Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Adapun bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dengan variabel $ x , \, y, \, $ dan $ z $
SPLTV : $ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z = d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z = d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z = d_3 \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x, \, y, \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2,a_3,b_3,c_3 \in R $
*). Konstantanya $ d_1,d_2,d_3 \in R $
SPLTV : $ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z = d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z = d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z = d_3 \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x, \, y, \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2,a_3,b_3,c_3 \in R $
*). Konstantanya $ d_1,d_2,d_3 \in R $
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Cara terbaik menyelesaikan SPLTV dengan metode Eliminasi-Substitusi (gabungan).
Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan metode gabungan:
$\clubsuit \, $ Eliminasi variabel pertama dengan memasang-masangkan dua persamaan dari ketiga persamaan sehingga diperoleh SPL baru yang sederhana.
$\clubsuit \, $ Dari SPL baru, eliminasi lagi sehingga diperoleh nilai dari salah satu variabel yang ada.
$\clubsuit \, $ Dari nilai variabel yang telah ada, substitusikan ke persamaan sebelumnya untuk memperoleh nilai variabel yang lainnya.
Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan metode gabungan:
$\clubsuit \, $ Eliminasi variabel pertama dengan memasang-masangkan dua persamaan dari ketiga persamaan sehingga diperoleh SPL baru yang sederhana.
$\clubsuit \, $ Dari SPL baru, eliminasi lagi sehingga diperoleh nilai dari salah satu variabel yang ada.
$\clubsuit \, $ Dari nilai variabel yang telah ada, substitusikan ke persamaan sebelumnya untuk memperoleh nilai variabel yang lainnya.
Contoh
1). Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel,
$ \left\{ \begin{array}{c} x - y + 2z = 4 \\ 2x + 2y - z = 2 \\ 3x + y + 2z = 8 \end{array} \right. $
Mempunyai penyelesaian $\{(x,y,z)\} \, $ , maka nilai $ x + y - z = ... ?$
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Eliminasi variabel $ y \, $ dari :
*).pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{c|c|cc} x - y + 2z = 4 & \text{kali 2} & 2x - 2y + 4z = 8 & \\ 2x + 2y - z = 2 & \text{kali 1} & 2x + 2y - z = 2 & + \\ \hline & & 4x + 3z = 10 & \end{array} $
Hasilnya kita sebut sebagai pers(iv) : $ 4x + 3z = 10 $
*). pers(i) dan pers(iii) :
$\begin{array}{cc} x - y + 2z = 4 & \\ 3x + y + 2z = 8 & + \\ \hline 4x + 4z = 12 & \end{array} $
Hasilnya kita sebut sebagai pers(v) : $ 4x + 4z = 12 $
Tebentuklah SPL baru : $ \left\{ \begin{array}{c} 4x + 3z = 10 \\ 4x + 4z = 12 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Eliminasi variabel $ x \, $ dari pers(iv) dan pers(v)
$\begin{array}{cc} 4x + 3z = 10 & \\ 4x + 4z = 12 & - \\ \hline -z = -2 & \\ z = 2 & \end{array} $
$\spadesuit $ Substitusi $ z = 2 \, $ ke pers(iv)
$ 4x + 3z = 10 \rightarrow 4x + 3.2 = 10 \rightarrow 4x = 4 \rightarrow x = 1 $
$\spadesuit $ Substitusi $ z = 2 \, $ dan $ x = 1 \, $ ke pers(i)
$ x - y + 2z = 4 \rightarrow 1 - y + 2.2 = 4 \rightarrow y = 1 $
Sehingga nilai $ x + y - z = 1 + 1 - 2 = 0 $
Jadi, nilai $ x + y - z = 0 . \heartsuit $
2). Jika $(a, b, c)$ merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $ x + 2y + 3z = 4, \, 2x + y + z = 6, \, $ dan $ 3x + 3y + 2z = 8, \, $ maka nilai $ a + b + c = ... ?$
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Terkadang soal-soal SPL tidak harus dicari semua nilai variabelnya, bisa langsung dijumlah, dikurangkan, atau dikalikan dari persamaan yang ada sehingga hasilnya sama dengan pertanyaan yang diminta.
