Pengertian Layang - layang
Layang - layang adalah segi empat yang dibentuk dari gabungan
dua buah segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan berimpit.
Keterangan:
*). Segitiga ABD dan segitiga CEF digabungkan dengan sisi alas BD dan EF berimpit sehingga terbentuk layang-layang pada gambar (iii).
*). Segitiga ABD dan segitiga CEF digabungkan dengan sisi alas BD dan EF berimpit sehingga terbentuk layang-layang pada gambar (iii).
Sifat-sifat Layang - layang
Perhatikan Layang - layang ABCD berikut,
Sifat-sifat Layang - layang yaitu :
i). Masing-masing sepasang sisinya sama panjang.
AB = BC dan AD = DC.
ii). Sepasang sudut yang berhadapan sama besar.
$ \angle BAD = \angle BCD $
iii). Salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri.
Diagonal BD adalah sumbu simetrinya.
(iv) Salah satu diagonal layang-layang membagi diagonal lainnya menjadi dua bagian sama panjang dan kedua diagonal itu saling tegak lurus.
*). Pada diagonal AC berlaku AO = OC.
*). $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^\circ $ .
i). Masing-masing sepasang sisinya sama panjang.
AB = BC dan AD = DC.
ii). Sepasang sudut yang berhadapan sama besar.
$ \angle BAD = \angle BCD $
iii). Salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri.
Diagonal BD adalah sumbu simetrinya.
(iv) Salah satu diagonal layang-layang membagi diagonal lainnya menjadi dua bagian sama panjang dan kedua diagonal itu saling tegak lurus.
*). Pada diagonal AC berlaku AO = OC.
*). $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^\circ $ .
1). Perhatikan gambar layang-layang KLMN berikut,
a). Tentukan panjang KL dan MN.
b). Hitunglah besar semua sudut yang lain.
Penyelesaian :
a). Kita gunakan teorema Pythagoras,
*). Segitiga KOL
$ \begin{align} KL^2 & = KO^2 + LO^2 \\ KL & = \sqrt{ 16^2 + 12^2 } \\ & = \sqrt{ 256 + 144 } \\ & = \sqrt{ 400 } \\ & = 20 \end{align} $
Sehingga panjang KL = 20 cm.
*). Segitiga MON dan gunakan bentuk $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}.\sqrt{b} $ .
$ \begin{align} MN^2 & = MO^2 + NO^2 \\ MN & = \sqrt{ 12^2 + 24^2 } \\ & = \sqrt{ 144 + 576 } \\ & = \sqrt{ 720 } = \sqrt{144 \times 5 } \\ & = \sqrt{144} . \sqrt{5} = 12\sqrt{5} \end{align} $
Sehingga panjang MN = $ 12\sqrt{5} \, $ cm.
b). Menentukan besarnya sudut-sudut yang lainnya,
*). $ \angle NKO = \angle LKO = 35^\circ $.
*). $ \angle MNL = \angle MLN = 65^\circ $.
*). Segitiga KOL, jumlah sudut pada segitiga $ 180^\circ $.
$\begin{align} \angle LKO + \angle KOL + \angle KLO & = 180^\circ \\ 35^\circ + 90^\circ + \angle KLO & = 180^\circ \\ \angle KLO & = 55^\circ \end{align} $
*). $ \angle KNO = \angle KLO = 55^\circ $.
*). Segitiga MON, jumlah sudut pada segitiga $ 180^\circ $.
$\begin{align} \angle MNO + \angle MON + \angle NMO & = 180^\circ \\ 65^\circ + 90^\circ + \angle NMO & = 180^\circ \\ \angle NMO & = 25^\circ \end{align} $
*). $ \angle LMO = \angle NMO = 25^\circ $.
Keliling dan Luas Layang - layang
Perhatikan Layang - layang KLMN berikut,
$\spadesuit $ Keliling Layang - layang dari gambar (a),
Keliling Layang - layang (K) : $ K = x + x + y + y = 2(x + y) $.
$\spadesuit $ Luas Layang - layang
Dari Layang - layang gambar (b), segitiga yang kecil-kecil (KON, NOM, MOL, KOL) yang diberi nomor 1 sampai 4 disusun ulang sedemikian sehingga membentuk persegi panjang seperti gambar (c). Artinya luas Layang - layang sama dengan luas persegi panjang.
