Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan pecahan
Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan dengan fungsi dalam bentuk pecahan.
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan pecahan
$ \frac{ax+b}{cx+d} > 0, \, \frac{ax^2+bx+c}{dx+k} \leq 0, \, \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan pecahan menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, dilarang untuk mengalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.
$ \spadesuit $ Syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh bernilai nol, sehingga semua akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ > \, $ atau $ < \, $ maka semua akar tidak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ \geq \, $ atau $ \leq \, $ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tidak ikut sebagai solusi.
$ \spadesuit $ Kasus Definit pada pertidaksamaan pecahan
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $
Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit positif tidak perlu membalik tanda kesamaan, sedangakan untuk definit negatif, tanda ketaksamaan dibalaik.
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan pecahan
$ \frac{ax+b}{cx+d} > 0, \, \frac{ax^2+bx+c}{dx+k} \leq 0, \, \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan pecahan menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, dilarang untuk mengalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.
$ \spadesuit $ Syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh bernilai nol, sehingga semua akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ > \, $ atau $ < \, $ maka semua akar tidak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ \geq \, $ atau $ \leq \, $ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tidak ikut sebagai solusi.
$ \spadesuit $ Kasus Definit pada pertidaksamaan pecahan
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $
Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit positif tidak perlu membalik tanda kesamaan, sedangakan untuk definit negatif, tanda ketaksamaan dibalaik.
Contoh :
1). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{2x-1}{x+2} \leq 0 \, $ adalah ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Menentukan akar-akar dari $ \frac{2x-1}{x+2} $
$ 2x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} $
$ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 \, $ (akar penyebut tidak boleh ikut)
$ \clubsuit $ Garis bilangannya :
2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan
a). $ 2x + \frac{1}{x} > \frac{4-x}{x} \, \, \, \, \, $ b). $ x \leq \frac{x+6}{x+2} $
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar
$ \begin{align} 2x + \frac{1}{x} & > \frac{4-x}{x} \\ 2x + \frac{1}{x} & = \frac{4-x}{x} \\ \frac{2x^2}{x} + \frac{1}{x} & = \frac{4-x}{x} \\ \frac{2x^2}{x} + \frac{1}{x} - \frac{4-x}{x} & = 0 \\ \frac{2x^2 + 1 - (4-x)}{x} & = 0 \\ \frac{2x^2 + x - 3}{x} & = 0 \\ \frac{(2x+3)(x-1)}{x} & = 0 \\ (2x+3) & = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} \\ (x-1) & = 0 \rightarrow x = 1 \\ \text{penyebutnya : } \, x & = 0 \end{align} $
$ \spadesuit $ Karena tanda ketaksamaannya $ > , \, $ maka semua akar-akarnya tidak ikut (arsirannya bolong)
$ \spadesuit $ Garis bilangannya :
Jadi, HP = $ \{ -\frac{3}{2} < x < 0 \vee x > 1 \} $
b). Menentukan akar-akar
$ \begin{align} x & \leq \frac{x+6}{x+2} \\ x & = \frac{x+6}{x+2} \\ x - \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ x \frac{(x+2)}{(x+2)} - \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + 2x)}{x+2} - \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + 2x - (x+6))}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + x - 6}{x+2} & = 0 \\ \frac{(x+3)(x-2)}{x+2} & = 0 \\ (x+3) & = 0 \rightarrow x = -3 \\ (x - 2) & = 0 \rightarrow x = 2 \\ (x + 2) & = 0 \rightarrow x = - 2 \end{align} $
(akar penyebut tidak boleh ikut, arsirannya bolong, yang lainnya arsiran penuh)
$ \spadesuit $ Garis bilangannya :
Jadi, HP = $ \{ x \leq -3 \vee -2 < x \leq 2 \} $
3). Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan $ \frac{x^2 - 2x + 3 }{(3x^2+5x-2)(x^2+4)} > 0 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Menentukan akar-akar
*). Bentuk $ (x^2 - 2x + 3) \, $ dan $ (x^2+4) \, $ tidak punya akar karena nilai diskriminannya negatif ($ D < 0 $). Nilai $ a \, $ kedua persamaan positif, artinya keduanya difinit positif sehingga bisa dicoret tanpa mempengaruhi pertidaksamaan pecahan semula. Pertidaksamaan menjadi :
$ \frac{x^2 - 2x + 3 }{(3x^2+5x-2)(x^2+4)} > 0 \, $ ekuivalen (setara) dengan $ \frac{1 }{3x^2+5x-2} > 0 $
*). Akar dari : $ 3x^2+5x-2 = 0 \rightarrow (3x-1)(x + 2)=0 \rightarrow x = -2 \vee x = \frac{1}{3} $
(akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut).
