Turunan Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma paling sederhana berbentuk $ y = {}^a \log x \, $ dengan basis $ \, a \, $ dan
numerusnya $ \, x . \, $ Berikut turunan fungsi logaritma dari bentuk fungsi logaritma yang paling sederhana :
i). $ y = {}^a \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^a \log e $
ii). $ y = {}^a \log g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e $
dengan $ e=2,7182818..... \, $ ($e = \, $ bilangan euler)
i). $ y = {}^a \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^a \log e $
ii). $ y = {}^a \log g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e $
dengan $ e=2,7182818..... \, $ ($e = \, $ bilangan euler)
1). Tentukan turunan fungsi logaritma berikut,
a). $ y = {}^2 \log x $
b). $ y = {}^2 \log ( 2x^3 - x^2 + x - 7) $
c). $ y = {}^{(2x+1)} \log ( x - 2) $
Penyelesaian :
a). $ y = {}^2 \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^2 \log e $
b). Misalkan $ g(x) = 2x^3 - x^2 + x - 7 \rightarrow g^\prime (x) = 6x^2 - 2x + 1 $
Menentukan turunan dengan rumus (ii) :
$ y = {}^2 \log ( 2x^3 - x^2 + x - 7) $
$ y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e = \frac{6x^2 - 2x + 1 }{ 2x^3 - x^2 + x - 7 } . {}^2 \log e $
Jadi, diperoleh $ y^\prime = \frac{6x^2 - 2x + 1 }{ 2x^3 - x^2 + x - 7 } . {}^2 \log e $
c). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a } $
Sehingga fungsinya :
$ y = {}^{(2x+1)} \log ( x - 2) = \frac{\log ( x - 2)}{ \log (2x+1) } $
*). Permisalan , dan turunan menggunakan rumus (ii) :
$ U = \log (x-2) \rightarrow U^\prime = \frac{1}{x-2} . \log e $
$ V = \log (2x+1) \rightarrow V^\prime = \frac{2}{2x+1} . \log e $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = {}^{(2x+1)} \log ( x - 2) = \frac{\log ( x - 2)}{ \log (2x+1) } = \frac{U}{V} \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U.V^\prime}{V^2} \\ y^\prime & = \frac{\frac{1}{x-2} . \log e . \log (2x+1) - \log (x-2) . \frac{2}{2x+1} . \log e }{\left( \log (2x+1) \right)^2 } \end{align} $
Turunan Fungsi ln (dibaca "len")
Bentuk ln sebenarnya sama dengan bentuk log (logaritma) hanya saja basinya adalah $ e $ .
Dan untuk sifat-sifat ln juga sama dengan sifat-sifat logaritma.
Bentuk $ {}^e \log x = {}^e \ln x = \ln x \, $ atau
$ \, {}^e \log g(x) = {}^e \ln g(x) = \ln g(x) $ .
Turunan Fungsi ln :
(i). $ y = \ln x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} $
(ii). $ y = \ln g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{g(x)} $
Untuk pembuktiannya menggunakan turunan logaritma di atas dan sifat logaritma $ {}^a \log a = 1 $
i). $ y = {}^a \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^a \log e $
$ y = \ln x = {}^e \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^e \log e = \frac{1}{x} . 1 = \frac{1}{x} $
ii). $ y = {}^a \log g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e $
$ y = \ln g(x) = {}^e \log g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^e \log e = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . 1 = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } $
Bentuk $ {}^e \log x = {}^e \ln x = \ln x \, $ atau
$ \, {}^e \log g(x) = {}^e \ln g(x) = \ln g(x) $ .
Turunan Fungsi ln :
(i). $ y = \ln x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} $
(ii). $ y = \ln g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{g(x)} $
Untuk pembuktiannya menggunakan turunan logaritma di atas dan sifat logaritma $ {}^a \log a = 1 $
i). $ y = {}^a \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^a \log e $
$ y = \ln x = {}^e \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^e \log e = \frac{1}{x} . 1 = \frac{1}{x} $
ii). $ y = {}^a \log g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e $
$ y = \ln g(x) = {}^e \log g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^e \log e = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . 1 = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } $
2). Tentukan turunan fungsi ln berikut ini :
a). $ y = ln x $
b). $ y = ln (x^2 - 3x + 1) $
Penyelesaian :
a). $ y = ln x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} $
b). Misalkan $ g(x) = x^2 -3x + 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2x - 3 $
$ y = ln (x^2 - 3x + 1) $
$ y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } = \frac{ 2x - 3 }{ x^2 -3x + 1 } $
Turunan Fungsi Eksponen
Berikut turunan fungsi eksponen :
i). $ y = a^x \rightarrow y^\prime = a^x . \ln a $
Bentuk khusus : $ y = e^x \rightarrow y^\prime = e^x . \ln e = e^x . 1 = e^x $
ii). $ y = a^{g(x)} \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . a^{g(x)} . \ln a $
Bentuk khusus :
$ y = e^{g(x)} \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . e^{g(x)} . \ln e = g^\prime (x) . e^{g(x)} $
Catatan :
$ \ln e = {}^e \ln e = 1 \, $ sesuai dengan sifat logaritma.
dengan $ e=2,7182818..... \, $ ($e = \, $ bilangan euler)
i). $ y = a^x \rightarrow y^\prime = a^x . \ln a $
Bentuk khusus : $ y = e^x \rightarrow y^\prime = e^x . \ln e = e^x . 1 = e^x $
ii). $ y = a^{g(x)} \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . a^{g(x)} . \ln a $
Bentuk khusus :
$ y = e^{g(x)} \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . e^{g(x)} . \ln e = g^\prime (x) . e^{g(x)} $
Catatan :
$ \ln e = {}^e \ln e = 1 \, $ sesuai dengan sifat logaritma.
dengan $ e=2,7182818..... \, $ ($e = \, $ bilangan euler)
3). Tentukan turunan fungsi eksponen berikut :
a). $ y = 2^x $
b). $ y = e^x $
c). $ y = 3^{3x^2 - 2x + 1} $
d). $ y = e^{3x^2 - 2x + 1} $
Penyelesaian :
a). $ y = 2^x \rightarrow y^\prime = 2^x . \ln 2 $
b). $ y = e^x \rightarrow y^\prime = e^x $
c). Misalkan $ g(x) = 3x^2 - 2x + 1 \rightarrow g^\prime (x) = 6x - 2 $
$ y = 3^{3x^2 - 2x + 1} $
$ y^\prime = g^\prime (x) . a^{g(x)} . \ln a = (6x-2). 3^{3x^2 - 2x + 1} . \ln 3 $
d). Misalkan $ g(x) = 3x^2 - 2x + 1 \rightarrow g^\prime (x) = 6x - 2 $
$ y = e^{3x^2 - 2x + 1} $
$ y^\prime = g^\prime (x) . e^{g(x)} = (6x-2). e^{3x^2 - 2x + 1} $.