Misalkan diagonal $ KM = d_1 \, $ maka $ PQ = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2}d_1 \, $ dan diagonal $ LN = d_2 \, $ , ini artinya pada gambar (c) panjangnya adalah $ \frac{1}{2}d_1 \, $ dan lebarnya adalah $ d_2 $.
Luas Layang - layang (L) :
$ L = \text{panjang } \times \text{lebar} = \frac{1}{2} d_1 \times d_2 = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 $.
Keliling Layang - layang (K) : $ K = x + x + y + y = 2(x + y) $.
$\spadesuit $ Luas Layang - layang
Dari Layang - layang gambar (b), segitiga yang kecil-kecil (KON, NOM, MOL, KOL) yang diberi nomor 1 sampai 4 disusun ulang sedemikian sehingga membentuk persegi panjang seperti gambar (c). Artinya luas Layang - layang sama dengan luas persegi panjang.
Misalkan diagonal $ KM = d_1 \, $ maka $ PQ = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2}d_1 \, $ dan diagonal $ LN = d_2 \, $ , ini artinya pada gambar (c) panjangnya adalah $ \frac{1}{2}d_1 \, $ dan lebarnya adalah $ d_2 $.
Luas Layang - layang (L) :
$ L = \text{panjang } \times \text{lebar} = \frac{1}{2} d_1 \times d_2 = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 $.
2). Tentukan luas layang-layang yang diketahui panjang diagonal-diagonalnya adalah 12 cm dan 5 cm.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ d_1 = 12 \, $ dan $ d_2 = 5 $.
Luas : $ L = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2}\times 12 \times 5 = 30 $ .
Jadi, luas layang-layang adalah 30 cm$^2$.
3). Dari soal nomor 1 di atas, tentukan keliling dan luas layang-layang KLMN tersebut.
Penyelesaian :
*). Keliling dengan panjang $ KL = 20 \, $ dan $ MN = 12\sqrt{5} $ .
$ K = KL + LM + MN + KN = 20 + 12\sqrt{5} + 12\sqrt{5} + 20 = 40 + 24\sqrt{5} $ .
Sehingga kelilingnya adalah $(40 + 24\sqrt{5}) \, $ cm.
*). Luas dengan $ d_1 = KM = 16 + 24 = 40 \, $ dan $ d_2 = NL = 12 + 12 = 24 $.
Luas : $ L = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2}\times 40 \times 24 = 480 $ .
Sehingga luas layang-layangnya adalah 480 cm$^2$.
4). Sebuah layang-layang memiliki luas 168 cm$^2$. Jika salah satu diagonal layang-layang tersebut panjangnya 24 cm, tentukan panjang diagonal yang lainnya.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 168 \, $ dan $ d_1 24 $.
$\begin{align} L & = 168 \\ \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 & = 168 \\ \frac{1}{2}\times 24 \times d_2 & = 168 \\ 12 \times d_2 & = 168 \\ d_2 & = \frac{168}{12} = 14 \end{align} $
Jadi, panjang diagonal yang lainnya adalah 14 cm.
5). Diketahui luas suatu layang-layang adalah 192 cm$^2$. Jika diagonal $d_1 $ dan $d_2 $ memiliki perbandingan $d_1 : d_2 = 2 : 3$ , tentukan panjang diagonal $d_1 $ dan $d_2 $.
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, perbandingannya masing-masing kita kalikan $ a $.
$ \frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{3} . \frac{a}{a} \rightarrow \frac{d_1}{d_2} = \frac{2a}{3a} $
Artinya besar $ d_1 = 2a \, $ dan $ d_2 = 3a $.
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari luasnya,
$\begin{align} L & = 192 \\ \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 & = 192 \\ \frac{1}{2}\times (2a) \times (3a) & = 192 \\ 3a^2 & = 192 \\ a^2 & = 64 \\ a & = \sqrt{64} = 8 \end{align} $
Sehingga nilai $d_1 $ dan $d_2 $ ,
nilai $ d_1 = 2a = 2.8 = 16 \, $ cm.
nilai $ d_2 = 3a = 3.8 = 24 \, $ cm.
Jadi, panjang diagonal masing-masing adalah 16 cm dan 24 cm.
