ V = \sin x + \cos x \rightarrow V^\prime = \cos x - \sin x $
*). Ingat rumus identitas dan sudut rangkap pada trigonometri,
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{-\csc ^2 x . (\sin x + \cos x) - (1 + \cot x). ( \cos x - \sin x ) }{(\sin x + \cos x )^2} \\ & = \frac{ -\csc ^2 x \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cot x \sin x }{ \sin ^2 x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin ^2 x} . \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} . \sin x }{ 1 + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} \, , $ turunannya adalah
$ \begin{align} y^\prime = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $
Rumus-rumus Turunan Fungsi Trigonometri yang lebih kompleks
Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks :
i). $ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x) $
ii). $ y = \cos g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .\sin g(x) $
iii). $ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
iv). $ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x) $
v). $ y = \sec g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec g(x) . \tan g(x) $
vi). $ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . \csc g(x) . \cot g(x) $
Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks dan ada pangkatnya :
i). $ y = \sin ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $
ii). $ y = \cos ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x) $
iii). $ y = \tan ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n \tan ^{n - 1 } g(x) . \sec ^2 g(x) $
iv). $ y = \cot ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). n. \cot ^{n -1} g(x) . \csc ^2 g(x) $
v). $ y = \sec ^{n } g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n. \sec ^{n -1 } g(x) . \sec g(x) . \tan g(x) $
vi). $ y = \csc ^{n } g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . n.\csc ^{n -1} g(x) . \csc g(x) . \cot g(x) $
Catatan : bentuk $ \sin ^{n } g(x) = [\sin g(x) ]^n $
Untuk pembuktiannya rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks ini, kita menggunakan "aturan rantai turunan fungsi".
Dari rumus-rumus turunan fungsi trigonometri di atas, untuk memudahkan dalam menentukan turunannya, ingat singkatan "SuPaTri" dengan kepanjangannya "Sudut Pangkat Trigonometri" yang artinya turunkan sudutnya dulu, lalu pangkatnya dan terakhir turunkan trigonometrinya. Jika tidak ada pangkatnya ($n$), maka langsung gunakan "SuTri" saja.
i). $ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x) $
ii). $ y = \cos g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .\sin g(x) $
iii). $ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
iv). $ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x) $
v). $ y = \sec g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec g(x) . \tan g(x) $
vi). $ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . \csc g(x) . \cot g(x) $
Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks dan ada pangkatnya :
i). $ y = \sin ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $
ii). $ y = \cos ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x) $
iii). $ y = \tan ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n \tan ^{n - 1 } g(x) . \sec ^2 g(x) $
iv). $ y = \cot ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). n. \cot ^{n -1} g(x) . \csc ^2 g(x) $
v). $ y = \sec ^{n } g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n. \sec ^{n -1 } g(x) . \sec g(x) . \tan g(x) $
vi). $ y = \csc ^{n } g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . n.\csc ^{n -1} g(x) . \csc g(x) . \cot g(x) $
Catatan : bentuk $ \sin ^{n } g(x) = [\sin g(x) ]^n $
Untuk pembuktiannya rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks ini, kita menggunakan "aturan rantai turunan fungsi".
Dari rumus-rumus turunan fungsi trigonometri di atas, untuk memudahkan dalam menentukan turunannya, ingat singkatan "SuPaTri" dengan kepanjangannya "Sudut Pangkat Trigonometri" yang artinya turunkan sudutnya dulu, lalu pangkatnya dan terakhir turunkan trigonometrinya. Jika tidak ada pangkatnya ($n$), maka langsung gunakan "SuTri" saja.
2). Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut.
a). $ y = \sin (3x^2 + 2x - 5) $
b). $ y = \cot ( x^2 - x + 7 ) $
c). $ y = \sec ( 5x^3 + 9 ) $
Penyelesaian :
a). misalkan $ g(x) = 3x^2 + 2x - 5 \rightarrow g^\prime (x) = 6x + 2 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \sin (3x^2 + 2x - 5) \\ y & = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x) \\ y^\prime & = (6x + 2) . \cos (3x^2 + 2x - 5) \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = (6x + 2) \cos (3x^2 + 2x - 5) $
b). misalkan $ g(x) = x^2 - x + 7 \rightarrow g^\prime (x) = 2x-1 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \cot ( x^2 - x + 7 ) \\ y & = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x) \\ y^\prime & = -(2x-1) . \csc ^2 (x^2 - x + 7) \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -(2x-1) \csc ^2 (x^2 - x + 7) $
c). misalkan $ g(x) = 5x^3 + 9 \rightarrow g^\prime (x) = 15x^2 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \sec ( 5x^3 + 9 ) \\ y & = \sec g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec g(x) . \tan g(x) \\ y^\prime & = 15x^2 . \sec ( 5x^3 + 9 ) . \tan ( 5x^3 + 9 ) \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 15x^2 \sec ( 5x^3 + 9 ) \tan ( 5x^3 + 9 ) $
3). Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut :
a). $ y = \cos ^ 3 (2x^3 - 5x + 2) $
b). $ y = \csc ^ 5 ( x^4 + 5) $
Penyelesaian :
a). misalkan $ g(x) = 2x^3 - 5x + 2 \rightarrow g^\prime (x) = 6x - 5 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \cos ^ 3 (2x^3 - 5x + 2) \\ y & = \cos ^{n } g(x) \\ y^\prime & = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x) \\ y^\prime & = -(6x-5) . 3 . \cos ^{3 -1 } (2x^3 - 5x + 2) . \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ & = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) $
Hasil akhirnya bisa diubah kebentuk lain dengan menggunakan rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu $ \sin 2 g(x) = 2 \sin g(x) \cos g(x) \, $ atau $ \sin g(x) \cos g(x) = \frac{1}{2} \sin 2 g(x) \, $ . Proses modifikasi ini biasanya dilakukan untuk soal-soal yang menggunakan sistem pilihan ganda. Jika bentuk pertama tidak ada di pilihan, maka hasilnya kita modifikasi lagi dengan persamaan trigonometri yang ada sehingga jawaban kita ada pada pilihan.
*). Kita modifikasi ,
$ \begin{align} y^\prime & = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ & = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) \cos (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ & = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\cos (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) ] \\ & = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\frac{1}{2}.\sin 2(2x^3 - 5x + 2) ] \\ & = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\frac{1}{2}.\sin (4x^3 - 10x + 4) ] \\ & = -\frac{1}{2}(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) . \sin (4x^3 - 10x + 4) \end{align} $
Sehingga bentuk lain dari turunannya adalah
$ y^\prime = -\frac{1}{2}(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) \sin (4x^3 - 10x + 4) $
b). misalkan $ g(x) = x^4 + 5 \rightarrow g^\prime (x) = 4x^3 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \csc ^ 5 ( x^4 + 5) \\ y & = \csc ^{n } g(x) \\ y^\prime & = -g^\prime (x) . n.\csc ^{n -1} g(x) . \csc g(x) . \cot g(x) \\ y^\prime & = -(x^4+5) . 5.\csc ^{5 -1} ( x^4 + 5) . \csc ( x^4 + 5) . \cot ( x^4 + 5) \\ & = -(5x^4+25) \csc ^{4} ( x^4 + 5) \csc ( x^4 + 5) \cot ( x^4 + 5) \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -(5x^4+25) \csc ^{4} ( x^4 + 5) \csc ( x^4 + 5) \cot ( x^4 + 5) $
4). Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) } $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsinya : $ y = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) } \rightarrow y = [\sin (x^2 + 5x - 1)]^\frac{1}{2} $
misalkan $ g(x) = x^2 + 5x - 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2x + 5 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) } \rightarrow y = [\sin (x^2 + 5x - 1)]^\frac{1}{2} \\ y & = \sin ^{n } g(x) = [\sin g(x) ]^{n } \\ y^\prime & = g^\prime (x) . n . [\sin g(x) ]^{n-1} . \cos g(x) \\ y^\prime & = (2x + 5) . \frac{1}{2} . [\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{\frac{1}{2}-1} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ & = (2x + 5) . \frac{1}{2} . [\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{-\frac{1}{2}} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ & = (2x + 5) . \frac{1}{2} . \frac{1}{[\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{\frac{1}{2}}} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ & = (2x + 5) . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) }} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ & = \frac{(2x + 5)\cos (x^2 + 5x - 1) }{ 2\sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) }} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{(2x + 5)\cos (x^2 + 5x - 1) }{ 2\sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1)}} $
5). Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 (3x^2 - 2x ) } $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsinya : $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 (3x^2 - 2x ) } \rightarrow y = [\cos (3x^2 - 2x)]^\frac{5}{2} $
misalkan $ g(x) = 3x^2 - 2x \rightarrow g^\prime (x) = 6x - 2 $
*). Menentukan turunannya.
