Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan
Perhatikan grafik fungsi $ y = f(x) \, $ berikut,
Dari grafik di atas diperoleh interval naik dan turunnya,
Interval naik : $ x_1 < x < x_2 \, $ atau $ x > x_3 $ .
Interval turun : $ x < x_1 \, $ atau $ x_2 < x < x_3 $ .
Dari garfik di atas dapat dijelaskan bahawa,
*). Fungsi naik pada interval $ a < x < b \, $ jika terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 < x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) < f(x_2) $ .
*). Fungsi turun pada interval $ a < x < b \, $ jika terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 > x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) > f(x_2) $ .
Untuk menentukan interval naik atau turun suatu fungsi, dapat menggunakan konsep turunan, yaitu :
Fungsi Naik pada saat $ f^\prime (x) > 0 \, $
Fungsi Turun pada saat $ f^\prime (x) < 0 \, $
Catatan : dari penggunaan turunan untuk fungsi naik dan fungsi turun kita akan melibatkan pertidaksamaan, sehingga untuk memudahkan silahkan baca materi pertidaksamaan terlebih dahulu pada artikel "pertidaksamaan secara umum".
Interval naik : $ x_1 < x < x_2 \, $ atau $ x > x_3 $ .
Interval turun : $ x < x_1 \, $ atau $ x_2 < x < x_3 $ .
Dari garfik di atas dapat dijelaskan bahawa,
*). Fungsi naik pada interval $ a < x < b \, $ jika terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 < x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) < f(x_2) $ .
*). Fungsi turun pada interval $ a < x < b \, $ jika terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 > x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) > f(x_2) $ .
Untuk menentukan interval naik atau turun suatu fungsi, dapat menggunakan konsep turunan, yaitu :
Fungsi Naik pada saat $ f^\prime (x) > 0 \, $
Fungsi Turun pada saat $ f^\prime (x) < 0 \, $
Catatan : dari penggunaan turunan untuk fungsi naik dan fungsi turun kita akan melibatkan pertidaksamaan, sehingga untuk memudahkan silahkan baca materi pertidaksamaan terlebih dahulu pada artikel "pertidaksamaan secara umum".
1). Tentukan interval-interval dari fungsi $ f(x) = x^2 - 4x $ agar fungsi:
a. naik,
b. turun.
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsi :
$ f(x) = x^2 - 4x \rightarrow f^\prime (x) = 2x - 4 $
*). Menentukan interval naik dan turun,
Interval fungsi naik, syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$ f^\prime (x) > 0 \rightarrow 2x - 4 > 0 \rightarrow 2x > 4 \rightarrow x > 2 $
Sehingga, fungsi $ f(x) = x^2 - 4x \, $ naik pada interval $ x > 2 $ .
Artinya tanpa menggunakan syarat interval turun, kita sudah tau bahwa selain interval naik maka pasti interval yang lainnya adalah turun.
Sehingga fungsinya turun pada interval : $ x < 2 $ .
Jadi, fungsi $ f(x) = x^2 - 4x \, $ naik pada interval $ x > 2 \, $ dan turun pada interval $ x < 2 $ .
2). Tentukan interval naik dan turun dari fungsi $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsi :
$ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 - 12x + 9 $
*). Menentukan interval naik dan turun,
Fungsi naik, syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 3x^2 - 12x + 9 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 - 4x + 3 & > 0 \\ (x - 1)(x - 3) & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 3 \end{align} $
Menyelesaikan pertidaksamaan, buat garis bilangan :
sehingga fungsi naik pada interval : $ x < 1 \vee x > 3 $ .
Selain interval naik di atas, pasti untuk interval turun (bisa juga dilihat pada garis bilangan, tanda negatif artinya fungsi turun),
Sehingga fungsi turun pada interval : $ 1 < x < 3 $
Jadi, interval naik $ x < 1 \vee x > 3 \, $ dan turunnya $ 1 < x < 3 $ .
*). Gambar grafik fungsi $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $
3). Tentukan nilai $ p \, $ pada fungsi $ y = \frac{1}{3} x^3 - x^2 + px - 5 \, $ agar fungsinya selalu naik ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ y = \frac{1}{3} x^3 - x^2 + px - 5 \rightarrow y^\prime = x^2 - 2x + p $
*). Syarat fungsi naik : $ y^\prime > 0 $
Sehingga : $ x^2 - 2x + p > 0 \, $ .....pert(i).
*). Agar pert(i) terpenuhi, maka bentuk $ x^2 - 2x + p \, $ nilainya selalu positif untuk semua nilai $ x \, $ yang terpenuhi jika berlaku definit positif. Materi definit positif bisa dibaca pada artikel "Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola)".
Syarat definit positif : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ .
*). Menyelesaikan syarat definit positif :
Bentuk $ x^2 - 2x + p \rightarrow a = 1, \, b = -2 , \, c= p $
Syarat pertama : $ a > 0 \rightarrow 1 > 0 \, $ (benar)
Syarat kedua : $ D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac < 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ (-2)^2 - 4.1.p & < 0 \\ 4 - 4p & < 0 \\ - 4p & < -4 \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ p & > 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ p \, $ agar fungsinya selalu naik adalah $ \{ p > 1 \} $ .