$\clubsuit $ Garis bilangannya :
Jadi, HP = $ \{ x < -2 \vee x > \frac{1}{3} \} $
4). Tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan pecahan
$ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 \geq \frac{2(2x-1)}{(2x-1)} $
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Menyederhanakan pertidaksamaannya
$ \begin{align} \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq \frac{2(2x-1)}{(2x-1)} \\ \text{(coret } 2x-1 \, \text{ dengan syarat } x & \neq \frac{1}{2} ) \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq \frac{2}{1} \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq 2 \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} & \geq 0 \end{align} $
HP1 = $ \{ x \neq \frac{1}{2} $
$ \spadesuit $ Menentukan akar-akar
*). Bentuk $ x^2 + 3 \, $ adalah definit positif sehingga bisa dicoret. Pertidaksamaan menjadi
$ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 \, $ ekuivalen dengan $ \frac{1}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 $
*). Bentuk $ -x^2+4x-5 \, $ adalah definit negatif. Karena definit negatif, $ -x^2+4x-5 \, $ bisa dicoret dengan membalik tanda ketaksamaan. Pertidaksamaan menjadi : $ \frac{1}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 \, $ ekuivalen dengan $ \frac{1}{x^2+x-2} \leq 0 $
*). Akar-akar dari $ x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1 $
(akar-akar penyebut tidak boleh ikut)
$ \spadesuit $ Garis bilangannya
HP2 = $ \{ -2 < x < 1 \} $
Jadi, HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ -2 < x < \frac{1}{2} \vee \frac{1}{2} < x < 1 \} $
5). Tentukan semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan :
a). $ \frac{x^2+4}{(x^2 - 3x + 4)(2x^2 - 5x + 5)} > 0 $
b). $ \frac{x^2 -2x + 3}{5 - 4x - x^2} \geq 0 $
Penyelesaian :
a). $ \frac{x^2+4}{(x^2 - 3x + 4)(2x^2 - 5x + 5)} > 0 $
Bentuk $ x^2+4 $ , $ x^2 - 3x + 4 $ , dan $ 2x^2 - 5x + 5 $ adalah definit positif semua , sehingga bisa kita coret yang artinya pertidaksamaan menjadi :
$ \begin{align} \frac{x^2+4}{(x^2 - 3x + 4)(2x^2 - 5x + 5)} & > 0 \\ \frac{\text{positif}}{(\text{positif})(\text{positif})} & > 0 \\ \text{positif} & > 0 \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya pertidaksamaan bagian (a) ini terpenuhi untuk semua $ x $ anggota bilangan real .
Jadi, HP = $ \{ x \in R \} $.
b). $ \frac{x^2 -2x + 3}{-5 + 4x - x^2} \geq 0 $
Bentuk $ x^2 -2x + 3 $ adalah definit positif,
Bentuk $ -5 + 4x - x^2 $ adalah definit negatif,
Sehingga pertidaksamaan ekuivalen dengan :
$ \begin{align} \frac{x^2 -2x + 3}{-5 + 4x - x^2} & \geq 0 \\ \frac{\text{positif}}{\text{negatif}} & \geq 0 \\ \text{negatif} & \geq 0 \, \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align} $
Artinya pertidaksamaan bagian (b) ini tidak ada nilai $ x $ bilangan real yang memenuhi atau himpunan kosong.
Jadi, HP = $ \{ \, \} $.