$\begin{array}{cc} x + 2y + 3z = 4 & \\ 2x + y + z = 6 & \\ 3x + 3y + 2z = 8 & + \\ \hline 6x + 6y + 6z = 18 & \\ x + y + z = 3 & \end{array} $
Jadi, nilai $ a + b + c = 3 . \heartsuit $
3). Jika $(x,y,z)$ memenuhi sistem persamaan (SP)
$ \frac{xy}{x+y} = \frac{1}{5}, \, \frac{xz}{x+z} = \frac{1}{3}, \, $ dan $ \frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4}, \, $
maka nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = ...? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Sederhanakan semua bentuk persamaan yang ada dengan cara dibalik.
$ \frac{xy}{x+y} = \frac{1}{5} \rightarrow \frac{x+y}{xy} = \frac{5}{1} \rightarrow \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = 5 \rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 $
$ \frac{xz}{x+z} = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{x+z}{xz} = \frac{3}{1} \rightarrow \frac{x}{xz} + \frac{z}{xz} = 3 \rightarrow \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 $
$ \frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4} \rightarrow \frac{y+z}{yz} = \frac{4}{1} \rightarrow \frac{y}{yz} + \frac{z}{yz} = 4 \rightarrow \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 $
$\spadesuit $ Misalkan $ p = \frac{1}{x}, \, q = \frac{1}{y}, \, $ dan $ r = \frac{1}{z} $
Sistem menjadi :
$ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 \rightarrow p + q = 5 \rightarrow p = 5 - q $
$ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 \rightarrow p + r = 3 $
$ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 \rightarrow q + r = 4 \rightarrow r = 4 - q $
$\spadesuit $ Substitusi $ p = 5 - q \, $ dan $ r = 4 - q \, $ ke pers(ii)
$ p + r = 3 \rightarrow (5-q) + (4-q) = 3 \rightarrow 9-2q = 3 \rightarrow q = 3 $
$ q = 3 \rightarrow p = 5 - q = 5 - 3 = 2 $
$ q = 3 \rightarrow r = 4 - q = 4 - 3 = 1 $
Sehingga nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = p + q + r = 2 + 3 + 1 = 6 $
Jadi, nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 . \heartsuit $
Cara II : Sistem baru yang terbentuk langsung dijumlahkan.
$\begin{array}{cc} \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 & \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 & \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 & + \\ \hline 2\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = 12 & \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 & \end{array} $
Jadi, nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 . \heartsuit $
4). Diketahui SPLTV : $ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + 2z = 5 & ...\text{(i)} \\ x + 2y + z = 4 & ...\text{(ii)} \\ x + y + z = 3 & ...\text{(iii)} \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian $ \{(a,b,c)\} \, $ , hubungan antara $ a \, $ dan $ c $ adalah ... ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Eliminasi variabel $ y $ dari pers(i) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} 2x + y + 2z = 5 & \\ x + y + z = 3 & - \\ \hline x + z = 2 & \end{array} $
artinya $ x + y = 2 \rightarrow a + c = 2 $
Jadi, hubungan antara $ a \, $ dan $ c \, $ adalah $ a + c = 2 . \heartsuit $
Catatan: untuk memperoleh hubungan $ a \, $ dan $ c \, $ , cukup kita eliminasi variabel $ y $ dari persamaan yang ada.
