Garis Singgung(garis tangen), Garis Sekan (garis tali busur), dan Garis Normal
Untuk membedakan ketika garis yaitu garis singgung, garis secan dan garis normal, perhatikan gambar berikut ini.
Gradien Garis Sekan dan Garis Singgung
Perhatikan gambar garis sekan dan garis singgung berikut.
Perhatikan gambar A, garis sekan (tali busur) yang melalui titik A($a, f(a)$) dan titik B($a+\Delta x , f(a+\Delta x)$) memiliki gradien (kemiringan garis) yang disimbolkan dengan $ m \, $ yaitu :
$ m_{AB} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{(a+\Delta x) - a} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{ \Delta x } $
Jika $ \Delta x \, $ nilainya semakin kecil, maka garis sekan (gambar A) akan membentuk garis singgung seperti gambar B, sehingga diperoleh gradien garis singgungnya :
gradien garis singgung di titik A($a,f(a)$) : $ m = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{ \Delta x } $
dengan syarat nilai limitnya ada. Untuk persyaratan suatu limit ada atau tidak, silahkan baca materi "Pengertian Limit Fungsi", dan untuk cara menghitung hasil limit fungsi aljabar silahkan baca materi "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar ".
Perhatikan gambar A, garis sekan (tali busur) yang melalui titik A($a, f(a)$) dan titik B($a+\Delta x , f(a+\Delta x)$) memiliki gradien (kemiringan garis) yang disimbolkan dengan $ m \, $ yaitu :
$ m_{AB} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{(a+\Delta x) - a} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{ \Delta x } $
Jika $ \Delta x \, $ nilainya semakin kecil, maka garis sekan (gambar A) akan membentuk garis singgung seperti gambar B, sehingga diperoleh gradien garis singgungnya :
gradien garis singgung di titik A($a,f(a)$) : $ m = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{ \Delta x } $
dengan syarat nilai limitnya ada. Untuk persyaratan suatu limit ada atau tidak, silahkan baca materi "Pengertian Limit Fungsi", dan untuk cara menghitung hasil limit fungsi aljabar silahkan baca materi "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar ".
Kecepatan Sesaat
Untuk materi kecepatan sesaat, lebih lengkapnya silahkan baca langsung materinya pada artikel
"Penerapan Limit pada Laju Perubahan".
Kecepatan sesaat dirumuskan : $ v = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} $ .
Kecepatan sesaat dirumuskan : $ v = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} $ .
Definisi atau pengertian Turunan Fungsi
Turunan fungsi $ f(x) \, $ di $ x = a \, $ dinotasikan dengan $ f^\prime (a) \, $ , didefinisikan sebagai :
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} \, \, $ jika limitnya ada.
atau bisa ditulis : $ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
Bentuk $ f^\prime (a) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, a $ ".
Jika kita tuliskan $ x = a + h \, $ , maka $ h = x - a \, $ dan untuk $ h \to 0 \, $ maka $ x \to a $ . Sehingga definisi limit diatas bisa juga ditulis :
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} $
Notasi turunan yang digunakan adalah :
*). Notasi Newton,
Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^{\prime \prime} (x) \, $ atau $ y^{\prime \prime} $
dan seterusnya .
*). Notasi Newton,
Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ \frac{dy}{dx} $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} \, $ atau $ \frac{d^2y}{(dx)^2} $
dan seterusnya.
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} \, \, $ jika limitnya ada.
atau bisa ditulis : $ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
Bentuk $ f^\prime (a) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, a $ ".
Jika kita tuliskan $ x = a + h \, $ , maka $ h = x - a \, $ dan untuk $ h \to 0 \, $ maka $ x \to a $ . Sehingga definisi limit diatas bisa juga ditulis :
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} $
Notasi turunan yang digunakan adalah :
*). Notasi Newton,
Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^{\prime \prime} (x) \, $ atau $ y^{\prime \prime} $
dan seterusnya .
*). Notasi Newton,
Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ \frac{dy}{dx} $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} \, $ atau $ \frac{d^2y}{(dx)^2} $
dan seterusnya.
