Pengertian Belah Ketupat
Belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari
gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.
Keterangan:
*). Segitiga ABC adalah hasil pencerminan segitiga ACD terhadap garis AC (garis alas segitiga), perpaduan kedua segitiga tersebut membentuk belah ketupat.
*). Segitiga ABC adalah hasil pencerminan segitiga ACD terhadap garis AC (garis alas segitiga), perpaduan kedua segitiga tersebut membentuk belah ketupat.
Sifat-sifat Belah Ketupat
Perhatikan Belah Ketupat ABCD berikut,
Sifat-sifat Belah Ketupat yaitu :
i). Semua sisi pada belah ketupat sama panjang.
AB = BC = CD = DA .
ii). Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri.
Diagonalnya adalah AC dan BD.
iii). Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.
diagonal : AO = OC dan BO = OD.
Sudut : $ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^\circ $ .
iv). Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
$ \angle BAD = \angle BCD \, $ dan $ \angle ABC = \angle ADC $.
v). Jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan pada setiap belah ketupat adalah $180^\circ$.
$ \angle BAD + \angle ABC = 180^\circ , \, \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ $
$ \angle BCD + \angle ADC = 180^\circ , \, \angle BAD + \angle ADC = 180^\circ $ .
i). Semua sisi pada belah ketupat sama panjang.
AB = BC = CD = DA .
ii). Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri.
Diagonalnya adalah AC dan BD.
iii). Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.
diagonal : AO = OC dan BO = OD.
Sudut : $ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^\circ $ .
iv). Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
$ \angle BAD = \angle BCD \, $ dan $ \angle ABC = \angle ADC $.
v). Jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan pada setiap belah ketupat adalah $180^\circ$.
$ \angle BAD + \angle ABC = 180^\circ , \, \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ $
$ \angle BCD + \angle ADC = 180^\circ , \, \angle BAD + \angle ADC = 180^\circ $ .
1). Perhatikan gambar belah ketupat KLMN berikut,
a). Tentukan panjang KO dan LO,
b). tentukan panjang semua sisinya,
c). tentukan besarnya sudut KNM, NKL, dan LMN.
Penyelesaian :
a). berdasarkan sifat (iii),
*). KO = OM , sehingga $ KO = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2} \times 24 = 12 \, $ cm.
*). LO = ON , sehingga $ LO = \frac{1}{2} LN = \frac{1}{2} \times 32 = 16 \, $ cm.
b). Menentukan panjang sisi belah ketupat denga pythagoras pada segitiga KOL,
$ \begin{align} KL^2 & = KO^2 + LO^2 \\ KL & = \sqrt{12^2 + 16^2} \\ & = \sqrt{144 + 256} \\ & = \sqrt{400} \\ & = 20 \end{align} $
sehingga panjang sisinya adalah KL = LM = MN = NK = 20 cm.
c). Berdasarkan sifat (iv) dan (v),
*). $ \angle KNM = \angle KLM = 80^\circ $.
*). $ \angle LMN + \angle KLM = 180^\circ \rightarrow \angle LMN + 80^\circ = 180^\circ \rightarrow \angle LMN = 100^\circ $
*). $ \angle LKN = \angle LMN = 100^\circ $.
Keliling dan Luas Belah Ketupat
Perhatikan Belah Ketupat ABCD berikut,
$\spadesuit $ Keliling Belah Ketupat dari gambar (a),
Keliling Belah Ketupat (K) : $ K = AB + BC + CD + DA = 4s $.
$\spadesuit $ Luas Belah Ketupat
Dari Belah Ketupat gambar (c), segitiga yang kecil-kecil (AEB, BEC, CED,AED) yang diberi nomor 1 sampai 4 disusun ulang sedemikian sehingga membentuk persegi panjang seperti gambar (d). Artinya luas belah ketupat sama dengan luas persegi panjang.
Misalkan diagonal $ AC = d_1 \, $ dan diagonal $ BD = d_2 \, $ maka $ ED = \frac{1}{2}d_2 $ , ini artinya pada gambar (d) panjangnya adalah $ d_1 \, $ dan lebarnya adalah $ \frac{1}{2}d_2 $.
