Hasil Limitnya Tak hingga
Suatu limit hasilnya tak hingga ($\infty$) jika hasil limitnya semakin membesar menuju tak hingga, bisanya terjadi
ketika pembaginya adalah 0 ($ \frac{1}{0} = \infty $ ) .
Berikut teorinya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \, (+0) } \frac{1}{x^n} = + \infty \, $ dan $ \, \displaystyle \lim_{x \to \, (-0) } \frac{1}{x^n} = \left\{ \begin{array}{cc} +\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ genap} \\ -\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ ganjil} \end{array} \right. $
dengan $ n \, $ bilangan asli.
Catatan : Jika pangkatnya genap ($n \, $ genap) maka hasilnya selalu positif.
Berikut teorinya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \, (+0) } \frac{1}{x^n} = + \infty \, $ dan $ \, \displaystyle \lim_{x \to \, (-0) } \frac{1}{x^n} = \left\{ \begin{array}{cc} +\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ genap} \\ -\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ ganjil} \end{array} \right. $
dengan $ n \, $ bilangan asli.
Catatan : Jika pangkatnya genap ($n \, $ genap) maka hasilnya selalu positif.
1). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{(x-2)^2} \, $ ?
Penyelesaian :
*). Berikut grafik dari fungsi $ f(x) = \frac{1}{(x-2)^2} $
Jadi, hasil dari $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{(x-2)^2} = \infty $
2). Tentukan nilai limit bentuk berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{(x-5)^5} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^8} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^7} $
Penyelesaian :
a). Karena $ x \to 5^+ \, $ (artinya $ x \, $ mendekati 5 dari kanan, sehingga nilai $ x - 5 \, $ positif.
$ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{(x-5)^5} = \frac{5+2}{(5^+ - 5)^5} = \frac{7}{(+0)^5} = + \infty $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^8} = \frac{3}{(3^- - 3)^8 } = \frac{3}{(-0)^8} = \frac{3}{0} = +\infty $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^7} =\frac{3}{(3^- - 3)^7 } = \frac{3}{(-0)^7} = \frac{3}{-0} = -\infty $
Penyelesaian Limit di Tak Hingga
Untuk menyelesaikan limit menuju tak hingga ($ x \to \infty $ ), kita gunakan limit dasarnya yaitu :
$ \, \, \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{a}{x^n} = 0 $
dengan $ a \, $ bilangan real dan $ n \, $ bilangan asli.
Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara :
i). Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, jika bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya (merasionalkan).
ii). Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi.
dengan $ a \, $ bilangan real dan $ n \, $ bilangan asli.
Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara :
i). Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, jika bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya (merasionalkan).
ii). Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi.
3). Tentukan hasil limit di tak hingga berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $
Penyelesaian :
a). Bagi dengan $ x^3 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{x^3}}{\frac{5x^3 - 4x + 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{3x^2}{x^3} + \frac{5}{x^3} }{\frac{5x^3 }{x^3} - \frac{ 4x }{x^3} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^3} }{5 - \frac{ 4 }{x^2} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \frac{ 2 + \frac{3}{\infty} + \frac{5}{\infty ^3} }{5 - \frac{ 4 }{\infty ^2} + \frac{ 1}{\infty ^3} } \\ & = \frac{ 2 + 0 + 0 }{5 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 2 }{5 } \\ \end{align} $
Sehingga hasilnya $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{ 2 }{5 } $
b). Bagi dengan $ x^8 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{-2x^2 - 5}{x^8}}{\frac{5x^8 - 4x + 3}{x^8} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{-2}{x^6} - \frac{5}{x^8} }{ 5 - \frac{4}{x^7} + \frac{3}{x^8} } \\ & = \frac{ \frac{-2}{\infty ^6} - \frac{5}{\infty ^8} }{ 5 - \frac{4}{\infty ^7} + \frac{3}{\infty^8} } \\ & = \frac{ 0 - 0 }{ 5 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 0 }{ 5 } \\ & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = 0 $
c). Bagi dengan $ x^5 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{x^5}}{\frac{3x^2 - 4x + 1 }{x^5}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 1 - \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x^4} - \frac{1}{x^5} }{ \frac{3}{x^3} - \frac{4}{x^4} + \frac{1}{x^5} } \\ & = \frac{ 1 - \frac{2}{\infty ^2} + \frac{5}{\infty ^4} - \frac{1}{\infty ^5} }{ \frac{3}{\infty ^3} - \frac{4}{\infty ^4} + \frac{1}{\infty ^5} } \\ & = \frac{ 1 - 0 + 0 - 0 }{ 0 - 0 + 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ 0} \\ & = \infty \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \infty $
d). Bagi dengan $ x \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x + 1}{x}}{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 7}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 7}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{\frac{9x^2 + 2x - 7}{x^2} } } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{x} - \frac{7}{x^2} } } \\ & = \frac{ 2 + \frac{1}{\infty} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{\infty} - \frac{7}{\infty ^2} } } \\ & = \frac{ 2 + 0 }{ \sqrt{ 9 + 0 - 0 } } \\ & = \frac{ 2 }{ \sqrt{ 9 } } \\ & = \frac{ 2 }{3} \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \frac{ 2 }{3} $
e). Kali sekawan agar terbentuk pecahan dan bagi $ x $