5). Agar SPLTV : $ \left\{ \begin{array}{cc} 2ax + y + az = 10 & ...\text{(i)} \\ ay + z = 3 & ...\text{(ii)} \\ x + ay + az = 8 & ...\text{(iii)} \\ x + y + z = 7 & ...\text{(iv)} \end{array} \right. $
mempunyai solusi, tentukan nilai $ a^2 + 2a + 3 $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Jumlahkan pers(i), (ii), dan (iii) :
$\begin{array}{cc} 2ax + y + az = 10 & \\ ay + z = 3 & \\ x + ay + az = 8 & + \\ \hline (2a+1)x + (2a+1)y+ (2a+1)z = 21 & \\ x + y + z = \frac{21}{2a+1} & \end{array} $
terbentuklah pers(v) : $ x + y + z = \frac{21}{2a+1} $
$\spadesuit $ Bentuk pers(iv) dan pers(v) harus sama, diperoleh
$ \left. \begin{array}{c} x + y + z = 7 \\ x + y + z = \frac{21}{2a+1} \end{array} \right\} \, $ Sama
Sehingga : $ \frac{21}{2a+1} = 7 \rightarrow 2a + 1 = 3 \rightarrow a = 1 $
Nilai $ a^2 + 2a + 3 = 1^2 + 2.1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6 $
Jadi, nilai $ a^2 + 2a + 3 = 6. \heartsuit $
6). Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + z = 4 \\ x - y - 4z = 5 \end{array} \right. $
dengan $ x, y , z $ anggota bilangan real.
Penyelesaian :
*). Dari soal ini, terdapat tiga variabel yaitu $ x , y, $ dan $ z $ serta hanya dua persamaan. Karena banyaknya persamaan lebih sedikit dibandingkan dengan banyaknya variabel, maka sistem persamaan ini memiliki penyelesaian sebanyak tak hingga.
*). Kita misalkan salah satu variabelnya bernilai $ t $ yaitu untuk $ z = t $, maka sistem persamaannya dapat kita ubah menjadi :
$ 2x + y + z = 4 \rightarrow 2x + y + t = 4 \rightarrow 2x + y = 4 - t $
$ x - y - 4z = 5 \rightarrow x - y - 4t = 5 \rightarrow x - y = 5 + 4t $
Sistemnya menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y = 4 - t \\ x - y = 5 + 4t \end{array} \right. $
dengan $ t $ anggota bilangan real.
(kita bebas memisalkan salah satu variabelnya dengan $ t $, di sini kita misalkan $ z = t $).
*). Dari sistem persamaan baru ini memiliki arti bahwa penyelesaian sistem persamaannya adalah dalam bentuk $ t $.
*). Menyelesaikan sistem persamaan yang baru.
$ \begin{array}{cc} 2x + y = 4 - t & \\ x - y = 5 + 4t & + \\ \hline 3x = 9 + 3t & \\ x = 3 + t & \end{array} $
Persamaan (i) :
$ 2x + y = 4 - t \rightarrow 2(3 + t) + y = 4 - t \rightarrow y = -2 - 3t $.
*). Kita peroleh penyelesaian sistem persamaannya yaitu :
$ (x,y,z ) = (3+t, -2-3t,t ) $
dengan $ t $ anggota bilangan real.
*). Sebagai contoh, kita ambil nilai $ t = 1 $ , maka kita peroleh :
$ (x,y,z) = (4, -5, 1) $
Dan masih banyak lagi nilai $ t $ yang lainnya.
7). Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + z = 4 \\ x - y - 4z = 5 \end{array} \right. $
dengan $ x, y , z $ anggota bilangan bulat positif.
Penyelesaian :
*). Soal ini memiliki sistem persamaan yang sama dengan contoh soal nomor 6 di atas, hanya saja penyelesaiannya dalam bentuk bilangan bulat positif. Untuk menyelesaikannya, langkah-langkahnya sama dengan penyelesaian contoh 6 di atas. Kita peroleh penyelesaiannya yaitu :
$ (x,y,z ) = (3+t, -2-3t,t ) $
*). Karena $ x, y , z $ anggota bilangan bulat positif, maka :
$ x > 0 \rightarrow 3 + t > 0 \rightarrow t > -3 $
$ y > 0 \rightarrow -2-3t > 0 \rightarrow -3t > 2 \rightarrow t < -\frac{2}{3} $
$ z > 0 \rightarrow t > 0 $
Dari ketiga bentuk pertidaksamaan dalam $ t $ ini, maka tidak ada nilai $ t $ yang memenuhi, sehingga nilai $ x $ , $ y $ , dan $ z $ bilangan bulat positif juga tidak ada yang memenuhi sistem persamaan atau kita sebut himpunan kosong.
Jadi, tidak ada nilai $ x, y, $ dan $ z $ bilangan bulat positif yang memenuhi sistem persamaan contoh 7.
