Jarak dua titik dan titik ke garis ada kaitannya dengan persamaan garis lurus, khususnya materi jarak titik ke garis. Garis yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan garis lurus yaitu $ ax + by + c = 0 \, $ . Untuk konsep jarak yang dipakai adalah jarak terdekat baik dua titik maupun titik ke garis.
Jarak dua titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$)
Untuk menentukan jarak titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$), kita misalkan jaraknya sebagai mutlak dari AB. Sehingga
rumus jaraknya :
$\begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(\text{selisih } x)^2 + (\text{selisih } y)^2} \\ |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & \text{ atau } \\ |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \end{align} $
$\begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(\text{selisih } x)^2 + (\text{selisih } y)^2} \\ |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & \text{ atau } \\ |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \end{align} $
Tentukan jarak titik A(2,1) ke titik B(-3,4) !
Penyelesaian :
*). Menetukan jarak A ke B ($|AB|$) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \\ & = \sqrt{(2-(-3))^2 + (4-1)^2} \\ & = \sqrt{(5)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{25 + 9} \\ & = \sqrt{34} \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik adalah $ \sqrt{34} $ .
Jarak titik A($x_1,y_1$) ke garis $ ax+by+c=0 $
Perhatiakan gambar dibawah ini. Terlihat bahwa jarak titik A ke garis adalah jarak terdekatnya yang dicapai
pada saat garis AD tegak lurus dengan garis $ ax+by+c=0 . \, $ Jarak titik A ke garis $ ax+by=0 $ sama dengan jarak A ke titik D, hanya saja sulit untuk mencari
titik D pada garis $ ax+by+c=0 $ . Tapi tenang saja, kita langsung bisa menggunakan rumus jarak titik ke garis tanpa harus mencari titik D.
Rumus jarak titik A($x_1,y_1$) ke garis $ ax+by+c=0 $ :
$\begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \end{align} $
$\begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \end{align} $
Tentukan jarak titik A(3,5) ke garis $ -3x - 4y = - 9 $ !
Penyelesaian :
*). Persamaan garis dirubah dalam bentuk $ ax+by+c=0 $
$ -3x - 4y = - 9 \rightarrow -3x - 4y + 9 = 0 $
*). Jarak A($x_1,y_1$) = (3,5) ke garis $ -3x - 4y + 9 = 0 $
$ \begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3x - 4y + 9}{\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3.3 - 4.5 + 9}{\sqrt{9 + 16}} \right| \\ & = \left| \frac{-20}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-20}{ 5 } \right| \\ & = \left| -4 \right| \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, jarak titik ke garisnya adalah 4.
Menentukan titik tengah jika diketahui dua titik
Misalkan ada titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) serta titik tengahnya C, kita akan menentukan titik tengah yaitu titik antara
titik A dan titik B.
Cara menentukan titik tengahnya C :
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \end{align} $
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \end{align} $
Diketahui titik A(3,6) dan B(1, -2). Tentukan titik tengah antara titik A dan titik B!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik tengahnya, misalkan titik C :
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{3 + 1}{2} , \frac{6 + (-2)}{2} \right) \\ & = \left( \frac{4}{2} , \frac{4}{2} \right) \\ & = \left( 2,2 \right) \end{align} $
Jadi, titik tengahnya adalah C(2,2).
