Turunan Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma paling sederhana berbentuk y=alogx dengan basis a dan
numerusnya x. Berikut turunan fungsi logaritma dari bentuk fungsi logaritma yang paling sederhana :
i). y=alogx→y′=1x.aloge
ii). y=alogg(x)→y′=g′(x)g(x).aloge
dengan e=2,7182818..... (e= bilangan euler)
i). y=alogx→y′=1x.aloge
ii). y=alogg(x)→y′=g′(x)g(x).aloge
dengan e=2,7182818..... (e= bilangan euler)
1). Tentukan turunan fungsi logaritma berikut,
a). y=2logx
b). y=2log(2x3−x2+x−7)
c). y=(2x+1)log(x−2)
Penyelesaian :
a). y=2logx→y′=1x.2loge
b). Misalkan g(x)=2x3−x2+x−7→g′(x)=6x2−2x+1
Menentukan turunan dengan rumus (ii) :
y=2log(2x3−x2+x−7)
y′=g′(x)g(x).aloge=6x2−2x+12x3−x2+x−7.2loge
Jadi, diperoleh y′=6x2−2x+12x3−x2+x−7.2loge
c). Sifat logaritma : alogb=plogbploga
Sehingga fungsinya :
y=(2x+1)log(x−2)=log(x−2)log(2x+1)
*). Permisalan , dan turunan menggunakan rumus (ii) :
U=log(x−2)→U′=1x−2.loge
V=log(2x+1)→V′=22x+1.loge
*). Menentukan turunannya :
y=(2x+1)log(x−2)=log(x−2)log(2x+1)=UVy=UVy′=U′.V−U.V′V2y′=1x−2.loge.log(2x+1)−log(x−2).22x+1.loge(log(2x+1))2
Turunan Fungsi ln (dibaca "len")
Bentuk ln sebenarnya sama dengan bentuk log (logaritma) hanya saja basinya adalah e .
Dan untuk sifat-sifat ln juga sama dengan sifat-sifat logaritma.
Bentuk elogx=elnx=lnx atau
elogg(x)=elng(x)=lng(x) .
Turunan Fungsi ln :
(i). y=lnx→y′=1x
(ii). y=lng(x)→y′=g′(x)g(x)
Untuk pembuktiannya menggunakan turunan logaritma di atas dan sifat logaritma aloga=1
i). y=alogx→y′=1x.aloge
y=lnx=elogx→y′=1x.eloge=1x.1=1x
ii). y=alogg(x)→y′=g′(x)g(x).aloge
y=lng(x)=elogg(x)
→y′=g′(x)g(x).eloge=g′(x)g(x).1=g′(x)g(x)
Bentuk elogx=elnx=lnx atau
elogg(x)=elng(x)=lng(x) .
Turunan Fungsi ln :
(i). y=lnx→y′=1x
(ii). y=lng(x)→y′=g′(x)g(x)
Untuk pembuktiannya menggunakan turunan logaritma di atas dan sifat logaritma aloga=1
i). y=alogx→y′=1x.aloge
y=lnx=elogx→y′=1x.eloge=1x.1=1x
ii). y=alogg(x)→y′=g′(x)g(x).aloge
y=lng(x)=elogg(x)
→y′=g′(x)g(x).eloge=g′(x)g(x).1=g′(x)g(x)
2). Tentukan turunan fungsi ln berikut ini :
a). y=lnx
b). y=ln(x2−3x+1)
Penyelesaian :
a). y=lnx→y′=1x
b). Misalkan g(x)=x2−3x+1→g′(x)=2x−3
y=ln(x2−3x+1)
y′=g′(x)g(x)=2x−3x2−3x+1
Turunan Fungsi Eksponen
Berikut turunan fungsi eksponen :
i). y=ax→y′=ax.lna
Bentuk khusus : y=ex→y′=ex.lne=ex.1=ex
ii). y=ag(x)→y′=g′(x).ag(x).lna
Bentuk khusus :
y=eg(x)→y′=g′(x).eg(x).lne=g′(x).eg(x)
Catatan :
lne=elne=1 sesuai dengan sifat logaritma.
dengan e=2,7182818..... (e= bilangan euler)
i). y=ax→y′=ax.lna
Bentuk khusus : y=ex→y′=ex.lne=ex.1=ex
ii). y=ag(x)→y′=g′(x).ag(x).lna
Bentuk khusus :
y=eg(x)→y′=g′(x).eg(x).lne=g′(x).eg(x)
Catatan :
lne=elne=1 sesuai dengan sifat logaritma.
dengan e=2,7182818..... (e= bilangan euler)
3). Tentukan turunan fungsi eksponen berikut :
a). y=2x
b). y=ex
c). y=33x2−2x+1
d). y=e3x2−2x+1
Penyelesaian :
a). y=2x→y′=2x.ln2
b). y=ex→y′=ex
c). Misalkan g(x)=3x2−2x+1→g′(x)=6x−2
y=33x2−2x+1
y′=g′(x).ag(x).lna=(6x−2).33x2−2x+1.ln3
d). Misalkan g(x)=3x2−2x+1→g′(x)=6x−2
y=e3x2−2x+1
y′=g′(x).eg(x)=(6x−2).e3x2−2x+1.