Definisi atau pengertian Turunan Fungsi Secara Umum
Turunan fungsi $ f(x) \, $ untuk semua $ x \, $ dinotasikan dengan $ f^\prime (x) \, $ , didefinisikan sebagai :
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
Bentuk $ f^\prime (x) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, x $ ".
Dari dfinisi ini, bisa dikatakan bahwa turunan adalah sama dengan gradien garis singgung pada suatu kurva tertentu.
$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.
Bentuk $ f^\prime (x) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, x $ ".
Dari dfinisi ini, bisa dikatakan bahwa turunan adalah sama dengan gradien garis singgung pada suatu kurva tertentu.
1). Tentukan gradien garis singgung pada kurva $ f(x) = x^2 \, $ di titik (2,5)? Penyelesaian :
*). Menentukan fungsinya :
$ f(x) = x^2 \rightarrow f(2) = 2^2 = 4 $
$ f(2 + h) = (2 + h)^2 = 4 + 4h + h^2 $
*). Menentukan gradien pada saat $ x = 2 $
$ \begin{align} m & = f^\prime (2) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(2+ h ) - f(2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ (4 + 4h + h^2) - (4)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ 4h + h^2 }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 4 + h \\ & = 4 + 0 \\ m & = 4 \end{align} $
Jadi, gradien garis singgunya adalah 4.
2). Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah $ x $ detik memenuhi persamaan $ f (x) = 6x^3 + x^2 , \, $ dengan $ f(x) $ dinyatakan dalam meter.
a). Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu $ 2 \leq x \leq 3 $ ?
b). Berapa kecepatan sesaat benda pada $ x = 2 \, $ detik?
Penyelesaian :
a). Kecepatan sesaat untuk $ 2 \leq x \leq 3 \, $ artinya $ \Delta x = 3 - 2 = 1 $
$ a = 2 \rightarrow f(2) = 6.2^3 + 2^2 $
$ f(2 + \Delta x ) = f(2 + 1 ) = f(3) = 6.3^3 + 3^2 $
*). Menentukan kecepatan rata-rata (kelajuan rata-rata) :
keceptan rata-rata nya
$ \begin{align} = \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} = \frac{f(3) - f(2)}{3-2} = \frac{(6.3^3 + 3^2) - ( 6.2^3 + 2^2 )}{1} = 119 \end{align} $
Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.
b). Kecepatan sesaat $ x = 2 $
$ \begin{align} v & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(2+\Delta x ) - f(2)}{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{[ 6(2+\Delta x)^3 + (2+\Delta x)^2] - [6.2^3 + 2^2] }{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ 6(8 + 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) + (4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2) - 52 }{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ 6(\Delta x)^3 + 37(\Delta x)^2 + 76\Delta x }{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } 6(\Delta x)^2 + 37\Delta x + 76 \\ & = 6(0)^2 + 37. 0 + 76 \\ & = 76 \end{align} $
Jadi, kecepatan pada saat $ x = 2 $ atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik.
3). Tentukan nilai dari $ f^\prime (-2) \, $ dari fungsi $ f(x) = x^2 - 3x $ ?
Penyelesaian :
*). Nilai $ f^\prime (-2) \, $ artinya turunan fungsi $ f(x) \, $ pada saat $ x = -2 $ .
*). Menentukan nilai fungsinya :
$ f(-2) = (-2)^2 - 3.(-2) = 4 + 6 = 10 $
$ f(-2 + h) = (-2 + h)^2 - 3(-2+h) = (4 - 4h + h^2) + 6 - 3h = h^2 - 7h +10 $
*). Menentukan nilai $ f^\prime (-2) \, $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ f^\prime (-2) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(-2+ h ) - f(-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(h^2 - 7h +10) - 10}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{h^2 - 7h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h - 7 \\ & = 0 - 7 \\ & = -7 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime (-2) = -7 \, $ untuk $ f(x) = x^2 - 3x $
4). Tentukan turunan dari $ f(x) \, $ atau $ f^\prime (x) \, $ dari masing-masing fungsi berikut,
a). $ f(x) = 5x - 2 $
b). $ f(x) = x^2 + 2x $
c). $ f(x) = \sin x $
Penyelesaian :
*). Bentuk $ f^\prime (x) \, $ artinya turunan dari fungsi $ f(x) $
a). $ f(x) = 5x - 2 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5(x+ h) - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5x + 5h - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{5h}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 5 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 5 $
b). $ f(x) = x^2 + 2x $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [(x+ h)^2 +2(x+ h)] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ h^2 + 2xh + 2h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h + 2x + 2 \\ & = 0 + 2x + 2 \\ & = 2x + 2 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 2x + 2 $
c). $ f(x) = \sin x $
*). Ingat bentuk : $ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
Sehingga : $ f(x+h) = \sin (x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga : $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h - 1 = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \sin x ) - \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $
Untuk limit trigonometri, baca pada artikel "penyelesaian limit trigonometri", dan untuk materi jumlah sudut pada trigonometri silahkan baca pada artikel "rumus jumlah trigonometri untuk jumlah dan selisih sudut".
