Sifat, Keliling, dan Luas Trapesium

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Sifat, Keliling, dan Luas Trapesium yang merupakan salah satu dari jenis "bangun datar segi empat". Hal-hal yang akan kita bahas adalah pengertian Trapesium, sifat Trapesium, keliling Trapesium, dan luas Trapesium.

Pengertian Trapesium

       Trapesium adalah bangun segi empat yang mempunyai tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.

Jenis-jenis Trapesium

       Perhatikan bentuk Trapesium berikut,

Ada tiga jenis-jenis Trapesium yaiut :
*). Trapesium sebarang, gambar (i)
       Trapesium sebarang adalah trapesium yang keempat sisinya tidak sama panjang.
*). Trapesium sama kaki, gambar (ii)
       Trapesium sama kaki adalah trapesium yang mempunyai sepasang sisi yang sama panjang, di samping mempunyai sepasang sisi yang sejajar.
*). Trapesium siku-siku, gambar (iii)
       Trapesium siku-siku adalah trapesium yang salah satusudutnya merupakan sudut siku-siku (90$^\circ$).

Sifat-sifat Trapesium

       Perhatikan Trapesium ABCD berikut,

Sifat-sifat Trapesium yaitu :
i). Secara umum dapat dikatakan bahwa jumlah sudut yang berdekatan di antara dua sisi sejajar pada trapesium adalah 180$^\circ \,$ (sudut-sudut sepihak).
$\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$
$\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$
ii). Trapesium sama kaki mempunyai ciri-ciri khusus, yaitu
1) diagonal-diagonalnya sama panjang;
2) sudut-sudut alasnya sama besar;
3) dapat menempati bingkainya dengan dua cara.

Keliling dan Luas Trapesium

       Perhatikan Trapesium PQRS berikut,

$\spadesuit$ Keliling Trapesium dari gambar (a),
       Keliling Trapesium (K) : $K = PQ + QR + RS + PS$.

$\spadesuit$ Luas Trapesium
       Dari Trapesium gambar (b), bangun yang diberi nomor 1 sampai 3 disusun ulang sedemikian sehingga membentuk persegi panjang seperti gambar (c). Artinya luas Trapesium sama dengan luas persegi panjang.
panjang = $TR = a + \frac{b-a}{2} = \frac{1}{2}(a+b) \,$ dan lebar $= RT = t \,$ .
Luas Trapesium (L) :
$L = \text{panjang } \times \text{lebar} = \frac{1}{2}(a+b) \times t = \frac{1}{2}(a+b)t$.
atau
Luas trapesium = $\, \frac{1}{2} \times \,$ jumlah sisi sejajar $\, \times \,$ tinggi .

Contoh :
1). Tentukan luas trapesium berikut ini,

Penyelesaian :
*). Sisi-sisi sejajarnya adalah 8 dan 12, serta tingginya 6.
Luas $= \frac{1}{2} . (8 + 12) . 6 = 60$.

2). Perhatikan gambar trapesium berikut,

Diberikan enam lingkaran dengan jari-jari $r \,$ dalam sebuah trapesium ABCD sama kaki dan panjang AD $= 5r$ . Buktikan bahwa luas daerah yang diarsir adalah $6r^2(6-\pi)$.
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan luas daerah yang diarsir caranya kita kurangkan luas trapesium dengan luas enam lingkaran di dalamnya.
*). Luas enam lingkaran = $6 \times \pi r^2 = 6\pi r^2$.
*). Perhatikan segitiga AOD siku-siku di O dan sisi miringnya AD. Panjang OD = $4r$.
Menentukan panjang AO dengan pythagoras,
$AD^2 = AO^2 + OD^2 \rightarrow (5r^2)^2 = AO^2 + (4r)^2 \rightarrow AO = 3r$ .
*). Menentukan unsur-unsur trapesium,
Sisi-sisi sejajar : CD $= 3 \times 2r = 6r \,$ dan $AB = 2AO + CD = 6r + 6r = 12r$.
Tinggi trapesium : $t = OD = 4r$.
*). Menentukan luas trapesium :
Luas trapesium $= \frac{1}{2}(a+b)t = \frac{1}{2}(6r + 12r).4r = 36r^2$.
*). Menentukan luas arsiran,
$\begin{align} \text{Luas arsiran } & = \text{Luas tapesium } - \text{Luas 6 lingkaran } \\ & = 36r^2 - 6\pi r^2 \\ & = 6r^2(6 - \pi) \end{align}$
Jadi, terbukti luas daerah arsiran adalah $6r^2(6-\pi)$.

3). Perhatikan gambar trapesium beerikut,

KLMN adalah trapesium dengan MNOP suatu persegi dan OP = 8 cm. Jika KO = 6 cm, PL = 2 cm, KN = 10 cm, dan $LM = 2\sqrt{17} \,$ cm , tentukan :
a. panjang MN ;
b. keliling trapesium KLMN;
c. luas trapesium KLMN.
Penyelesaian :
a). Panjang $MN = OP = 8 \,$ cm.

b). Alas $= KL = KO + OP + PL = 6 + 8 + 2 = 16 \,$ cm.
$\begin{align} \text{Keliling } & = KL + LM + MN + KN \\ & = 16 + 2\sqrt{17} + 8 + 10 \\ & = 34 + 2\sqrt{17} \end{align}$
Jadi, keliling trapesium adalah $(34 + 2\sqrt{17} ) \,$ cm.

c). Luas Trapesium KLMN
$\begin{align} L & = \frac{1}{2} (KL + NM) . NO \\ & = \frac{1}{2} (8 + 16) . 8 \\ & = 96 \end{align}$
Jadi, luas trapesium adalah 96 cm$^2$.

4). Perhatikan gambar-gambar trapesium berikut,

Tentukan besar semua sudut yang belum diketahui dari trapesium berikut.
Penyelesaian :
*). Sudut-sudut yang berdekatan antara garis sejajar jumlahnya $180^\circ$.
*). gambar a).
$\angle A + \angle B = 180^\circ \rightarrow 110^\circ + \angle B = 180^\circ \rightarrow \angle B = 70^\circ$.
$\angle C + \angle D = 180^\circ \rightarrow 45^\circ + \angle D = 180^\circ \rightarrow \angle D = 135^\circ$.
*). gambar b).
$\angle E + \angle H = 180^\circ \rightarrow 65^\circ + \angle H = 180^\circ \rightarrow \angle H = 115^\circ$.
$\angle F = \angle E = 65^\circ$ ,
$\angle G = \angle H = 115^\circ$.