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} \times \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ (4x^2 +2x-3) - (4x^2 - x + 3) }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3x - 6 }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{ 3x - 6 }{x}}{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} }{\sqrt{x^2}} + \frac{ \sqrt{4x^2 - x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 - \frac{6}{x} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} } + \sqrt{4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} } \\ & = \frac{ 3 - \frac{6}{\infty} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{\infty} - \frac{3}{\infty ^2} } + \sqrt{4 - \frac{1}{\infty} + \frac{3}{\infty ^2}} } \\ & = \frac{ 3 - 0}{ \sqrt{4 + 0 - 0 } + \sqrt{4 - 0 + 0 } } \\ & = \frac{ 3 }{ \sqrt{4 } + \sqrt{4 } } \\ & = \frac{ 3 }{ 2 + 2 } \\ & = \frac{ 3 }{ 4 } \end{align} $
Sehingga nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{ 3 }{ 4 } $
Penyelesaian Limit di Tak Hingga Yang lebih praktis
Berikut cara menyelesaikan limit di tak hingga yang lebih mudah :
$\clubsuit $ Limit tak hingga pecahan :
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + ... \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + .... $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingganya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.
$\clubsuit $ Limit tak hingga bentuk akar
*). Bentuk pertama,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2 + bx + c } - \sqrt{ax^2 + px + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
*). Bentuk kedua,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^n + bx^\frac{n}{2} + c } - \sqrt{ax^n + px^\frac{n}{2} + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
Pangkat didepan adalah dua kali pangkat kedua dan nilai $ a \, $ sama pada kedua akar.
$\clubsuit $ Limit tak hingga pecahan :
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + ... \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + .... $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingganya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.
$\clubsuit $ Limit tak hingga bentuk akar
*). Bentuk pertama,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2 + bx + c } - \sqrt{ax^2 + px + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
*). Bentuk kedua,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^n + bx^\frac{n}{2} + c } - \sqrt{ax^n + px^\frac{n}{2} + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
Pangkat didepan adalah dua kali pangkat kedua dan nilai $ a \, $ sama pada kedua akar.
4). Tentukan hasil limit di tak hingga dari soal nomor 3 di atas,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} $
Penyelesaian :
a). Pangkat tertingginya $ x ^3 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^3 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 - 4x + 1} = \frac{2}{5} $
b). Pangkat tertingginya $ x^8 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^8 \, $,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{0x^8-2x^2 - 5}{5x^8 - 4x + 3} = \frac{0}{5} = 0 $
c). Pangkat tertingginya $ x^5 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^5 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{3x^2 - 4x + 1 } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 - 2x^3 + 5x - 1}{0x^5 + 3x^2 - 4x + 1 } = \frac{1}{0} = \infty $
d). Pangkat tertingginya $ x \, $ , artinya ambil koefisien $ x $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x - 7} } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 } } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ 3x } = \frac{2}{3} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} - \sqrt{4x^2 - x + 3} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{2-(-1)}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4} $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} - \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{3-5}{2\sqrt{9}} = \frac{-2}{6} = - \frac{1}{3} $
5). Tentukan hasil limit tak hingga berikut ini,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} $
Penyelesaian :
a). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{(x + 2)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - \sqrt{x^2 + 4x + 4} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-5-4}{2\sqrt{1}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 - 5x } - (x + 2) & = \frac{-9}{2} \end{align} $
b). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } (2x - 3) - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{(2x - 3)^2} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2-12x + 9} - \sqrt{4x^2 +x - 7 } \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-12-1}{2\sqrt{4}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x - 3 - \sqrt{4x^2 +x - 7 } & = \frac{-13}{4} \end{align} $
c). Misalkan $ y = 5^x , \, $ untuk $ x \, $ menuju tak hingga, maka $ y \, $ juga menuju tak hingga, kemudian ambil koefisien pangkat tertingginya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^x . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{y . 5^2 - 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{25y - 7} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} - 7} & = \frac{1}{25} \end{align} $
Silahkan teman-teman juga simak dan pelajari materi limit tak hingga dengan fungsi trigonometri yaitu pada artkel "Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri".Selain itu, ada juga kegunaan dari limit fungsi tak hingga adalah untuk menentukan persamaan asimtot mendatar suatu fungsi.