Luas Belah Ketupat (L) :
$ L = \text{panjang } \times \text{lebar} = d_1 \times \frac{1}{2} d_2 = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 $.
Keliling Belah Ketupat (K) : $ K = AB + BC + CD + DA = 4s $.
$\spadesuit $ Luas Belah Ketupat
Dari Belah Ketupat gambar (c), segitiga yang kecil-kecil (AEB, BEC, CED,AED) yang diberi nomor 1 sampai 4 disusun ulang sedemikian sehingga membentuk persegi panjang seperti gambar (d). Artinya luas belah ketupat sama dengan luas persegi panjang.
Misalkan diagonal $ AC = d_1 \, $ dan diagonal $ BD = d_2 \, $ maka $ ED = \frac{1}{2}d_2 $ , ini artinya pada gambar (d) panjangnya adalah $ d_1 \, $ dan lebarnya adalah $ \frac{1}{2}d_2 $.
Luas Belah Ketupat (L) :
$ L = \text{panjang } \times \text{lebar} = d_1 \times \frac{1}{2} d_2 = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 $.
2). Tentukan luas belah ketupat yang memiliki panjang diagonal-diagonal 6 cm dan 8 cm.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ d_1 = 6 \, $ dan $ d_2 = 8 $.
Luas : $ L = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2}\times 6 \times 8 = 24 $
Jadi, luas belah ketupatnya adalah 24 cm$^2$ .
3).Sebuah belah ketupat diketahui luasnya 180 cm$^2$. Jika panjang salah satu diagonalnya 24 cm, tentukan panjang diagonal yang lain.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 180 \, $ dan $ d_1 = 24. $
*). Menentukan panjang $ d_2 $.
$ \begin{align} L & = 180 \\ \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 & = 180 \\ \frac{1}{2}\times 24 \times d_2 & = 180 \\ 12 \times d_2 & = 180 \\ d_2 & = \frac{180}{12} = 15 \end{align} $
Jadi, panjang diagonal yang lainnya adalah 15 cm.
4). Panjang diagonal-diagonal suatu belah ketupat diketahui berturut-turut 18 cm dan ($2x + 3$) cm. Jika luas belah ketupat tersebut 81 cm$^2$, tentukan nilai $ x \, $ dan panjang diagonal satunya.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 81 , \, d_1 = 18 \, $ dan $ d_2 = (2x + 3 ) $.
*). Menentukan panjang $ x \, $ dan $ d_2 $.
$ \begin{align} L & = 81 \\ \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 & = 81 \\ \frac{1}{2}\times 18 \times (2x + 3 ) & = 81 \\ 9 \times (2x + 3 ) & = 81 \\ (2x + 3 ) & = \frac{81}{9} = 9 \\ 2x & = 6 \\ x & = 3 \end{align} $
Sehingga nilai $ x = 3 \, $ dan panjang diagonalnya $ 2x + 3 = 2.3 + 3 = 9 $.
Jadi, panjang diagonal yang lainnya adalah 9 cm.
5). Perhatikan gambar berikut,
Tentukan :
a). Keliling belah keptupat,
b). Panjang diagonal-diagonalnya.
Penyelesaian :
a). Panjang sisi belah ketupat adalah $ s = AD = 5 \, $ cm .
sehingga keliling : $ K = 4s = 4 . 5 = 20 \, $ cm .
b). Panjang $ OC = x, \, $ sehingga $ AC = 2x $ .
panjang $ OD = y , \, $ sehingga $ BD = 2y $ .
Luas belah ketupat :
$ L = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 \rightarrow 24 = \frac{1}{2}\times 2x \times 2y \rightarrow xy = 12 $.
Dari bentuk $ x + y = 7 \, $ dan $ xy = 12 , \, $ maka nilai $ x = 4 \, $ dan $ y = 3 $.
Sehingga panjang diagonal-diagonalnya :
$ AC = 2x = 2. 4 = 8 \, $ cm dan $ BD = 2y = 2. 3 = 6 \, $ cm .
Jadi, panjang diagonalnya adalah 8 cm dan 6 cm.