$ \begin{align} y & = \sqrt{ \cos ^ 5 (3x^2 - 2x ) } \rightarrow y = [\cos (3x^2 - 2x)]^\frac{5}{2} \\ y & = \cos ^{n } g(x) = [\cos g(x) ]^{n } \\ y^\prime & = -g^\prime (x) . n . [\cos g(x) ]^{n-1} . \sin g(x) \\ y^\prime & = -(6x-2) . \frac{5}{2} . [\cos (3x^2 - 2x) ]^{\frac{5}{2}-1} . \sin (3x^2 - 2x) \\ & = -(3x-1) . 5 . [\cos (3x^2 - 2x) ]^{\frac{3}{2}} . \sin (3x^2 - 2x) \\ & = -(15x-5) \sqrt{\cos ^3 (3x^2 - 2x)} \sin (3x^2 - 2x) \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -(15x-5) \sqrt{\cos ^3 (3x^2 - 2x)} \sin (3x^2 - 2x) $
Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
Untuk membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri di atas, kita menggunakan definisi turunan, yaitu :
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
*). Ingat bentuk : $ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
Sehingga : $ f(x+h) = \sin (x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga : $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h - 1 = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \sin x ) - \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $
Sehingga terbukti $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $
*). Ingat bentuk : $ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
Sehingga : $ f(x+h) = \cos (x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga : $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h - 1 = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) - \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \cos x ) - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) - \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) - \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (0 ) - \sin x \\ & = 0 - \sin x \\ & = -\sin x \end{align} $
Sehingga terbukti $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $
$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $
*). Ingat Rumus Trigonometri :
$ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
Identitas trigonometri : $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = \tan x $
$ f(x+h) = \tan (x+h) = \frac{\sin (x+h)}{\cos (x+h)} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $
$ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{\sin x}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x( \cos x \cos h - \sin x \sin h ) }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin x \cos h + \cos ^2 x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x \sin h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos ^2 x + \sin ^2 x ) \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( 1 ) \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 } (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x 1 - \sin x .0 ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x - 0 ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ 1 }{ \cos x } \\ & = \sec x . \sec x \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Sehingga terbukti $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $
$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $
*). Ingat Rumus Trigonometri :
$ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
Identitas trigonometri : $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $
$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc A = \frac{1}{\sin A } $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = \cot x $
$ f(x+h) = \cot (x+h) = \frac{\cos (x+h)}{\sin (x+h)} = \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $
$ f(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x (\cos x \cos h - \sin x \sin h) - \cos x (\sin x \cos h + \cos x \sin h) }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x \cos x \cos h - \sin ^2 x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x \sin h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - ( \sin ^2 x + \cos ^2 x ) \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - ( 1 ) \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } \\ & = 1. \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0) } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x .1 + \cos x .0) } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x ) } \\ & = -\frac{ 1 }{\sin x } . \frac{ 1 }{\sin x } \\ & = - \csc x . \csc x \\ & = - \csc ^2 x \end{align} $
Sehingga terbukti $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $
$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $
*). Ingat Rumus Trigonometri :
$ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x A = \frac{1}{\cos A } $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = \sec x $
$ f(x+h) = \sec (x+h) = \frac{1}{\cos (x+h)} = \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $
$ f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x} $
*). Rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga : $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ 1 - \cos h = 1 - (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{1}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - ( \cos x \cos h - \sin x \sin h ) }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h + \sin x \sin h }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x ( 1 - \cos h ) + \sin x \sin h }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ & = \frac{ \cos x . 2 (\sin \frac{1}{2} .0 ) . \frac{1}{2} + \sin x . 1 }{ \cos x (\cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 ) } \\ & = \frac{ \cos x . 2 (\sin 0 ) . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x (\cos x . 1 - \sin x . 0 ) } \\ & = \frac{ \cos x . 2 ( 0 ) . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x (\cos x - 0 ) } \\ & = \frac{ 0 + \sin x }{ \cos x (\cos x ) } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ \sin x }{ \cos x } \\ & = \sec x \tan x \end{align} $
Sehingga terbukti $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $
$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $
*). Ingat Rumus Trigonometri :
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc x A = \frac{1}{\sin A } $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = \csc x $
$ f(x+h) = \csc (x+h) = \frac{1}{\sin (x+h)} = \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $
$ f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x} $
*). Rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga : $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ 1 - \cos h = 1 - (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{1}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - (\sin x \cos h + \cos x \sin h) }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h - \cos x \sin h }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x (1 - \cos h ) - \cos x \sin h }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{h} }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \frac{ \cos x \sin h }{h} }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \cos x \frac{ \sin h }{h} }{\sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 }\frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) } \\ & = \frac{ \sin x 2(\sin \frac{1}{2} . 0 ). \frac{1}{2} - \cos x . 1 }{ \sin x (\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 ) } \\ & = \frac{ \sin x 2(\sin 0 ). \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x (\sin x . 1 + \cos x . 0 ) } \\ & = \frac{ \sin x 2 . 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x (\sin x + 0 ) } \\ & = \frac{ 0 - \cos x }{ \sin x (\sin x ) } \\ & = \frac{ - \cos x }{ \sin x (\sin x ) } \\ & = - \frac{ 1 }{ \sin x } . \frac{ \cos x }{ \sin x } \\ & = - \csc x \cot x \end{align} $
Sehingga terbukti $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $
Catatan : nilai $ \sin 0 = 0 \, $ dan $ \, \cos 0 = 1 $
Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri kompleks
Untuk pembuktian rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks, kita menggunakan aturan rantai turunan fungsi.
*). Permisalan :
$ z = g(x) \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
$ y = \sin g(x) = \sin z \rightarrow \frac{dy}{dz} = \cos z $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} y & = \sin g(x) \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = \cos z . g^\prime (x) \\ & = g^\prime (x) \cos z \\ & = g^\prime (x) \cos g(x) \end{align} $
Sehingga terbukti $ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos g(x) $
$\spadesuit $ Pembuktian rumus : $ y = \sin ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $
*). Permisalan : $ y = \sin ^{n } g(x) = [\sin g(x) ]^n $
$ z = g(x) \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
$ p = \sin g(x) = \sin z \rightarrow \frac{dp}{dz} = \cos z = \cos g(x) $
$ y = [\sin g(x) ]^n = [ p ]^n \rightarrow \frac{dy}{dp} = n . p ^ {n-1} = n . [ \sin g(x) ]^{n-1} = n. \sin ^{n-1} g(x) $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} y & = \sin ^{n } g(x) = [\sin g(x) ]^n \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dp} . \frac{dp}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = n. \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) . g^\prime (x) \\ & = g^\prime (x) . n. \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) \end{align} $
Sehingga terbukti $ y = \sin ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $
Catatan: untuk pembuktian yang lainnya caranya hampir sama dengan aturan rantai di atas.