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = \cos x \, $ untuk $ f(x) = \sin x $
Syarat fungsi $ f(x) \, $ tidak punya turunan di $ x = a $
Dari definisi turunan fungsi, turunan fungsi $ f(x) \, $ di $ x = a \, $ tidak mempunyai turunan jika
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} \, \, $
tidak ada limitnya.
Suatu limit tidak ada nilai limitnya jika limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanannya.
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} \, \, $
tidak ada limitnya.
Suatu limit tidak ada nilai limitnya jika limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanannya.
5). DIketahui fungsi $ f(x) = |x| , \, $ . Tunjukkan bahwa fungsi $ f(x) \, $ tidak mempunyai turunan di $ x = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (a) & = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} \\ f^\prime (0) & = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f( x ) - f(0)}{x-0} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| - |0|}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| }{x} \end{align} $
*). Cek nilai limit kiri dan limit kanannya.
Definisi fungsi mutlak (modulus),
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. $
Artinya berlaku :
untuk $ x \geq 0 , \, $ maka $ |x| = x \, $ dan $ x < 0 , \, $ maka $ |x| = -x $
*). Menentukan limit kiri dari 0 ( untuk $ x < 0 $).
berlaku $ |x| = - x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0^- } \frac{|x| }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0^- } \frac{-x }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } -1 = -1 \end{align} $
*). Menentukan limit kanan dari 0 ( untuk $ x \geq 0 $).
berlaku $ |x| = x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0^+ } \frac{|x| }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0^+ } \frac{x }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } 1 = 1 \end{align} $
Karena nilai limit kiri dan limit kanannya tidak sama, maka nilai limit $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| }{x} \, $ tidak ada. Karena nilai limitnya tidak ada, maka turunan fungsi $ f^\prime (0) \, $ tidak ada.
Jadi terbukti fungsi $ f(x) \, $ tidak mempunyai turunan di $ x = 0 \, $ untuk fungsi $ f(x) = |x| $ .
Syarat fungsi kontinu yang ada kaitannya dengan turunan fungsi
Jika fungsi $ f(x) \, $ mempunyai turunan di $ x = a \, $ , maka fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = a $ .
*). Proses turunannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to a } [ f( x ) - f(a) ] & = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} . (x-a) \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} . \, \displaystyle \lim_{ x \to a } (x-a) \\ & = f^\prime (a) . \, \displaystyle \lim_{ x \to a } (x-a) \\ & = f^\prime (a) . \, (a-a) \\ & = f^\prime (a) . \, 0 \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } [ f( x ) - f(a) ] & = 0 \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) - \displaystyle \lim_{ x \to a } f(a) & = 0 \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) & = \displaystyle \lim_{ x \to a } f(a) \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) & = f(a) \end{align} $
Sesuai dengan syarat kekontinuan fungsi yaitu $ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) = f(a) \, $ , maka fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = a $ . Silahkan baca materi syarat kekontinuan pada artikel "Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi".
Catatan: Untuk menentukan turunan suatu fungsi, kita tidak perlu menggunakan definisi turunan seperti di atas, karena akan rumit dan sulit. Kita akan langsung menggunakan turunan masi-masing seperti turunan fungsi aljabar, fungsi trigonometri, dan turunan fungsi lainnya.
